為什麼這篇重積分 運算鄉民發文收入到精華區：因為在重積分 運算這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者keith291 (keith)看板Math標題Re: [微積] 關於牟合方蓋的積分問題時間Th...
重積分 運算 在 ᴊᴇʀʀʏ?️｜sᴛᴜᴅʏɢʀᴀᴍ Instagram 的最讚貼文
2021-08-18 20:33:46
還是喜歡只屬於自己的風格。 這篇文主要想說一說 在這幾乎神隱的一個月以來 我都做了些什麼 比較關注我的人應該都知道 9/25我有個很重要的考試 重要到我幾乎傾盡所有暑假的時間 說說也無妨 是物理的考試 兩個月以來 從剛開始漫不經心讀完選修一的內容 寫完考古題後深深了解到自己的不足 找了老師學了高...
※ 引述《maroondragon (魔力龍)》之銘言：
: 如題，微積分關於重積分的章節常提及有關牟合方蓋(兩半徑相同的圓柱垂直相交)的相交部分體積，及相交兩柱的共同曲面之面積運算
: 之前在網路上有看到關於三柱，四柱甚至到五柱相交部分的體積運算
: 但共同曲面的面積運算，目前只有看到兩柱相交的運算法
: 假使有三個半徑為a，分別以三維座標系的x,y,z軸為圓柱中心軸的圓柱
: 要求這三根圓柱共同部分的曲面面積，應該要怎麼求呢？
所求為12片全等柱面面積
由 x^2 + z^2 = a^2,得 z = (a^2 - x^2)^1/2
其中一曲面參數式為
→
r(x,y) = ( x , y , (a^2 - x^2)^1/2 )
on D = {(x,y)|x^2 + y^2 = a^2, x = y, x = -y 三者所圍出通過一四象限之扇形}
→ →
r_x X r_y = (x/(a^2 - x^2)^1/2 , 0 , 1)
→ →
|r_x X r_y| = a/(a^2 - x^2)^1/2
所求面積為
12∫∫ a/(a^2 - x^2)^1/2 dxdy
D
π/4 a
= 12 ∫ ∫ ar/(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 drdθ
-π/4 0
剩下簡單計算留給你
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→ maroondragon: 謝謝大大解惑 07/07 16:44
→ maroondragon: 算出來的答案是24a^2 不知道對不對... 07/07 16:58
→ maroondragon: 因為不太清楚極座標的積分法，改以直角坐標積 07/07 16:58
→ maroondragon: 應該是沒錯的...(抖 07/07 17:02
→ keith291 : 不對喔 (x,y)的區域是扇形 你算的是三角形 07/07 20:06
→ keith291 : 而且我留給你的算式已經是一般雙重積分了 07/07 20:08
→ keith291 : 不用知道極座標你也能算 07/07 20:08
→ keith291 : (r,θ)直角座標系中的雙重積分 07/07 20:10
→ maroondragon: 對不起，我實在沒有頭緒要怎麼積分那個極座標式... 07/07 21:38
→ maroondragon: 我之前寫的重積分題目，一般分母的根號內都是單變數 07/07 21:39
→ maroondragon: 這種雙變數的我是第一次看到，想拜託大大告訴我該怎 07/07 21:39
→ maroondragon: 麼積分這式子，拜託了>_< 07/07 21:40
π/4 a
12 ∫ ∫ ar/(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 drdθ
-π/4 0
π/4 a
= 12 ∫ a(a^2 - (rcosθ)^2)^1/2 / -(cosθ)^2 | dθ
-π/4 0
π/4 a^2 (1 - (cosθ)^2)^1/2 a^2
= 12 ∫ ------------------------ + ----------- dθ
-π/4 -(cosθ)^2 (cosθ)^2
又被積式為偶函數:
π/4 a^2 (1 - (cosθ)^2)^1/2 a^2
= 24 ∫ ------------------------ + ----------- dθ
0 -(cosθ)^2 (cosθ)^2
π/4 a^2 (sinθ) a^2
= 24 ∫ ------------- + ----------- dθ
0 -(cosθ)^2 (cosθ)^2
π/4
= 24(-a^2 secθ + a^2 tanθ)|
0
= 24(-a^2 √2 + a^2 + a^2 )
= 24a^2 (2 - √2)
另外wiki上牟合方蓋的英文頁面就有答案:
https://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid#Surface_area
※ 編輯: keith291 (1.162.222.143), 07/07/2016 22:19:15
→ maroondragon: ㄚㄚ 我一直糾結在那個rcosθ，原來先積r一樣可以 07/07 22:39
→ maroondragon: 將cos搞出來... 07/07 22:39
→ maroondragon: 看起來結果跟3柱相交部分體積有些關聯性@@ 07/07 22:48