[爆卦]lnx微分是什麼?優點缺點精華區懶人包

為什麼這篇lnx微分鄉民發文收入到精華區:因為在lnx微分這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者ntust661 (Crm~)看板Math標題Re: [微積] 請問一個最基本的問題 lnx時間...

lnx微分 在 ?賭Sir|數學考試專家 Instagram 的最佳貼文

2021-02-02 09:50:41

🪢若然要你微分 y = (sinx+lnx)² 你只需要「由外到內」:⁣⁣ ⁣⁣ Step1️⃣: 最外層係【乜²】嘅結構,所以你只需要拉個2落嚟,再抄返個「乜」——2(sinx+lnx)⁣⁣ Step2️⃣: 裏面嗰層就係一個【加】嘅結構,所以你只需要分開sinx同lnx去微分,就可以。⁣⁣ St...





原文43


我覺得你不能用(反微分)積分這種東西來說,不然解釋半天你也不會相信


原 PO 就先假裝不知道這個對數 ln 指數 e 往下看吧 :)




f(x+h) - f(x)
導函數的定義是 f'(x) = lim ──────
h→0 h



既然 三角函數 多項式函數 我都可以帶這個定義來求導函數


那對數呢??


x
f(x) = log f'(x) = ???
a


當然囉帶入定義吧~

(x + h) x
log - log
a a
f'(x) = lim ───────────
h→0 h



因為對數律 相減 變成 相除

x + h
(────)
log x
a
f'(x) = lim ───────────
h→0 h



因為對數律 外面相乘 變成 次方


1
──
h h
(1 + ──)
= lim log x
h→0 a


h 1 x
感覺有點怪怪的 裡面有 ── , 外面只有 ── 。 那我讓他乘 ──
x h x

1
──
h h
x (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a


↑ 反正乘 1 結果不會變 。 所以乘個 x 就要除個 x




利用對數律,把分子的 x 移進去次方裡面


x
──
h h
1 (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a



這時候產生了一個非常神奇的東西 e


1/h
請問 lim (1 + h) = ???
h→0


有人說, 1 加上微量,然後在乘上無窮次方還是 1


有人說, 不對! 1 加上微量的無窮次方,然後算出來會變成 2


有人又說,錯錯錯! 1 + 微小擾動的無窮次方,會造成無限大


啾~~~~~~靜!誰才是對的呢?


這時候 Euler 就跑出來叫啦~


他說,這個簡單,利用二項式展開


m m m n m m m 2 m 3 m n
(1 + x) = Σ C x = C + C x + C x + C x + ... + C x + ...
n=0 n 0 1 2 3 n



C 就是算組合數


m m!
C = ───── ( ! 表示 階乘 )
n (m-n!)(n!)




所以依照二項式定理

1/h (1/h)! (1/h)! (1/h)! 2
(1 + h) = ──── + ───── (h) + ───── h + ...
0!(1/h)! 1!(1/h-1)! 2!(1/h-2)!


1 1 1
= ── + ── + ── + ...
0! 1! 2!


1 1 1 1 1 1
= ── + ── + ── + ── + ── + ── +...
0! 1! 2! 3! 4! 5!


= 2.718281828...


然而這個數字我們就簡略以 e 來代替




---回到這個式子

x
──
h h
1 (1 + ──)
= lim ── log x
h→0 x a



我可以知道上面那串可以寫成 e 這個常數


e
log
a 1 x
= ─── = ──── (其中 log 寫成自然對數 ln )
x x lna e



這下好啦 ! 我知道對數微分了



那我好像知道一件事情了!



n 1 n + 1
平常的多項式積分 ∫ x dx = ── x + C
n + 1


但是遇到 n = -1 就不能運算了!



1
還好今天我看到對數的微分等於 ──── (其中 ln a 又是常數)
x lna



那我要如何把 ln a 改成 1 呢 ???



很簡單! 只要把"真數"與"底數"寫成一樣的時候就會等於 1 了。



那我 ln a 的底數,就是 2.718281828.... = e


1
那我也把真數 a 令為 e 就會得到 ── 了
x


x 1
那我既然 D log = ────
a x lna


a = e 的時候??


x 1
D log = ──── ??
e x


1
d( ln x) = ─── dx
x



原PO的問題就迎刃而解啦!!!


