【處處極限不存在的函數】
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　　我記得自己剛升大一在學習微積分的時候，教授問了一個問題，「有沒有哪一種實變數實值函數是任何一點的極限都不存在的」，那時候我想了很久，總是想不出來到底要怎麼設計，才有辦法完成教授的要求。那時候我一直想不透的癥結點是，如果要在任意點的極限都不存在的話，那可能要先解決一個問題，那就是在設計了一個在某一點，例如說 a 點，極限不存在的函數以後，要如何改造這個函數，才有辦法讓 a 點「旁邊」的點其極限也不存在。
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　　（接下來的內容，建議同學們可以拿支筆在紙上按照說明把函數畫出來）
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　　舉例來說，如果我們設計了一個在 x = 0 這個點極限不存在的函數（例如設定這個函數在 x 小於 0 時其函數值均為 0；而當 x 大於 0 時其函數值均為 1），那麼要如何改造或調整這個函數，才有辦法讓這個函數在 x = 0 的「旁邊」的點其極限也不存在呢？針對這個例子而言，或許可以這樣做：先將這個函數在 x 大於 1 以後的函數值改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 1 的時候極限都不存在，但因為 1 並非 0「旁邊」的數字，所以顯然還要再調整，於是我們再將 x 大於 0.5 以後的函數值都改成 0.5，那麼這個函數就會變成在 x = 0 和 x = 0.5 處其極限不存在，但同樣地，因為 0.5 並非 0「旁邊」的數字，所以我們繼續調整這個函數，下一步當然是將 x 大於 0.25 以後的函數值都改成 0.5，依此類推，再下一步就是將 x 大於 0.125 以後的函數值都改成 0.5，持續這樣的步驟，最終我們會得到一個當 x 小於 0 時其函數值為 0 而當 x 大於 0 其函數值為 0.5 的函數。這個函數當然仍然在 x = 0 的時候其極限不存在，但是原本在調整時的兩點極限不存在，卻因無限持續這樣的步驟，而變回了僅在 x = 0 極限不存在的狀態。這結果實在令人沮喪。
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　　之所以會產生這樣的狀況，是因為持續了無限次將新增的極限不存在的點向 x = 0 處靠近的緣故。既然如此，那如果不要持續上面的步驟無限次呢？如果僅持續有限次的步驟，那麼在該次步驟的下一次，一定可以把 x = 0 右邊新增的極限不存在的點向 x = 0 再靠近一些，這個推論的結果就是，如果僅持續有限次上述的步驟，那麼就無法達成創造一個在 x = 0 的「旁邊」的極限不存在的點。結果，無論是有限次或無限次操作上述的步驟，最終都無法達成我們的目標。這真的真的非常令人沮喪，因為這意味著從一個點的極限不存在出發，去逐步改造出一個處處極限不存在的函數，方向很可能是錯誤的。
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　　那麼，該怎麼辦呢？
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　　面對這個問題，當時的我最終並沒有自己解出來，而是一個比過奧數的朋友在老師公布答案之前成功地解了出來，並告訴我他的想法。
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　　他告訴我，既然從一個點的極限不存在開始是行不通的，那就一次就創造一大堆極限不存在的點吧！例如一開始的函數乾脆設定成這樣：當 x 介在 n 和 n + 1 之間且 n 為偶數時，將其函數值設定為 0，而其他地方則設定為 1。例如，當 x 介在 0 和 1 之間或介在 2 和 3 之間時，其函數值就是 0，而當 x 介在 1 和 2 之間或介在 99 和 100 之間時，其函數值就是 1。如此一來，我們就獲得了一個在每一個整數點其極限都不存在的函數。
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　　以此為起點，比起我想的那個例子最初的樣子一次新增了無限多個極限不存在的點，似乎好像有了長遠的進步，但到此階段實際上並沒有解決我最一開始講的問題的癥結點，那就是如何在一個極限不存在的點的「旁邊」創造一個極限也不存在的點。
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　　為了解決這個問題，我的朋友告訴我，下一步是在每一個「區間」裡進行調整。用例子來說明而剩下類推的話，大概是這樣操作：例如，在 0 和 1 之間，函數值原本都是 0，但接下來把這個區間切割成 10 等分，然後第 1、3、5、7、9 個區間（也就是在 x 介在 0 和 0.1、介在 0.2 和 0.3、介在 0.4 和 0.5、介在 0.6 和 0.7、介在 0.8 和 0.9 之間的這幾個區間），我們把函數值調整成 1，其餘的不動，那麼我們就可以得到一個，除了在所有整數點極限都不存在的函數以外，這個函數在 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9 的極限也不存在。那如果是在原本函數值為 1 的區間，則在等分割成 10 個區間以後，將第 2、4、6、8、10 個區間的函數值調整成 0。若將上面這些動複製到其他區間的話，那麼在每一個整數區間（就是 n 到 n + 1 的區間）裡面，其十分位數的位置其極限都不存在。
