最近"集合論" (數學的一個基礎分支) 有一個大進展, 在此和讀者分享.

我的中班兒子已經會從數一到一百了. 問他六張樸克牌 1,2,3,4,5,6 和三張樸克牌
2,4,6 哪一堆比較多, 他可以毫不猶豫說前者比較多. 六張當然比三張多啊.

但是所有的數學系學生都要經過底下奇妙的第一關:

1,2,3,4,5,6,7,8, ... 和 2,4,6,8, ... 哪一堆比較多?


兩者都是無限大沒錯, 但答案是很煩的 "一樣多". 但是明明 2,4,6,8,... 只有
1,2,3,4,5,6,7,8, ... 的 '一半' 不是嗎? 怎麼會一樣多呢?

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所以, 所謂的 "一樣多" 是什麼意思? 數學的嚴格語言讓我們可以精確描述, 沒有模糊空
間. 因此需要集合論. 1,2,3,4,5,6 比 2,4,6 多, 是因為沒辦法把兩邊的東西兩兩相配
對而一個不剩. 即無法在兩個集合 A={1,2,3,4,5,6} 與 B={2,4,6} 的元素間找到一一對
應:

1<-->2
2<-->4
3<-->6
4
5
6

數學的說法是這樣: 如果可以在兩集合 A, B 之中找到一個一一對應的函數, 則 A 的基
數 (cardinality, 姑且將它想為 '元素個數') 就和 B 的基數一樣大. 我們姑且就稱兩
個集合 '一樣多'.

所以用以下的對應法, 可以證明自然數 N={1,2,3,4,... } 與 2N ={2,4,6,8,... } 一
樣多:

1<-->2
2<-->4
3<-->6
4<-->8
......
n<-->2n
......

接著就會有有趣的習題. 比如, 有理數也跟自然數一樣多. 平面上所有坐標是整數的點也
跟自然數一樣多. 這些集合都有無限多個元素沒錯, 但都可以找到方法和自然數一一對應
. 也就是說, 可以一個一個編號去數(注音符號三聲), 所以這種無限大叫做 "可數的無限
大" (countable infinity), 代表的集合就是正整數 N.

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但是, 數學系的學生還要過第二關: 介於 0 與 1 之中的所有實數比所有的自然數還多.
數學家康托 (Cantor, 1845-1918) 給出非常有名, 近乎神乎其技的 "對角線證明", 想
法是這樣 (省略一些很小的細節, 細心的讀者可以自行補全):

首先, 0 與 1 之中的所有實數當然有無限多個. 現在假設介於 0 與 1 之中的所有實數
和自然數一樣多(可數無限多), 那就可以全部一個一個列出來. 我們把它們都寫成無窮小
數, 比如說, 按這個順序寫:

a_1=0.1928379182749...
a_2=0.0123784982323...
a_3=0.3333333333333...
a_4=0.2000000000000...
a_5=0.1134523453463...
......

這樣一路下去, *一個都不會漏掉* (這是重點, 因為可數無限多).

然後, 我們來設計一個新的小數 a. 它的小數點後第一位與 a_1 不一樣, 小數點後第二
位與 a_2 不一樣, 小數點後第一位與 a_3 不一樣 ... 以此類推.

所以勒? a 當然也是一個介於 0,1 之間的實數. 但是 a 不等於 a_1, 因為至少有一個位
置不同. a 不等於 a_2, 因為至少有一個位置不同...以此類推, a 不會等於列出來的任
何一個數.

但是我們假設 "全部" 可以一個一個列出來, 但是現在居然跑出一個新的東西, 這不可能
呀! 所以原來的假設是錯的, 亦即 0 與 1 之中的所有實數無法一個一個列出來. 所以
0,1 之間實數比自然數還多!


然後, 就會有更多有趣的習題. 所有實數 R 與 0,1 之間的實數一樣多, 也與平面上的所
有點一樣多, 也與整個空間中的點一樣多. 這些無限大是 "不可數的無限大
(uncountable infinity)", 代表的集合就是實數 R.

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所以問題來了, 有沒有 '夾在兩者之間的無限大'? 也就是說基數比自然數大, 但是比實
數小?

康托猜測, 沒有這種集合. 從自然數的可數無限大, 下一步直接就跳到實數的無限大. 這
就是有名的連續統假設 (continuum hypothesis).

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無限大是數學上一個虛無的, 卻又超級根本又超級重要的概念. 連續統假設牽涉到整個數
學大廈的最根基, 是非常重要的猜想. 康托花了多年的時間想要證明(或推翻)連續統假設
, 卻都失敗了.大數學家希爾伯特(Hilbert, 1862-1943) 在上世紀初 (1900) 對數學界提
出他著名的 23 個問題時, 就把連續統猜想放在第一個.

1940 年, 哥德爾 (G"odel, 1906-1978) 發表驚人的結果: 連續統假設 "不能" 用集合論
公設系統推翻. 接下來是 1963 年 Cohen (1934-2007) 的另一個驚人結果: 連續統假設
"也不能" 用集合論公設系統證明. Cohen 因為這個結果得到了 1966 年數學界的最高榮
譽之一費爾茲獎.

所以我們知道, 用通常的集合論, 你無法證明連續統假設, 也無法推翻連續統假設. 它的
對或錯仍不知道.

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數學家轉而關心另一個相關的問題, 叫做 "p 與 t 問題". 概念上來說明是這樣: 數學家
已經知道 p 是某個和正整數有關的無限集合的基數, t 是另一個和正整數有關的無限集
合的基數. 而且數學家知道 p 與 t 這兩個基數都比正整數大, 以及

p 小於等於 t.

(這裡的大小符號意思是基數的比較). 所以, 如果等號 *真的* 不成立, 那我們就有

N 的基數 < p <t,

也就是說找到一個 "介於中間" 的基數, 那連續統假設就被推翻了. 所以 p 到底等不等
於 t, 是最大的關鍵.

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2016 年四月, 芝加哥大學的 Malliaris 和耶路撒冷希伯來大學與羅格斯大學的 Shelah
共同發表了一篇論文在數學界頂尖的 "美國數學學會期刊" 上, 論文的一部分解決了 "p
與 t 問題" --- 答案令人驚訝也同時令人失望: 他們證明了
p=t.

令人驚訝是, 原本數學家不覺得有機會能解決 p 與 t 問題. 畢竟, 連續統問題在集合論
公設系統下無法被證明也無法被推翻, 所以 p 與 t 問題很有可能也是這樣. 但他們的證
明的的確確地用到了集合論的公設系統.
有趣的是, 這兩位數學家原來壓根兒不是要做這個問題. 他們原本考慮的是一個複雜度問
題, 是做到一半發現和 p 與 t 有關, 才轉而挑戰. 發表的論文中, p 與 t 問題, 連同
原來的複雜度問題都一併解決了.

他們的證明連結了模型理論與集合論, 開創了一條新的路. 今年 (2017) 的七月, 這兩位
數學家因為這個貢獻獲頒 Hausdorff 獎, 是集合領域的最高榮譽之一.

但令人失望的是, 結果是 p=t. 這表示, 想利用 p 與 t 問題來推翻連續統假設是不成的
. 連續統假設還是屹立不搖. 這個領域的數學家似乎較傾向相信連續統假設不成立, 亦即
"有" 夾在自然數與實數中間的無限大.
但這真的要等待下一個強者的突破了.


2017, 森棚教官

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