為什麼這篇雙重積分面積鄉民發文收入到精華區：因為在雙重積分面積這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者condensed (我的冒險生活)看板Math標題Re: [微積] 積分面積為負??時間Sun...
雙重積分面積 在 張婷Ting Instagram 的最佳解答
2020-08-11 22:36:48
（文末好禮雙重送！） 身理期身體挨痛、心情也低落，生活行事曆卻還是得進行~ 像我就是那個來時也要往外跑的女生， 所以我會用 #蕾妮亞超薄涼 棉棉 「#cool香6小時 #舒涼剛剛好」 #1mm超薄 白天活動自在舒服 #2倍吸收2倍安全感(*與自社商品比較) 終結水逆夜晚也不怕外漏 #薄荷草本淨味香氛...
※ 引述《Arim (Arim5566)》之銘言：
(43)
: 推 condensed :面積本來就可以有負啊=.= 04/14 17:35
: → condensed :不然你對物體做負功時怎麼辦，微積分不能用了嗎 04/14 17:37
: 只是對不同的兩種說法感到很困惑
: 例如
: http://dufu.math.ncu.edu.tw/calculus/calculus_eng/node100.html
: 這邊有提出如果f(x)是負的話，就要在前面加上負號
: → condensed :這只是定義問題，加負號的目的是希望取正值的面積。 04/14 17:42
: → condensed :但一般來說，我們在積分時不會去加那個負號。 04/14 17:43
: 所以如果是要求
: f(x)=(x+1)(x-1)和x軸所圍出的面積時
: 是否要使得面積為正?
: 推 k32314282 :積分是把函數值加總 不是直接算面積吧@@ 04/14 17:54
: → condensed :就說要看你對面積的定義是什麼，能不能有方向性。 04/14 18:10
: 推 doom8199 :數學上的面積定義不是都≧0嗎, 我覺得不能跟物理上 04/15 10:25
: → doom8199 :的做功混為一談。 就像物理上的平移量可以是負值 04/15 10:26
: → doom8199 :但我們平時不會把它的長度叫 -5 (之類的) 04/15 10:28
你把生活用語和數學用語混為一談了。
在三維歐氏空間中，兩向量的外積，就能定義出有方向性的面積向量了。
這其實是一種二階反對稱張量，當然是可以有方向性的。
至於長度，這在數學上又是另一概念。
它指的是透過度規張量，將向量映射到R^1所得的值。
這怎麼能和張量混為一談了。
在Minkowski時空中，兩點間的距離可以小於或等於零。
怎能說沒有負值？
我拿物理當例子，只是方便板友理解。和物理定律如何根本無關。
物理上能用，就是因為相應的數學是正確的。
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◆ From: 115.81.165.241
→ doom8199 :所以你前面文章寫的叫面積"向量", 不叫"面積" 04/15 16:30
沒這回事。
數學裡沒有規定面積一定特指映射到R^1的值。
→ doom8199 :還有一點就是，某某學家要創xxx space,然後說裡頭的 04/15 16:42
→ doom8199 :距離可以<0。 此距離非彼距離, 怎麼可以混在一起 04/15 16:43
一個空間若不給metric，你要談什麼距離？
拓樸空間本來就不一定要對兩點之間的距離有定義。
你給了metric才能談距離是否能小於零。
請不要因果倒置。
要談距離是否小於零，請先給metric。
不要把你自己心裡想像的距離，混淆到一般性的空間裡去。
→ wickeday :如果那個是metric，怎麼會有小於0的問題… 04/15 17:05
→ doom8199 :所以我沒混在一起阿，你講的距離跟一般認知的距離 04/15 17:06
→ doom8199 :我前面就說不能混在一起了 04/15 17:07
數學上，距離的概念取決於你給定的metric。
並非如你所說，距離一定要大於零。
你自己把日常用語和數學用語混淆了，
在數學裡，面積本來就可以有方向性，當然也能有正負。
你所謂的一般性，在數學裡根本不存在。並非是我自己說的距離。
所以你說的一般認知，根本不是數學上的一般認知。
那是日常生活上的使用習慣，或者特指歐氏空間。
你一直說是我混淆了距離的定義，實際上是你自己混淆了。
把歐式空間距離與日常面積，過度推論到數學的定義上去。
我本來就沒有說，Minkowski的metric可以推論到所有空間中，
只是舉一個反例告訴你，數學上，距離沒有特指歐氏度規。
→ doom8199 :有方向性是因為多考慮了曲面的梯度，跟面積正負無關 04/15 17:17
瞎說。
兩個one-form做外積就能得到2-from，
它的獨立基底本身就能給出方向性。
並不是因為考慮梯度。
所以建立在這種錯誤認知上，你的論點失效。
→ doom8199 :這兩者本就可以明確的切開。 一個領域在定義一件事情 04/15 17:19
→ doom8199 :還是"不忘初衷"。 像是長度等方面的定義 04/15 17:19
跟初不初衷沒關係，請不要跳針。
在高維空間中，甚至連三維體積都可以不只一個獨立基底。
所以談論其方向，是有其必要性的。
並不是數學家無聊，故意給予面積與體積正負號。
→ doom8199 :了不起就是 d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y) ,只要d給的適當 04/15 17:20
→ doom8199 :基本上還是不會違背一般的認知 04/15 17:20
→ doom8199 :長度如此，面積亦如是 04/15 17:21