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　　接下來，再將函數值為 1 的區間等分割為 10 個區間，然後第 2、4、6、8、10 個區間其函數值都調整成 0，而函數值為 0 的區間一樣等分割為 10 個區間，但是是將第 1、3、5、7、9 個區間的函數值調整成 1，那麼，這個函數就變成了一個除了在所有整數點極限都不存在以外，但在每一個整數區間裡面其百分位數的位置極限都不存在的函數。
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　　再接下來，繼續進行上面的動作，不斷地十等分分割之前產生的區間，並且適當地調整其函數值，使其在任一階段裡面都是前一個區間裡面的函數值是 0 且後一個區間裡面的函數值是 1 ，或前一個區間的函數值是 1 而後一個區間裡的函數值是 0 的狀態，持續無限次，最終就會得到一個在任一點其極限值都不存在的函數了。
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　　要證明這個函數處處極限不存在有分簡單版和嚴格版，這邊我們先講簡單版，以後有機會再談嚴格版。對於這個函數而言，固定任何一點 a，其左極限只有兩種可能，0 或 1，但因為這個函數被分割地非常地密，而且連續幾個區間在任一階段裡面都是一下子 0 一下子 1 這樣變動，所以這個函數在 a 點的左極限不存在，因此這個函數在 a 點的極限並不存在。最後，因為 a 這個點是任意取的，所以我們可以說這個函數的極限值在任意點都不存在。
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　　這個答案真的很猛，因為當時在班上只有我那位奧數的朋友給出了教授點頭的答案。
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　　雖然當初他並沒有辦法清楚地講出左極限不存在的原因，也因為我們還沒學到極限的嚴格定義，所以沒辦法用嚴謹的敘述來證明這樣的函數確實處處極限不存在，但現在回想起來，那位奧數朋友還是很猛！因為他就好像那種天生的小說家一樣，信手拈來就寫出了一本傑出的小說，而我們凡人卻連寫一篇普通的文章都很成問題。
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　　講到這裡，今天的故事似乎已經講完，但其實還沒，因為這樣聰明的人，並不會只出現我們班上甚至是這個時代而已。
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　　關於「是否存在一個處處極限都不存在的函數」這個問題，其實在 19 世紀時，就有一位叫做 Dirichlet 的德國數學家，他所創造出來的一種函數（後來稱為 Dirichlet 函數），就是處處極限不存在的函數。這個函數的定義如下：當 x 為有理數時，其函數值是 1；當 x 不為有理數時，其函數值是 0。這樣的函數確實也處處極限不存在，也是我教授當時給同學們預設的答案。
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　　在這邊我就不文字解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在了，但我有拍一部影片來說明，如果你想繼續看下去，可以點開我貼在本篇文章留言處的這部影片，我有盡量簡單地解釋為何 Dirichlet 函數處處極限不存在。
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　　雖然 Dirichlet 函數處處極限不存在，但其實當初 Dirichlet 所面對的問題，並非「是否存在處處極限不存在的函數」，而是「是否存在無法圖像化的函數」。在經過可能類似這篇文章最一開始的那些推敲以後，Dirichlet 創造了 Dirichlet 函數，而這個 Dirichlet 函數就是一個「客觀存在」但「無法圖像化」的函數。並且，除了無法圖像化以外，Dirichlet 函數在數學上也有著很重要的地位，因為他常常是一些直覺上無法察覺的現象的重要例子。例如我們直覺上都會認為只要函數有週期，那麼就會存在最小週期，但 Dirichlet 函數就是一個不具有最小週期的週期函數，因為任意有理數都是它的週期。
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　　關於 Dirichlet 函數的性質我們就講到這邊，或許以後有機會可以專門寫一篇跟 Dirichlet 函數有關的文章，不過有很多性質都是需要具備更多數學知識以後才能介紹的，所以如果真的要寫的話，那可能就還要再等一陣子了。
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　　最後，跟大家介紹一下我上面所提到的影片，那是我在 2020 年時所拍攝的一系列微積分教學影片的其中一集。該系列影片基本上有觀念講解、精選範例和補充教材，近期我會開始陸續上傳到這裡，但不是每一部影片都會寫文章來搭配，所以如果你想跟著我上傳的速度一部一部看，而且不漏掉系列裡每一部影片的話，可以關注我在西瓜視頻、騰訊視頻和優酷視頻的頻道；如果你想一次看完我全系列的影片的話，可以關注我在 YouTube、bilibili 或 Pornhub 上的頻道，上面已經上傳了張旭微積分全系列影片。另外這系列影片都有講義電子檔可以搭配使用，如果你想要取得該電子檔的話，請幫我按讚這篇文章和這個粉專、分享這篇文章，並幫我到我的臉書粉專評論處寫個評論，然後私訊我的臉書粉專，我的夥伴就會回覆你講義電子檔的連結。
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　　感謝你的觀看，希望這篇文章對你有所幫助，有任何問題或想法也歡迎在下面留言告訴我。另外，本文章同步發佈於數學老師張旭的 YouTube 頻道社群、微博、今日頭條、Medium 和 HackMD，若你也有上面提到的那些帳號，歡迎按讚、分享和關注！

