為什麼這篇轉移函數 差分 方程鄉民發文收入到精華區：因為在轉移函數 差分 方程這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者bluepal (我嘉義小商人QK啦 蓮蓬頭)看板Math標題Re: [分析] 雙向遞迴數列的推...
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 想請問有關雙向遞迴函數的綜合性跟推導問題
: 每個問題我都會下一個標題, 之後再進行詳細陳述, 最後加一些自己的猜測
: 順帶一提, 【問題三】是基於【問題二】的猜測是成立的
: 也是我主要想問的問題, 不過要先把【問題一、二】釐清才能講得清楚
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: 【問題一】雙向遞迴函數是否給定初始值後就存在唯一
: 我們知道單向遞迴函數的(a) 存在性: by遞迴定理的變形
: (b) 唯一性: by數學歸納法
: 嚴格敘述即是: 令f:R^k X N→R為一函數, N是正整數集合, R是實數集合
: 則任給k個實數y_0~y_(k-1)
: 存在唯一的數列y_n:N→R
: 使得y_n = f(y_(n-1),...,y_(n-k),n) for all n>=k
: = y_i for n=0~k-1
: 以上是k階遞迴方程的一般式, 我為了跟雙向做比較, 稱上面叫作單向
: 而現在我們考慮雙向k階遞迴方程:
: 令g:R^k X Z→R為一函數, Z是整數集合, R是實數集合
: 則任給k個實數y_0~y_(k-1)
: 是否存在唯一的數列y_n:Z→R
: 使得y_n = g(y_(n-1),...,y_(n-k),n) for all n != 0~k-1
: = y_i for n=0~k-1
: 我先不在乎存在性, 光是唯一性就讓我覺得有顧慮了
: 假設有兩個數列y_n, Y_n滿足上式, 則數學歸納法只告訴我y_n = Y_n for n>=0
: n<0的部分完全無從檢驗, 因為整體的定義方向是正向的, 負向沒有g的反函數
: 這部分我有幾個猜測:
: (1) 我對雙向遞迴函數的定義有誤?
: (我一定要討論雙向, 因為涉及到後面訊號處理的數學問題)
: (2) 確實雙向遞迴函數不一定有唯一性, 而如果g是線性的, 就可以導出存在唯一性
: 例如: y_n = y_(n-1) + y_(n-3) + x_n
: y_0, y_1, y_2 given
: 則y_(n-3) = -y_(n-1) + y_n- x_n
: 因此就可以獲得負向傳播的資訊
: 【問題二】訊號處理中使用Z轉換解差分方程是唯一解
: wiki跟書本幾乎對於下列名詞一起討論:
: (a) Z轉換(Laurent級數的變數取倒數)
: (b) LTI, 線性差分方程, FIR, IIR
: (c) 轉移函數(transfer function)
: (d) 頻率響應
: 舉個例子: 考慮差分方程y_n = y_(n-1) + y_(n-2)
: 則同取Z轉換得到 Y(z) = Y(z)/z + Y(z)/z^2
: 因此得到Y(z) = 0
: 然後反Z轉換得到y_n = 0, 零數列, 確實是解
: 參考 https://imgur.com/7HPYRPT.jpg
: 假設線性差分方程具有【問題一】的存在唯一性
: 即k階線性差分方程只是k階雙向遞迴方程的一種
: 並且任給k個初始值就會唯一決定整條數列
: 那不難知道:
: (1) 任給兩個滿足同一條k階線性差分方程的數列y_n, Y_n:Z→R
: 如果存在連續k個整數使得函數值相同, 那y_n = Y_n for all n€Z
: (存在唯一性定理的立即結論)
: (2) 同一條k階線性差分方程, 存在無窮多組解
: 但是！上面的結論跟Z轉換解差分方程是唯一解是矛盾的
: 因為如同我的舉例或是圖片, 取Z轉換後再反Z轉換回來, 得到的是唯一的y_n
: 沒有給你選擇k個初始值的地方
: 而我個人對於解釋矛盾的猜測如下:
: 矛盾來自於Z轉換解線性差分方程的嚴謹性
: 因為涉及: (a) 是否存在收斂圓環
: (b) 解析函數的相除
: (c) Z與反Z轉換的條件
: 所以綜合起來的解釋就是:
: 《線性差分方程有無窮多組解, 但是能讓(a),(b),(c)都過的解只有唯一一組》
: 也就是說: (A) Z轉換得到的解只是其中一組初始值所得到的解
: (B) 只有唯一一組初始值可以讓Z轉換解法well-defined
: (C) 線性差分方程中, 只有唯一一組初始值能寫成y_n = (h＊x)_n的形式
: (這個推論是來自於Z轉換的性質, 數列摺積的Z轉換等於各自Z轉換相乘
: 這也是為什麼轉移函數是定義成y的Z轉換除以x的Z轉換)
: (D) 只有唯一一組初始值才是LTI系統
: (如果(C)對, 這個就對)
: 如果我以上的解釋是對的, 那我採用這些解釋當已知, 詢問下面的問題
: 【問題三】如果以上解釋是對的, 那如何解釋下面這些問題
: (1) 如何知道Z轉換解法的唯一解是由哪一組唯一的初始值得到的?
