為什麼這篇自然數例子鄉民發文收入到精華區：因為在自然數例子這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者SESAMEWHO (芝麻糊)看板ask-why標題[請益] 大家接受偶數跟自然數一樣多嗎?時間...
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2021-09-24 02:02:28
你有想過自己所給出的所有訊息都分成「傳達」跟「透露」兩種嗎？「傳達出的訊息」主要是我們說出口的答案，它是一個被大腦思考過、被語言邏輯順過、被利弊權衡過後所給出的答案；但「透露出的訊息」就好玩多了，它是我們下意識甚至無意識中所給出的答案，包含了肢體語言、生理反應(包含瞳孔震動、雞皮疙瘩、顫動)以及反覆...
在康托架構的理論之下,只要兩個集合內的元素能夠一一對應,
則這兩個集合的基數就是一樣的.
根據這個原則,自然數{1,2,3,...,n}跟偶數{2,4,6,...,2n}的基數是一樣的.
這個說法的確很直觀.
可是我自己的想法是,如果說元素一一對應是比較兩集合基數最高的指導原則,
那麼,我也可以說自然數{1,2,3,...,n}集合內,
單單只是挑出2,4,6,8,...2n就足夠和偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應了,
還有1,3,5,7...這類奇數沒用到呢!顯然自然數集合的基數還是大於偶數集合的基數.
板上的先進怎麼想?
可否分享?
謝謝~
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◆ From: 220.137.253.38
→ jaw109:<一樣多>是建立在<元素能夠一一對應>的基礎下, 跟一般人 05/24 21:34
→ jaw109:認定的<一樣多>不一樣吧 05/24 21:35
推 Equalmusic:偶數集合也可以挑出 {4, 8, 12,...}來跟自然數 1-1 阿 05/24 22:19
→ Equalmusic:難道你要說偶數集合比較大嗎... 05/24 22:19
→ Equalmusic:碰到無限的時候反直觀是很正常的, 因為沒人接觸過無限 05/24 22:20
→ xiaoa:但是實數和自然數比卻是實數比較多, 為什麼? 05/24 22:39
推 sasbluesea:因為沒辦法找到一個對應保證可以對完(uncountable) 05/24 22:58
→ mtdas:偶數={...,-6,-4,-2,0,2,4,6,...} 自然數={1,2,3,4,5,6,...} 05/24 23:10
→ mtdas:看起來就一樣多啊 XD 05/24 23:10
推 Kouson:要如何知道自然數列的偶數在無窮大時，還是兩兩隔著一個奇 05/24 23:39
→ Kouson:數？搞不好字型大小m，從經度0度直通通寫到180度，延伸出太 05/24 23:39
→ Kouson:空經過的第n顆星球之後，突然就打破這規則？ 05/24 23:39
推 PrinceBamboo:比哪個多也毫無益處 沒什麼建設性的問題 05/24 23:47
→ blackpaladin:無窮大的問題 感覺很瞎 05/25 00:36
推 amozartea:自然數也跟有理數一樣多阿..... 05/25 16:03
→ amozartea:其實是countable... 05/25 16:04
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作者: WINDHEAD (Grothendieck吹頭) 看板: ask-why
標題: Re: [請益] 大家接受偶數跟自然數一樣多嗎?
時間: Sun May 24 23:23:42 2009
一句話
"大小" 與 "多寡" 是不同的概念
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◆ From: 59.121.2.44
推 Equalmusic:可以解釋一下這句略有禪味的話嗎？XD Cardinality? 05/25 02:34
推 SESAMEWHO:對押~對押~可否請大大指點~ 05/25 12:46
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作者: citronrisky (呆) 看板: ask-why
標題: Re: [請益] 大家接受偶數跟自然數一樣多嗎?
時間: Mon May 25 18:38:21 2009
※ 引述《SESAMEWHO (芝麻糊)》之銘言：
: 那麼,我也可以說自然數{1,2,3,...,n}集合內,
: 單單只是挑出2,4,6,8,...2n就足夠和偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應了,
: 還有1,3,5,7...這類奇數沒用到呢!顯然自然數集合的基數還是大於偶數集合的基數.
你甚至還可以說:
偶數數列 {2,4,6,8,...,2n,...} 中只要挑出 {4,8,12,16,.....,4k,...}
就足以對應所有自然數了
還有{2,6,10,14,.....,4k-2,....}這類數字沒用到呢!!!
所以 偶數集合大於自然數集合!!!!!!!!!
: 板上的先進怎麼想?
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: 謝謝~
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◆ From: 61.31.142.62
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作者: SESAMEWHO (芝麻糊) 看板: ask-why
標題: Re: [請益] 大家接受偶數跟自然數一樣多嗎?