((快閃開團)) 韓國客製姓名飄帶+防水姓名貼+照片磁鐵
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姓名飄帶一共有三款，實品的品質不用說，真的非常好! 織帶顏色、字 型、圖案選擇、款式介紹請看最後幾張圖唷!! 我也有分享自己配色的色號給大家參考，如果不想太燒腦，也可以參考莫莉媽的配色選擇噢~

A款-客製名字拉環
尺寸:2.5*13~14cm、團購價$590
這款是最美、配件最豐富、扣環也最好看的一款，尺寸我覺得也很適中，是非常適合掛書包的一款哦!!

B款-客製名字釦環
尺寸:2.5*26cm、團購價$490
這款是尺寸最大、配件也能選好選滿的一款，是三款裡面唯一一款使用釦子的款式。這款適合當行李箱飄帶、或是拉桿型書包、大型背包 旅行袋…等等的飄帶。

C款-客製名字勾環
尺寸:2.5*10cm、團購價$390
這款是尺寸最小、只能選擇繡小圖的圖案，沒有額外搭配飾的款式。適合當安親補習袋、學校跑堂的學習袋、餐袋 或是偏小型的背包使用，當然書包要別這個也可以哦!

跟大家說一下要怎麼訂飄帶:
每一款基本上都要選飄帶顏色、字的顏色、小圖這三個，其中有兩款還要再加選小配飾和大配飾，最後就是訂製的姓名了! (中文限3個字、英文限6個字)

如果只買一條的話，很單純就是先選數量1、然後依序填入妳要選的編號就可以。如果買2條以上的話就按照順序填，比如織帶顏色 第一條要3號色、第二條要5號色、第三條要6號色，那就填入 3.5.6。 再來第二欄是選字的顏色，這邊注意 第一條 第二條 第三條的順序要跟前面一樣哦!!

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韓國的姓名織帶做起來真的格外亮眼，別在書包上整個很有質感，還可以選擇小朋友喜歡的圖案配飾，三款尺寸及不同的款式選擇給大家，這三款也是我自己覺得日常生活中最實用的款式。

這次因為幫自己家的孩子們做，結果好多身邊的朋友在詢問，我才決定幫大家開這團，因為開這個真的超級複雜，要選的東西很多，不過做出來的成品不會讓人失望，是一條可以陪伴小朋友上學和旅行的好朋友!

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#韓國手工客製照片磁鐵

材質為加厚珍珠板，背面是長條軟磁鐵(照片有拍到)，純手工製作，背面是軟磁鐵，請確認可以接受哦! 吸力很好、不容易掉~ 我們家從小妞2、3歲吸到現在都一直好好的哦!

照片清楚就可以，要做爸爸、媽媽、阿公阿嬤、家裡的寵物都可以哦!

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#韓國防水照片姓名貼

客製大頭的防水姓名貼，我們家從小班用到現在 ，可以中文 也可以中文+英文，做出來的比例各有不同，詳見本文的照片範例，需提供清晰無遮蔽的照片，韓國設計師會協助去背及後製

⭐姓名貼每張A4 $250 (提供一張照片)
🔸成品是A4尺寸(長方形有65小張 、圓形有48小張)
🔸有白底圓形/白底長方形/透明圓形/透明長方形

磁鐵設計的角色會隨男女寶有所不同，未必會跟範例一模一樣哦! 姓名貼亦是如此，設計師會依照片情況做調整。 照片只需要繳交清晰、沒有遮蔽的就可以，設計師會協助去背及後製哦!! 如果不想要上腮紅、或是有任何特殊需求，請務必填寫於備註欄。

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假設只單買姓名飄帶，那麼送出訂單後付款完成就ok了! ⛔️不用另外傳email囉~

假設有買姓名貼紙或是照片磁鐵，訂單送出後記得在7天內寄出訂製email，付款成功後就可以將照片寄至 wowydq@gmail.com

#每一組照片請個別發mail
例如: 下單2張姓名貼(不同小孩或不同張照片)+一組磁鐵，請分3封mail發送，確保照片不會被搞混

⚠️標題統一為 : 「繳交姓名貼(磁鐵)照片+訂單編號(或訂單姓名)」

🔸姓名貼內文請提供
一. 訂單姓名+聯絡電話
二. 姓名貼要印的名字+規格 例如:
MOLLY 莫莉 (圓形白底)

🔸照片磁鐵內文請提供
一. 訂單姓名+聯絡電話
二. 提供6~8張照片含2張全身

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🔺🔺🔺照片選擇請看範例說明
下單後記得一週內完成繳交，照片請挑選臉部無遮蔽、不比YA 沒有任何東西檔住臉部的，臉上要乾淨.頭髮不要凌亂，越清楚的照片做出來越好看，如果真的不合適廠商會通知更換，繳交照片後請持續留意email。

廠商收到信件會回覆，但是大量的信件、和超過千張的照片要一一確認，需要很多時間，請不要急，寄出後請給廠商1週的時間慢慢消化哦!

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🔥開團期間為加速客服速度，繳交照片和客服問題請分流
有問題的請發LINE、繳照片請寄mail，這樣才不會客服問題被照片mail給淹沒了!

⚠️繳交照片請mail → wowydq@gmail.com

⚠️客服問題請LINE → LINE ID: @wow-shop (一定要加前面的@哦! 名稱是顯示"WOW尹丹巧國際"才對!)