: 還是就是結果論去用Z轉換解出解, 自然就得到所有的值了
: (2) 工程實作上對於線性差分方程的處理如下:
: (a) 使用Z轉換得到轉移函數(如上面連結的H(z))
: 如果想要得到頻域響應, 就考慮|H(exp(iw)|
: (b) 實作時就是令初始值為0, 讓電腦去跑線性差分方程
: 那矛盾就來了, 用轉移函數得到的分析結果, 不就是默認你考慮的解y_n是唯一那組
: 可以用Z轉換解得的解, 那組解有那麼剛好初始值都是0?
: 我目前只能對這矛盾的猜測是:
: (1)《假設初始值為0的解就是Z轉換解得的解》
: 當然我如果是這假設還蠻不舒服的, 應該有其他道理
: (2) 不用假設, 初始值為0的解縱然跟Z轉換解得的解不同也沒關係
: (注意，如此一來就不是LTI系統, 因為只有Z轉換那組解才能寫成摺積)
: 因為會存在某種工程上可以接受的近似關係(那是什麼?)
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: 完全解決以上聯貫問題的1000p奉上
: 其他有幫助到我的idea也會p幣感謝
: 謝謝幫忙~做訊號處理以來卡最久的邏輯問題就是這塊了
: 終於整理出一個好詢問的脈絡了...
關於問題一
a[n]: Z->R
雙邊差分方程
a_k=f(v_k,n), a_i表示數列a[n]'s kth term
v_k=[a_0,a_1,....a_(k-1)]屬於 R^k
n屬於 Z
f: R^k x Z ->R (視情況要有好的條件)
線性常係數齊次時:
a_k=g(v_k) g: R^k ->R
且g(c*v_k)=c*g(v_k) for all c屬於R
像上面討論的線性常係數齊次方程可反向求回,具存在唯一性
不過對於一般的f(．)的唯一性
我好像找到一個簡單的反例:
a_n= sin( pi*(a_(n-1)) )
第一個數列 b_n=0 for all n屬於Z
第二個數列 c_n:
Let c_0=0 可得 c_i=0 ,for all i>=0
c_(-1)=1
c_(-2)=1/2
c_(-3)=arcsin(1/6) / pi
c_(-4)可以設定成 arcsin[c_(-3)] / pi
因為1/6<1/2 ,arcsin[c_(-3)]< pi/6
所以c_(-4)<1/6
Let c_(-n-1)= arcsin[c_(-n)] ,for n>=4
c_(-n)< 1/6< 1/2
arcsin[c_(-n)]< pi/6
所以c_(-n-1)< 1/6
Obviously, c_(-n)>0 ,for n<0
Hence, 0 <c(-n)<1/6 and well-defined for n屬於Z
得到c_n!=b_n 但滿足相同雙邊差分方程
至於問題二三....
我從最簡單等差級數下手 a_(n+1)=a_n+1
但bilateral Z transform does'nt work for constant......
unilateral還能解
所以應該是V大和z大討論的結果,因ROC有所限制也同時限制了可以解的DE
至於詳細bilateral Z transform做出來的到底是符合甚麼初始條件和對應的h..
感覺要細究很多z大所提及的那些限制 是否holomorphic ROC限制transform是否存在等..