時間: Mon May 25 18:54:57 2009
※ 引述《citronrisky (呆)》之銘言：
: ※ 引述《SESAMEWHO (芝麻糊)》之銘言：
: : 那麼,我也可以說自然數{1,2,3,...,n}集合內,
: : 單單只是挑出2,4,6,8,...2n就足夠和偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應了,
: : 還有1,3,5,7...這類奇數沒用到呢!顯然自然數集合的基數還是大於偶數集合的基數.
: 你甚至還可以說:
: 偶數數列 {2,4,6,8,...,2n,...} 中只要挑出 {4,8,12,16,.....,4k,...}
: 就足以對應所有自然數了
: 還有{2,6,10,14,.....,4k-2,....}這類數字沒用到呢!!!
: 所以 偶數集合大於自然數集合!!!!!!!!!
: : 板上的先進怎麼想?
: : 可否分享?
: : 謝謝~
這個想法前面有板友推過了阿~
雖然也很有道理,可是從自然數{1,2,3,...,n}集合內,
單單只是挑出2,4,6,8,...2n去跟偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應,
是一模一樣的東西去對應唷~2對2,4對4,6對6,...,不是你所說的,1對4,2對8,3對12...
從自然數挑出2,4,6,8,...2n去跟偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應,不僅基數一樣.
每個元素也都ㄧ樣,不是更直觀嗎?
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◆ From: 220.137.253.38
推 micklin:{1,2,3,...,n}裡面要怎麼挑出2n? 此n非彼n? 05/25 19:12
→ SESAMEWHO:n要換其他符號,然後呢? 你也不能說我是錯的吧... 05/25 19:31
推 micklin:可以啊, 為什麼不行? 換符號之後就是不同定義了, 那還有什 05/25 21:12
→ micklin:麼好繼續討論下去的? 05/25 21:13
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作者: Equalmusic (Calvin) 看板: ask-why
標題: Re: [請益] 大家接受偶數跟自然數一樣多嗎?
時間: Mon May 25 19:15:58 2009
※ 引述《SESAMEWHO (芝麻糊)》之銘言：
: ※ 引述《citronrisky (呆)》之銘言：
: : 你甚至還可以說:
: : 偶數數列 {2,4,6,8,...,2n,...} 中只要挑出 {4,8,12,16,.....,4k,...}
: : 就足以對應所有自然數了
: : 還有{2,6,10,14,.....,4k-2,....}這類數字沒用到呢!!!
: : 所以 偶數集合大於自然數集合!!!!!!!!!
: 這個想法前面有板友推過了阿~
: 雖然也很有道理,可是從自然數{1,2,3,...,n}集合內,
: 單單只是挑出2,4,6,8,...2n去跟偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應,
: 是一模一樣的東西去對應唷~2對2,4對4,6對6,...,不是你所說的,1對4,2對8,3對12...
: 從自然數挑出2,4,6,8,...2n去跟偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應,不僅基數一樣.
: 每個元素也都ㄧ樣,不是更直觀嗎?
問題是比數目的時候並不是拿相同的東西去比阿
比如桌上有一些糖果
你並不需要拿出一模一樣的糖果加上一模一樣的數量, 才能說他們一樣多
如果在 10 以內, 你甚至可以拿你的手指去對應（假設你的手指有十隻）
集合論裡面用 bijection 來定義「一樣多」, 我認為是很聰明的
他把我們日常生活中的想法更抽象而精準的表達出來
因為實際上在日常生活中我們也是這麼做的
只是通常我們會先拿 A 集合跟自然數的某子集對應, 再拿 B 集合跟自然數某子集對應
然後我們再用, 若 A~C, B~C, 則 A~B
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人類的祖先在晚上十一點五十六分的零八秒出現。
牠說：!#@^##!%^#%#!。牠的意思是：明天，我想聽巴哈。
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◆ From: 78.146.126.125
推 testishard:數學系的給推，這個是很重要的問題 05/25 20:04
→ testishard:很多數學命題的證明都要靠這個東東 05/25 20:05
→ testishard:之前說不重要的那個板友…請不要亂說，這個是很重要很 05/25 20:05
→ testishard:很基礎的概念…請不要隨便批評自己不了解的領域 05/25 20:07
推 sbshank:旁嘉萊：集合論是一個有趣的病例 05/28 21:33
→ sbshank:它產生了許多我們遭遇到的詭辯 05/28 21:34
→ sbshank:L. Kronecker、F. Klein、H. Poincaré都強烈反對集合論 05/28 21:35
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作者: micklin (離鄉背井的米克) 看板: ask-why
標題: Re: [請益] 大家接受偶數跟自然數一樣多嗎?