胡說，這只是某一類的metric。
如果你認為面積只能取正值，談方向是違背一般認知，沒有意義的話，
那Cartan發展的外微分幾何大概會被你當垃圾了。
我還是那句老話，不要把你在日常生活中接觸到的對長度和面積的定義，
應要擴大到數學的一般性考慮裡。
很多時候，硬去說面積和體積只能取正值才是無意義的。
→ doom8199 :我所謂的混淆是，每個領域中所定義的名詞 04/15 17:27
→ doom8199 :不能當作誰是誰的特例或通用 04/15 17:28
你現在就是把你對距離的特例，當成在數學上是通用。
才會講出面積一定不可以有正負那種話。
→ doom8199 :例如原原po想問 "函數和x軸所圍成的面積是啥" 04/15 17:30
→ doom8199 :那須先明瞭原原po所遇到的問題當中，"面積"是指啥 04/15 17:31
→ doom8199 :以及在他所遇到問題的領域當中，"面積"是如何定義 04/15 17:32
我看不出這裡除你之外，有誰分不清楚數學領域中指的面積是什麼。
即使是在二維的歐氏空間中，面積都是可以有正負的。
只有你自己在那裡堅持說面積有正負是一種混淆。
→ doom8199 :而不是從其它另一個領域與此不太相干的 knowledge 04/15 17:33
→ doom8199 :來闡述 04/15 17:33
根本沒有人拿另一個不相關的領域闡述。
從頭到尾講的都是同一件事，只有你還在狀況外。
數學上，面積本來就是可以有正負的。
你所堅持的理由，在數學領域裡根本不成立。
一昧的拿自己固有認知，說別人混淆。
→ doom8199 :<1> 我並沒說面積考慮方向性沒意義 04/15 17:40
→ doom8199 : 事實上大小跟方向性是可以獨立開來 04/15 17:40
你又在扯東扯西了，說詞反覆。
即使你考慮的是所謂面積的大小，也不代表它一定是正值。
→ doom8199 : 若有人想把大小納入負數概念 04/15 17:41
→ doom8199 : 那當然可以，可是請先看場合 04/15 17:42
你又在跳針了。在你胡說八道以前，才更應該看場合。
我只是告訴你面積本身可以有正有負，
而且這件事實，在二維歐氏空間依然是有意義的。
前面跟你講這麼多，妳都沒在看？
一味堅持活在自己的世界。
※ 編輯: condensed 來自: 115.81.165.241 (04/15 17:54)
→ doom8199 :我長話短說好了...。 對國中生講一元二次方程式 04/15 17:49
→ doom8199 :無根是錯的，應該有兩共軛虛根。 04/15 17:49
→ doom8199 :當講這句話之前，應該要先考慮到國中生對於方程式 04/15 17:50
→ doom8199 :的認知是啥； 相同的，初微中所算的面積 04/15 17:51
→ doom8199 :請問有考慮到您所提的 正負號問題嗎? 04/15 17:51
可以不要越扯越遠嗎？
國中生沒有學過四維空間，所以四維空間不存在？
這是哪門子的邏輯？
國中生沒有面積有正負的概念，和面積在數學中能否有正負無關。
初微課本裡當然有提，不然你怎麼談三維空間中的Stokes定理？
我再說一次：
即使二維歐氏空間中的面積，都是可以有正負的。
而且這種觀念，在初微課程裡也是存在的。
※ 編輯: condensed 來自: 115.81.165.241 (04/15 17:59)
→ doom8199 :是你根本抓不到問題的重點在哪... 04/15 17:58
你除了這種話，難道不能拿出點實際論據嗎？
道理講不過，就放大絕翻桌？
→ doom8199 :看你回 "一味堅持活在自己的世界" 04/15 17:58
→ doom8199 :已經包含個人情緒在裡頭了...懶得回你了 04/15 17:59
好笑，我每一段都拿數學的論據回你。
只有你自己在推文中，屢次不依循理據地指責別人混淆，
抓不到重點、弄錯場合。
然後數學論據呢？數學的地方沒半撇，只是一味堅持自己固有認知與定義。
我感覺你的情緒成分更多。
明明是自己指陳別人的時候弄錯了，卻死愛於面子不願虛心承認。
※ 編輯: condensed 來自: 115.81.165.241 (04/15 18:06)
推 jacky7987 :簡單的說 你會說sinx 和 x軸為出的面積是4 而不是 0 04/15 18:01
就某一種面積定義來說，的確如此。但是硬說面積沒有正負，是無意義的。
因為在這部分，面積的確可以有兩種定義。
在某些場合，我們也不會認為極座標中的r可以代負值。
但是在一些初等微積分課本中，r是可以考慮負值的。
函數圖形曲線下，與x軸所圍成的面積。
在這個語境下，的確也有人是將x軸以下的部分計算成負值。
所以這種用法，不能說是數學領域外的定義。
※ 編輯: condensed 來自: 115.81.165.241 (04/15 18:17)
推 jacky7987 :所以doom大也只是把這種有計算負值得"面積"變成有 04/15 18:29
→ jacky7987 :方向性而已 04/15 18:29
→ jacky7987 :(也就是他所聲稱那種是面積向量 04/15 18:30
推 jacky7987 :因為許多measure所要求的面積都大於等於0 04/15 18:35
→ harveyhs :@@我覺得Minkowski space的例子在這裡比較特殊 04/15 18:55
→ harveyhs :單論metric space的事情，大部分高微跟線代的確會 04/15 18:56
→ harveyhs :要求metric 要正定這件事情 04/15 18:56
→ doom8199 :你這論調也叫有 "數學論述" ? 我算是開了眼界了 04/16 08:25
推 PaulErdos :沒有必要這麼嗆吧.. 04/16 15:03