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本團運費 80元(外島150元)，單筆訂單滿1500免運費

本團到貨時間:
預計8/10~8/25 出貨

韓國做好寄回台灣就會馬上寄出，客製商品變數較大，有可能提前 也有可能延後，還請多多見諒。

收到請立即確認訂製內容是否有問題，如有錯誤請盡速與客服聯繫!

訂製量龐大、且皆為人工逐一處理，難免會有些錯誤，如果有任何問題請與客服聯繫，客服均會全力協助處理，請大家放心哦!

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📜 [專欄新文章] [zkp 讀書會] Cairo 語言介紹

✍️ NIC Lin

📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium

Cairo 是 STARK 證明系統的其中一個編程語言，讓開發者能透過 Cairo 來使用 STARK，撰寫效能更高的 Dapp

Photo by Simon Berger on Unsplash

Warning：本篇會保持在 high level 的介紹，實際深入的部分請見文內附上的文檔或是官方開發者文件

背景介紹

建構於密碼學的零知識證明能提供計算的隱私性，但同時在區塊鏈生態系也被用來提升 Scalability — 我可以用 10 秒的運算資源來驗證原本耗費 1000 秒運算資源的計算過程

如同更多人熟悉的 SNARK，STARK 也是一個零知識證明的證明系統，但當前的 STARK 著重的是在 Scalability ，而非大家比較習以為常零知識證明提供的隱私性特質

其實目前基於 SNARK 的 Rollup 項目，例如 zkSync、Loopring、Aztec、zkopru，除了 Aztec 外，其他都是利用 SNARK 來增加 Scalability — 這些 Rollup 上資料都還是公開、沒有隱私性的

StarkWare 是目前唯一基於 STARK 的開發團隊

STARK 要加上隱私保護不會太難，只是 StarkWare 還沒有把這項功能放在未來規劃中

Cairo 簡介

標榜為圖靈完備的零知識證明系統語言，Cairo 對原本熟悉 Solidity 的開發者來說還是會感到比較難上手和陌生的。再加上套件庫還不夠充足，目前支援的雜湊函式是 Pedersen，數位簽章演算法是 ECDSA（相對於 SNARK，EdDSA 的效能反而比較差所以沒有支援）。
但 Cairo 還在早期開發的階段，相信開發體驗會越來越好的。

另外需要注意的是作為一個證明系統，會有 Prover 和 Verifier 的角色。而 STARK 的 Verifier 是公開的，但 Prover 軟體預計會有 License 保護。Prover 一般情況下不得用於商業用途，除非將 proof 上傳至官方的 Verifier。

最後要提及的是，第一版的 Cairo 是設計來方便開發者將 Dapp 的運算遷移至鏈下。不同於 Rollup，這個鏈下只會有它自己一個 Dapp。這個 Dapp 的項目方自己維護自己 Dapp 的 state。（ Rollup 則是 operator 維護所有 Dapp 的 state，Dapp 開發者不需自己操煩）
這可能有點難懂。如果你有在寫 Solidity，想像一下今天你在合約要用到合約裡宣告的 storage 變數時，你要自己提供 merkle proof 上來，證明這個storage 變數真的是這個值。這個就是開發者要自己維護 state 的意思。

而第二版的 Cairo 則是 StarkNet 裡使用的 Cairo（第一和第二版是不同編譯器），這版的 Cairo 就是作為 Dapp 在 Rollup 開發所使用 — 開發者可以在合約裡宣告變數，變數的值不需開發者維護，可以直接假設存在。
註1：StarkWare 不喜歡 Rollup 這個詞，他們覺得 Data Availability 的需求是一段光譜：不一定得要把 data 全都送上 L1，中間有其他方式可以做不同層級的 Data Availability。
註2：第一版和第二版實際上在官方版本裡是 0.0.1 及 0.0.2，在撰文當前最新版即是 0.0.2

官方網站：https://www.cairo-lang.org
開發者文件：https://www.cairo-lang.org/docs/

開發環境

Cairo 有提供像是 Remix 的瀏覽器 IDE：playground。裡面提供各種範例練習和挑戰，除了可以編譯，還可以直接生成並上傳 proof。
註：但有些功能還是沒辦法在 playground 裡使用，例如要給你的程式 custom input 時。這時候只能在本地端開發才能使用這個功能。

開發 Cairo 要先安裝python，我將開發者文件整理出來的資料統整在這個 hackmd 文檔裡：https://hackmd.io/w690dpAQTsKeKZv3oikzTQ
裡面包含簡介、設置本地開發環境以及 Cairo 基礎（因為篇幅原因，所以不將內容複製到這裡）
註：我把開發者文件裡的代碼整理到這裡：https://github.com/NIC619/cairo_practice/tree/master/practices
如果不想在研究開發者文件過程中，還要自己手動拼湊裡面例子的話，可以直接用整理好的代碼來執行。同時 repo 裡還有包含一些額外自己測試 Cairo 功能的範例。