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.118.234.83
cosmo2256 :超推...感謝您的辛勞啦:) 不過我要再研究一下課本 11/09 22:50
cosmo2256 :因為它跟你是完全背道而馳 由於你用了尤拉公式 11/09 22:51
cosmo2256 :所以知道那一坨等於e這個常數 但課本是不用尤拉 11/09 22:51
cosmo2256 :反而是先知道lnx的微分是1/x 然後才知到 11/09 22:52
cosmo2256 :(1+1/X)^X的極限是e 11/09 22:53
ntust661 :感覺課本這樣寫會造成吸收不良 11/09 22:53
ntust661 :要定義他那你還不如先定義對數 11/09 22:54
ntust661 :你說是不是呀~ 11/09 22:54
cosmo2256 :我也絕得你這樣比較直觀:) 11/09 22:56
ntust661 :我覺得你看我這個看懂了在看課本上的=3= 11/09 22:56
ntust661 :個人推薦啦...因為當初我在學的時候我覺得這樣吸收快 11/09 22:57
cosmo2256 :感謝阿 你的我懂了 :) 11/09 22:57
ckWade :寫得真好 cosmo你可以去借一本書 "毛起來說e" 11/09 23:01
ckWade :整本書就是為了解答e lnx 這些數的觀念而寫的 11/09 23:02
cosmo2256 :喔~~ 感謝你喔:) 11/09 23:04
mantour :我覺得反過來也沒有錯呀 11/09 23:07
mantour :課本這種定義方式的目的並不是要定義e 11/09 23:07
mantour :而是為了要求 1/x 的反導函數 11/09 23:07
mantour :過程中自然產生了e這個常數 11/09 23:08
cosmo2256 :但是這樣的話有兩個問題 第一 如何證明他有 11/09 23:09
mantour :而且我想之所以會用這樣寫法也是有原因的 11/09 23:09
mantour :證明呀 課本上後面應該有寫 自己去看 11/09 23:09
cosmo2256 :對數性質 第二 我講錯了 只有第一XD 11/09 23:10
ntust661 :任何的積分,都是以微分來推的 11/09 23:11
ntust661 :所以我覺得要學積分最好先學會微分QQ 11/09 23:12
mantour :不對 定積分的定義是獨立於微分的定義外的 11/09 23:12
ntust661 :應該說有微積分基本定理才知道微分積分的關係吧@@ 11/09 23:13
mantour :n大這樣的approach不是不行 但要做到數學上嚴謹 11/09 23:13
mantour :要考慮得比較多 11/09 23:13
ntust661 :就像本版的第一篇XD? 11/09 23:14
mantour :你要先定義出 a^x , x為實數時的值 11/09 23:16
cosmo2256 :目前我支持n大 理由是 比如說我們做cosx的積分 11/09 23:16
mantour :然後證明指數函數和對數函數都是連續函數 11/09 23:16
cosmo2256 :不是就都是說 因為sinx的微分等於cosx所以cosx的 11/09 23:17
mantour :這沒有什麼支不支持 二種都可以 11/09 23:17
mantour :請回想定積分的定義… 11/09 23:17
cosmo2256 :的積分等於sinx嗎? 若不用這個 那要如何做cosx積分 11/09 23:17
cosmo2256 :呢? 11/09 23:18
mantour :請回想定積分的定義 11/09 23:18
mantour :先分別定義定積分 和微分 之後才有微基分基本定理 11/09 23:19
cosmo2256 :那要如何用積分的定義求cosx的積分呢? 11/09 23:27
hanabiz :你不知道有的書先從積分開始講? 11/09 23:44
yuyumagic424:早年一堆數學家都用一些奇奇怪怪的技巧來做積分的 11/09 23:45
ntust661 :其實在很久以前似乎積分比微分早講很多 11/09 23:45
yuyumagic424:到了牛頓和萊布尼茲提出微積分基本定理以後 11/09 23:45
yuyumagic424:積分問題才被簡化為求反微導 11/09 23:45
calvin4 :這篇我看了很感動,請讓我m了他。原po你真用心! 11/09 23:50
ntust661 :恩嗯~ 11/09 23:50
mikechan :推 11/10 00:09
srewq :推喔! 11/10 00:26
ri3567 :推阿銘~~~ 11/10 00:27
kagato :推!! 11/10 02:01
e761031 :推阿~ 11/10 02:49
VAX9210 :原PO用心+1 11/11 08:29

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