本人力有未逮 非本人之能力所及 補眠去 加油
不過還是可以做一個小結
如果連1st-order DE 和 sin()這麼好 滿足各種存存在唯一性需要條件的函數
都沒辦法讓他的 雙邊數列 解(x_n) 有唯一性的話
那其實也不用去考慮初始條件
因為不管你選哪一段(k階k個)初始條件 都只能往後面確保唯一性
(如果雙邊遞迴用這個定義)
無論考慮哪一段 前面總可能跑出多個可能
所以初始條件完全不能保証前面的項
取而代之 就變成存在性比較重要了 至少存在就好
平常起手勢 用Z-transform 轉到frequency domain拿到response
之後讓初始條件為零去跑 就至少得到一個解往後的資訊
前面反向資訊就算有初始條件他也可能不是唯一的
而且bilateral Z-transform 這個mechanism works 也挺嚴格的
就是ROC和上面講的那些...
通過後就有存在性了
他變成一個多對一的結果(Perhaps)
以前學PDE的時候也沒在管所有解也不一定有唯一性了(還有更多沒有存在性)
我是在想z大是否想回推反向資訊才在意唯一項問題 看是否能用初始條件確保?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 203.204.39.221 (臺灣)
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※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/10/2022 19:01:04
※ 編輯: bluepal (203.204.39.221 臺灣), 09/10/2022 21:53:26
推 znmkhxrw : 前面的分享我再行吸收, 謝謝! 後面論及我為什麼詢 09/10 23:11
→ znmkhxrw : 問唯一性或是相關問題, 主要來自於工作上是用差分 09/10 23:11
→ znmkhxrw : 方程做時域濾波時, 都是初始值設0, 然後開始跑程式, 09/10 23:11
→ znmkhxrw : 而跑出來的輸出y_n具有怎樣的性質, 就用轉移函數H( 09/10 23:11
→ znmkhxrw : z)來分析 09/10 23:11
推 znmkhxrw : 然後我某天想要用嚴謹的數學把這些連結在一起, 卻發 09/10 23:15
→ znmkhxrw : 現了數個矛盾: (1) 如果用Z轉換去分析頻率, 根本沒 09/10 23:15
→ znmkhxrw : 有初始值這個變因, 但是我程式碼卻有初始值 (2) 不 09/10 23:15
→ znmkhxrw : 同初始值有不同的解, 那我程式碼給不同初始值不就 09/10 23:15
→ znmkhxrw : 有不同的y_n, 那憑甚麼要給0 (3) 既然不同的初始值 09/10 23:15
→ znmkhxrw : 有不同的解, 哪個才是我要的輸出頻率結果, 如果頻率 09/10 23:15
→ znmkhxrw : 結果都一樣, 那初始值不重要囉 (4) 以上全部的嚴格 09/10 23:15
→ znmkhxrw : 敘述與證明 09/10 23:15
→ znmkhxrw : 起初問題範圍之大以及錯綜複雜讓我不知從何問起, 09/10 23:17
→ znmkhxrw : 最後就以雙向遞迴這個為切入點了 09/10 23:17
→ bluepal : 了解 現在這個例子看來雙Z就算有足夠初始條件 09/10 23:19
→ bluepal : 也只能保證往後跑的差分方程唯一性 你之前的分析 09/10 23:20
→ bluepal : 但前面的項如果我這個反例沒出問題就沒有保證 09/10 23:20
→ bluepal : 往後跑的 *數列 sorry 09/10 23:21
→ recorriendo : 要講實作的話 通常已假定BIBO 那就蘊含impulse resp 09/13 00:37
→ recorriendo : onse→0 for large t 也就是初始條件的效應確實在夠 09/13 00:39
→ recorriendo : 久時間後就不重要了 (FIR更清楚因為保證夠久時間後 09/13 00:39
→ recorriendo : h保證為0) 也就是初始條件的影響是trasient effect 09/13 00:40
→ recorriendo : 文獻還有各種設計初始條件去壓transient effect的 09/13 00:41
→ recorriendo : 簡單的例子:MATLAB內建filtfilt函式就用了一個自動 09/13 00:42
→ recorriendo : 選初始條件的小trick 09/13 00:43