深入 Cairo

在那份 hackmd 文檔裡的開頭，可以連結到第二部分 — 深入 Cairo 的部分。裡面也是從開發者文件裡擷取出來我覺得比較重要的部分。如果你要讀開發者文件的話，我建議從 Hello Cairo 開始，它會從例子切入，會比較好知道 Cairo 怎麼使用。接著如果要更深入了解，再去讀 How Cairo Works。

StarkNet Cairo

第二版的 Cairo 其實功能和第一版的 Cairo 是差不多的，所以不必擔心在開發者文件裡學到的 Cairo 在 StarkNet 版本會不能用或差很多。在讀完 Hello Cairo/How Cairo works 後，就可以接著看 Hello StarkNet。會很順利的切換到 StarkNet 版本的 Cairo。
註1：我整理的文檔裡是按照第一版 Cairo 所寫的
註2：如果你從開發者文件一路看下來，體驗過非 StarkNet 版的 Cairo，那你在體驗 StarkNet 版的 Cairo 時一定會發現這更像一般智能合約的使用方式 — 你可以用 view 函式查詢 storage 變數，可以用 external 函式去執行合約（非 StarkNet 版本不是這樣操作 Dapp 的，這邊因為篇幅原因沒有詳細介紹）。

非常建議嘗試兩種版本的 Cairo，你會知道 1. 操作一個單獨在 L2 的 Dapp 和2. 操作與其他 Dapp 共存在 Rollup 上的 Dapp 的不同。這對了解 L2 怎麼運行、需要哪些資料、為什麼需要這些資料非常有幫助。

0.0.2 版的 StarkNet Cairo 目前還缺少一些功能：

函式還沒辦法宣告陣列或 struct 型態的參數

合約和合約之間還沒辦法互動

L1 沒有辦法讀取到 L2 的資料，L2 也沒辦法讀取到 L1 的資料。如果要建立跨 L2 Bridge，這個功能非常重要。

補充及個人心得

STARK 的 proof size 相比於 SNARK 系列的 proof size 大很多，又其證明所包含的交易數量對 proof size 和驗證時間的影響不大，所以把很多筆交易一併做一個 proof 會是對 STARK 非常有利、節省成本的方式（SNARK、STARK 比較表）。但這同時也是一個缺點，如果你的 Dapp 或 Rollup 的 TPS 不高，那就只能等更久時間搜集多一點的交易，要不然就只能提高成本來維持驗證 proof 的頻率。

StarkWare和 zkSync 一樣都有 Rollup 宇宙的概念（ Rollup 宇宙的用詞並不精確，因為在他們的宇宙中不會所有子鏈都是 Rollup，而是會有依照 Data Availability 程度不同所區分的子鏈，像是 Validium、zk Porter 的設計），個人覺得能夠有（針對 Data Availability 程度的）選擇是會比只有一個選擇（完全 Data Available） 還好的方式，但實際上的可行性就要等其團隊釋出更多的資訊。

在 Rollup 越趨成熟的情況下，能夠提供快速跨 Rollup 服務的流動性提供者的角色會越來越重要。zk Rollup（StarkNet、zkSync、etc…）比 Optimistic Rollup （Optimism、Arbitrum、etc…）有著短上許多的 finalize 時間，這對降低流動性提供者的風險有很大的幫助，但目前 zk Rollup 支援合約功能甚至 L1 <-> L2 互動的完成度都比 Optimistic Rollup 還低上許多。短期內快速跨 Rollup 的服務應該還是侷限在 Optimitic Rollup 之間。

abbrev

[zkp 讀書會] Cairo 語言介紹 was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

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我是JC老師
電腦相關課程授課超過6000小時的一位AutoCAD課程講師
由於實在太多同學向JC老師反映，希望可以有線上課程學習
所以就決定錄製一系列的AutoCAD線上影片教學
而且不加密、不設限、不販售，就是純分享，希望可以幫助到有需要的朋友們
如果這部AutoCAD教學影片對你有幫助的話
請幫我按個讚，給我點鼓勵，也多分享給需要的朋友們喔~

