為什麼這篇非齊次方程式特解鄉民發文收入到精華區：因為在非齊次方程式特解這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者breezeandy (breezeandy)看板Grad-ProbAsk標題[理工] [工數]...
前情提要:
變係數高階微分方程
有一降階法
方法是先觀察出一解y1(x)
然後令y2(x)=u*y1
接下來將y2(x)微分一次到數次不等
帶回原ODE求解u
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問題-共有三個疑問:
遇到一非齊次ODE
xy''-xy'+y=x^2
書本上的解答解說
先觀察出一解y1(x)=x
然後令y2(x)=u*y1=u*x
我的第一個疑問有點沒意義的感覺QAQ
但是還是想請教
y1(x)=x不是齊次解嗎
這樣代進去 等號右邊(x^2)被強迫為零 心裡總覺得怪怪的
還是就把齊次解當解 直接算下去就好了呢(不是特解或通解看起來比較符合ODE嗎= =)
第二個問題
那如果有一天又遇到非齊次變係數高階ODE
但觀察出的是特解
那也是照著算嗎?
第三個問題是最想問的ˊˇˋ
關於此ODE
書上的解答表示: 利用降階法同時直接得到了特解，真是一石二鳥也。
(因為他算y2同時算出了 齊次解的y2加上一特解 即y2=(含未知數的齊次解+特解) )
問題來了
那為何之前解常係數高階ODE
假設得到yh=c1*cosx+c2*sinx
不直接令y1=cosx
然後用一樣的方法令y2=u*y1
不就可以直接得到特解?
何必用常係數時的變異係數法(意同降階法)令yp=u1*y1+u2*y2
然後還要forcing condition
解一堆聯立方程式或是朗斯基
我照此試了一題常係數
但沒成功QAQQ
懇請高手賜教
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◆ From: 111.249.203.97
※ 編輯: breezeandy 來自: 111.249.203.97 (11/03 11:16)
推 mp8113f:你上面說的沒錯,這種非齊次的ODE有一種解法就是先假設齊性 11/03 11:19
→ mp8113f:下去找齊性解,之後在另y=u(x)*y1 帶回原式子找解 11/03 11:20
→ mp8113f:但並不是每個式子都能因此解出來,有時候反而複雜化積不出 11/03 11:20
→ mp8113f:答案,通常令y=u(x)*y1只會將式子複雜化,並不是萬能 11/03 11:21
→ mp8113f:而若你觀察的是特解,不能用此法帶回原式找通解,只能齊性解 11/03 11:21
→ mp8113f:才可以這樣做 11/03 11:22
推 mp8113f:你可以嘗試自己用此法回去做二階線性ODE會發現多此一舉 .. 11/03 11:25
→ mp8113f:另外不管齊性或非齊性都包含齊性解,但是包含特解的卻只有 11/03 11:25
→ mp8113f:非齊次,所以並不能以特解反推回去找到通解,相反可以從齊 11/03 11:26
→ mp8113f:性解連本帶利帶回原式找通解 11/03 11:26
懂了! 超感謝你精湛的講解ˊˇˋ※ 編輯: breezeandy 來自: 111.249.204.231 (11/03 12:17)
推 doom8199:我覺得若找到一組特解 y1後， 還是可以令 y = u(x)*y1 11/03 12:21
→ doom8199:下去降階，只是降階後的型態要稍微做一下調整 11/03 12:21
但我剛找了一題試了一次並沒有成功況且我在書上並沒有看到關於猜特解的例子
降階法相關都是舉猜齊次解做教學(有可能只是我沒看到)
如要像您這樣說 還請詳細舉例講解
※ 編輯: breezeandy 來自: 111.249.204.231 (11/03 12:29)