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填充線HATCH(H)：
● 使用填充線樣式、單色填滿或漸層填滿既有物件或封閉區域
● 樣式、性質
　◆ 填充線類型：指定是否使用單色、漸層填滿、樣式填滿或使用者定義的填滿。
　◆ 填充線顏色或漸層顏色 1：取代單色填滿和填充線樣式的目前顏色，或指定兩種漸層顏色中的第一種顏色 (HPCOLOR or GFCLR1)。
　◆ 背景顏色或漸層顏色 2：指定填充線樣式的背景顏色，或第二種漸層顏色。「填充線類型」設定為「單色」時，「漸層顏色 2」不可用。(HPBACKGROUNDCOLOR 或 GFCLR2)。
　◆ 圖層透明度：設定新填充線或填滿的透明度等級
　◆ 填充線角度：為填充線或填滿指定相對於目前 UCS 之 X 軸的角度。有效值介於 0 到 359 之間 (HPANG)。
　◆ 填充線樣式比例：(僅當「類型」設為「樣式」時可用) 展開或收縮預先定義或自訂的填充線樣式 (HPSCALE)。
　◆ 填充線間距：(僅當「填充線類型」設為「使用者定義」時可用) 指定使用者定義樣式的行距。
● 漸層
　◆ 當「填充線類型」設為「漸層」時，指定一種顏色的暈白 (選取顏色與白色相混合) 或暈黑 (選取顏色與黑色相混合)，用於單色漸層填滿 (GFCLRLUM)。
● 使用者定義
　◆ 「填充線類型」設為「使用者定義」時，指定使用者定義樣式的行距。
　◆ 雙向：與原始線成 90 度角處繪製第二組線，以建立交叉填充線 (HPDOUBLE)。
● 邊界
　◆ 點選內部點：從在指定點周圍形成封閉區域的既有物件，來決定邊界。
　◆ 選取物件：利用形成封閉區域的所選物件決定邊界。
　◆ 移除邊界：(只在從「填充線與漸層」對話方塊內加入填充線時可用)在目前作用的 HATCH 指令期間，移除已加入的填充線樣式。按一下要移除的樣式。
　◆ 加入邊界：(只在從「填充線與漸層」對話方塊內加入填充線時可用)從「移除邊界」模式切換，以便再次加入填充線樣式。
　◆ 顯示邊界物件：顯示邊界掣點控制，可讓您對邊界和選取的填充線物件進行掣點編輯。選取非關聯式填充線時，填充線邊界掣點會字自動顯示。選取關聯式填充線時，除非您選取「顯示邊界物件」選項，否則不會顯示單一填充線掣點。您僅可以經由掣點編輯關聯邊界物件來編輯關聯式填充線。
　◆ 保留邊界物件：指定填充線邊界物件的處理方式。選項包括：
　　★ 不要保留邊界：(僅在填充線建立期間可用) 不會建立單獨的填充線邊界物件。
　　★ 保留邊界 - 聚合線：(僅在填充線建立期間可用) 建立封閉填充線物件的聚合線。
　　★ 保留邊界 - 面域：(僅在填充線建立期間可用) 建立封閉填充線物件的面域物件。
● 選項：控制數個常用的填充線或填滿選項。
　◆ 可註解：指定填充線為可註解。此性質可自動執行調整註解比例的過程，以便在圖紙上以正確大小出圖或顯示註解。(HPANNOTATIVE 系統變數)
　◆ 關聯式：指定填充線或填滿為關聯式。修改關聯式填充線或填滿的邊界物件時，會更新填充線或填滿。(HPASSOC 系統變數)
　◆ 建立獨立填充線：控制指定數個獨立的封閉邊界時，是建立單一填充線物件，還是多個填充線物件。(HPSEPARATE 系統變數)
　◆ 繪製順序：指定填充線或填滿的繪製順序 (HPDRAWORDER)。
　◆ 孤立物件偵測
　　★ 正常孤立物件偵測。從外側邊界向內繪製填充線或填滿。如果遇到內部孤立物件，會關閉繪製填充線或填滿，直到在該孤立物件內出現其他孤立物件為止 (HPISLANDDETECTION)。
　　★ 外部孤立物件偵測。從外側邊界向內繪製填充線或填滿。此選項僅在指定的區域繪製填充線或進行填滿，內部孤立物件不受影響 (HPISLANDDETECTION)。
　　★ 忽略孤立物件偵測。忽略所有內部物件，並填滿這些物件或在其上繪製填充線 (HPISLANDDETECTION)。
　　★ 複製性質(M)：使用目前原點。使用選取的填充線物件設定填充線的性質，填充線原點除外。使用來源填充線原點。使用選取的填充線物件設定填充線的性質，包括填充線原點。
　　★ 間隙公差：設定當物件做為填充線邊界時，可以忽略的最大大小的間隙。預設值 0 指定物件必須無間隙地封閉區域。
　◆ 「原點」面板
　　★ 控制產生填充線樣式的起始位置。某些填充線 (例如磚砌型樣式) 需要與填充線邊界上的點對齊。依預設，所有填充線原點對應於目前 UCS 原點。


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AutoCAD 2016 2D 線上教學影片目錄：http://bit.ly/2Y5F4Mw
AutoCAD 2016 2D 線上教學影片範例下載：https://bit.ly/3eOuKQR
AutoCAD 2D 常用快速鍵清單整理：http://bitly.com/2dUEJ9d
建築室內設計Arnold擬真呈現教學影片目錄：https://bit.ly/2VbZmmd
TQC AutoCAD 2008 2D 線上教學影片目錄：http://bitly.com/2dUGQtB
3ds Max 2015 線上教學影片目錄：http://bitly.com/2dUGqn3
JC老師個人網站：http://jc-d.net/
JC老師個人FB：https://www.facebook.com/ericjc.tw
JC-Design LINE ID：@umd7274k

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而且不加密、不設限、不販售，就是純分享，希望可以幫助到有需要的朋友們
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填充線HATCH(H)：
● 使用填充線樣式、單色填滿或漸層填滿既有物件或封閉區域
● 樣式、性質
　◆ 填充線類型：指定是否使用單色、漸層填滿、樣式填滿或使用者定義的填滿。
　◆ 填充線顏色或漸層顏色 1：取代單色填滿和填充線樣式的目前顏色，或指定兩種漸層顏色中的第一種顏色 (HPCOLOR or GFCLR1)。
　◆ 背景顏色或漸層顏色 2：指定填充線樣式的背景顏色，或第二種漸層顏色。「填充線類型」設定為「單色」時，「漸層顏色 2」不可用。(HPBACKGROUNDCOLOR 或 GFCLR2)。
　◆ 圖層透明度：設定新填充線或填滿的透明度等級
　◆ 填充線角度：為填充線或填滿指定相對於目前 UCS 之 X 軸的角度。有效值介於 0 到 359 之間 (HPANG)。
　◆ 填充線樣式比例：(僅當「類型」設為「樣式」時可用) 展開或收縮預先定義或自訂的填充線樣式 (HPSCALE)。
　◆ 填充線間距：(僅當「填充線類型」設為「使用者定義」時可用) 指定使用者定義樣式的行距。
● 漸層
　◆ 當「填充線類型」設為「漸層」時，指定一種顏色的暈白 (選取顏色與白色相混合) 或暈黑 (選取顏色與黑色相混合)，用於單色漸層填滿 (GFCLRLUM)。
● 使用者定義
　◆ 「填充線類型」設為「使用者定義」時，指定使用者定義樣式的行距。
　◆ 雙向：與原始線成 90 度角處繪製第二組線，以建立交叉填充線 (HPDOUBLE)。
● 邊界
　◆ 點選內部點：從在指定點周圍形成封閉區域的既有物件，來決定邊界。
　◆ 選取物件：利用形成封閉區域的所選物件決定邊界。
　◆ 移除邊界：(只在從「填充線與漸層」對話方塊內加入填充線時可用)在目前作用的 HATCH 指令期間，移除已加入的填充線樣式。按一下要移除的樣式。
　◆ 加入邊界：(只在從「填充線與漸層」對話方塊內加入填充線時可用)從「移除邊界」模式切換，以便再次加入填充線樣式。
　◆ 顯示邊界物件：顯示邊界掣點控制，可讓您對邊界和選取的填充線物件進行掣點編輯。選取非關聯式填充線時，填充線邊界掣點會字自動顯示。選取關聯式填充線時，除非您選取「顯示邊界物件」選項，否則不會顯示單一填充線掣點。您僅可以經由掣點編輯關聯邊界物件來編輯關聯式填充線。
　◆ 保留邊界物件：指定填充線邊界物件的處理方式。選項包括：
　　★ 不要保留邊界：(僅在填充線建立期間可用) 不會建立單獨的填充線邊界物件。
　　★ 保留邊界 - 聚合線：(僅在填充線建立期間可用) 建立封閉填充線物件的聚合線。
　　★ 保留邊界 - 面域：(僅在填充線建立期間可用) 建立封閉填充線物件的面域物件。
● 選項：控制數個常用的填充線或填滿選項。
　◆ 可註解：指定填充線為可註解。此性質可自動執行調整註解比例的過程，以便在圖紙上以正確大小出圖或顯示註解。(HPANNOTATIVE 系統變數)
　◆ 關聯式：指定填充線或填滿為關聯式。修改關聯式填充線或填滿的邊界物件時，會更新填充線或填滿。(HPASSOC 系統變數)
　◆ 建立獨立填充線：控制指定數個獨立的封閉邊界時，是建立單一填充線物件，還是多個填充線物件。(HPSEPARATE 系統變數)
　◆ 繪製順序：指定填充線或填滿的繪製順序 (HPDRAWORDER)。
　◆ 孤立物件偵測
　　★ 正常孤立物件偵測。從外側邊界向內繪製填充線或填滿。如果遇到內部孤立物件，會關閉繪製填充線或填滿，直到在該孤立物件內出現其他孤立物件為止 (HPISLANDDETECTION)。
　　★ 外部孤立物件偵測。從外側邊界向內繪製填充線或填滿。此選項僅在指定的區域繪製填充線或進行填滿，內部孤立物件不受影響 (HPISLANDDETECTION)。
　　★ 忽略孤立物件偵測。忽略所有內部物件，並填滿這些物件或在其上繪製填充線 (HPISLANDDETECTION)。
　　★ 複製性質(M)：使用目前原點。使用選取的填充線物件設定填充線的性質，填充線原點除外。使用來源填充線原點。使用選取的填充線物件設定填充線的性質，包括填充線原點。
　　★ 間隙公差：設定當物件做為填充線邊界時，可以忽略的最大大小的間隙。預設值 0 指定物件必須無間隙地封閉區域。
　◆ 「原點」面板
　　★ 控制產生填充線樣式的起始位置。某些填充線 (例如磚砌型樣式) 需要與填充線邊界上的點對齊。依預設，所有填充線原點對應於目前 UCS 原點。


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AutoCAD 2016 2D 線上教學影片目錄：http://bit.ly/2Y5F4Mw
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AutoCAD 2D 常用快速鍵清單整理：http://bitly.com/2dUEJ9d
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我是JC老師
電腦相關課程授課超過6000小時的一位AutoCAD課程講師
由於實在太多同學向JC老師反映，希望可以有線上課程學習
所以就決定錄製一系列的AutoCAD線上影片教學
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● 樣式、性質
　◆ 填充線類型：指定是否使用單色、漸層填滿、樣式填滿或使用者定義的填滿。
　◆ 填充線顏色或漸層顏色 1：取代單色填滿和填充線樣式的目前顏色，或指定兩種漸層顏色中的第一種顏色 (HPCOLOR or GFCLR1)。
　◆ 背景顏色或漸層顏色 2：指定填充線樣式的背景顏色，或第二種漸層顏色。「填充線類型」設定為「單色」時，「漸層顏色 2」不可用。(HPBACKGROUNDCOLOR 或 GFCLR2)。
　◆ 圖層透明度：設定新填充線或填滿的透明度等級
　◆ 填充線角度：為填充線或填滿指定相對於目前 UCS 之 X 軸的角度。有效值介於 0 到 359 之間 (HPANG)。
　◆ 填充線樣式比例：(僅當「類型」設為「樣式」時可用) 展開或收縮預先定義或自訂的填充線樣式 (HPSCALE)。
　◆ 填充線間距：(僅當「填充線類型」設為「使用者定義」時可用) 指定使用者定義樣式的行距。
● 漸層
　◆ 當「填充線類型」設為「漸層」時，指定一種顏色的暈白 (選取顏色與白色相混合) 或暈黑 (選取顏色與黑色相混合)，用於單色漸層填滿 (GFCLRLUM)。
● 使用者定義
　◆ 「填充線類型」設為「使用者定義」時，指定使用者定義樣式的行距。
　◆ 雙向：與原始線成 90 度角處繪製第二組線，以建立交叉填充線 (HPDOUBLE)。
● 邊界
　◆ 點選內部點：從在指定點周圍形成封閉區域的既有物件，來決定邊界。
　◆ 選取物件：利用形成封閉區域的所選物件決定邊界。
　◆ 移除邊界：(只在從「填充線與漸層」對話方塊內加入填充線時可用)在目前作用的 HATCH 指令期間，移除已加入的填充線樣式。按一下要移除的樣式。
　◆ 加入邊界：(只在從「填充線與漸層」對話方塊內加入填充線時可用)從「移除邊界」模式切換，以便再次加入填充線樣式。
　◆ 顯示邊界物件：顯示邊界掣點控制，可讓您對邊界和選取的填充線物件進行掣點編輯。選取非關聯式填充線時，填充線邊界掣點會字自動顯示。選取關聯式填充線時，除非您選取「顯示邊界物件」選項，否則不會顯示單一填充線掣點。您僅可以經由掣點編輯關聯邊界物件來編輯關聯式填充線。
　◆ 保留邊界物件：指定填充線邊界物件的處理方式。選項包括：
　　★ 不要保留邊界：(僅在填充線建立期間可用) 不會建立單獨的填充線邊界物件。
　　★ 保留邊界 - 聚合線：(僅在填充線建立期間可用) 建立封閉填充線物件的聚合線。
　　★ 保留邊界 - 面域：(僅在填充線建立期間可用) 建立封閉填充線物件的面域物件。
● 選項：控制數個常用的填充線或填滿選項。
　◆ 可註解：指定填充線為可註解。此性質可自動執行調整註解比例的過程，以便在圖紙上以正確大小出圖或顯示註解。(HPANNOTATIVE 系統變數)
　◆ 關聯式：指定填充線或填滿為關聯式。修改關聯式填充線或填滿的邊界物件時，會更新填充線或填滿。(HPASSOC 系統變數)
　◆ 建立獨立填充線：控制指定數個獨立的封閉邊界時，是建立單一填充線物件，還是多個填充線物件。(HPSEPARATE 系統變數)
　◆ 繪製順序：指定填充線或填滿的繪製順序 (HPDRAWORDER)。
　◆ 孤立物件偵測
　　★ 正常孤立物件偵測。從外側邊界向內繪製填充線或填滿。如果遇到內部孤立物件，會關閉繪製填充線或填滿，直到在該孤立物件內出現其他孤立物件為止 (HPISLANDDETECTION)。
　　★ 外部孤立物件偵測。從外側邊界向內繪製填充線或填滿。此選項僅在指定的區域繪製填充線或進行填滿，內部孤立物件不受影響 (HPISLANDDETECTION)。
　　★ 忽略孤立物件偵測。忽略所有內部物件，並填滿這些物件或在其上繪製填充線 (HPISLANDDETECTION)。
　　★ 複製性質(M)：使用目前原點。使用選取的填充線物件設定填充線的性質，填充線原點除外。使用來源填充線原點。使用選取的填充線物件設定填充線的性質，包括填充線原點。
　　★ 間隙公差：設定當物件做為填充線邊界時，可以忽略的最大大小的間隙。預設值 0 指定物件必須無間隙地封閉區域。
　◆ 「原點」面板
　　★ 控制產生填充線樣式的起始位置。某些填充線 (例如磚砌型樣式) 需要與填充線邊界上的點對齊。依預設，所有填充線原點對應於目前 UCS 原點。


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