時間: Mon May 25 21:24:22 2009
※ 引述《SESAMEWHO (芝麻糊)》之銘言：
: ※ 引述《citronrisky (呆)》之銘言：
: : 你甚至還可以說:
: : 偶數數列 {2,4,6,8,...,2n,...} 中只要挑出 {4,8,12,16,.....,4k,...}
: : 就足以對應所有自然數了
: : 還有{2,6,10,14,.....,4k-2,....}這類數字沒用到呢!!!
: : 所以 偶數集合大於自然數集合!!!!!!!!!
: 這個想法前面有板友推過了阿~
: 雖然也很有道理,可是從自然數{1,2,3,...,n}集合內,
: 單單只是挑出2,4,6,8,...2n去跟偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應,
: 是一模一樣的東西去對應唷~2對2,4對4,6對6,...,不是你所說的,1對4,2對8,3對12...
: 從自然數挑出2,4,6,8,...2n去跟偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應,不僅基數一樣.
: 每個元素也都ㄧ樣,不是更直觀嗎?
直接回.
{1,2,3...,n}裡面不能挑出{2,4,6,8,...2n}出來, 因為2n>n............(1)
照SESAMEWHO所說, 可以換符號, 例如從{1,2,3,...n}中挑出{2,4,6,8,...2m},
由(1)可知, 2m不能大於n, 2m的最大值為n, 2m = n 則 m = n/2 < n
{2,4,6,8,...2m}的個數為m, m<n, 無法與{1,2,3,...n}一一對應.
這種問題去數學版po才對吧.
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◆ From: 118.160.179.84
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作者: COCOAII (忍者=會忍耐的人) 看板: ask-why
標題: Re: [請益] 大家接受偶數跟自然數一樣多嗎?
時間: Fri May 29 15:53:45 2009
我大概知道原po的想法。
就是不包含0的自然數，除了包含偶數，還包含奇數。
你看，自然數有偶數的2,4,6,......，除此之外，還有奇數的1,3,5,......。
這不也很符合日常生活的想法？
我除了有你的所有東西之外，我還擁有額外的東西，
這不就表示我的東西比你的還要多？
※ 引述《Equalmusic (Calvin)》之銘言：
: ※ 引述《SESAMEWHO (芝麻糊)》之銘言：
: : 這個想法前面有板友推過了阿~
: : 雖然也很有道理,可是從自然數{1,2,3,...,n}集合內,
: : 單單只是挑出2,4,6,8,...2n去跟偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應,
: : 是一模一樣的東西去對應唷~2對2,4對4,6對6,...,不是你所說的,1對4,2對8,3對12...
: : 從自然數挑出2,4,6,8,...2n去跟偶數{2,4,6,...,2n}的元素一一對應,不僅基數一樣.
: : 每個元素也都ㄧ樣,不是更直觀嗎?
: 問題是比數目的時候並不是拿相同的東西去比阿
: 比如桌上有一些糖果
: 你並不需要拿出一模一樣的糖果加上一模一樣的數量, 才能說他們一樣多
: 如果在 10 以內, 你甚至可以拿你的手指去對應（假設你的手指有十隻）
: 集合論裡面用 bijection 來定義「一樣多」, 我認為是很聰明的
: 他把我們日常生活中的想法更抽象而精準的表達出來
: 因為實際上在日常生活中我們也是這麼做的
: 只是通常我們會先拿 A 集合跟自然數的某子集對應, 再拿 B 集合跟自然數某子集對應
: 然後我們再用, 若 A~C, B~C, 則 A~B
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◆ From: 123.204.178.12
推 Equalmusic:所以當日常生活的直觀衝突的時候我們就需要邏輯 05/29 18:51
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作者: Hseuler (藍色貍貓) 看板: ask-why
標題: Re: [請益] 大家接受偶數跟自然數一樣多嗎?
時間: Sat May 30 15:17:32 2009
※ 引述《COCOAII (忍者=會忍耐的人)》之銘言：
: 我大概知道原po的想法。
: 就是不包含0的自然數，除了包含偶數，還包含奇數。
: 你看，自然數有偶數的2,4,6,......，除此之外，還有奇數的1,3,5,......。
: 這不也很符合日常生活的想法？
: 我除了有你的所有東西之外，我還擁有額外的東西，
: 這不就表示我的東西比你的還要多？
原PO問題正是伽利略悖論
伽利略發現
雖然自然數包含正偶數
也就是說
偶數只是{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.....} 的一部分
但是偶數集合和自然數集合竟然是等勢的(例如構造一函數f(x)=2x)
因為既然兩者等勢 那應該一樣多
但是依照
歐幾里得‧幾何原本的第五公理(不是平行公設的第五公設)：整體大於部分
(
當然 用直觀想這是廢話 不用招喚歐幾里得
自然數比正偶數多出了正奇數那部分
)
那麼
自然數應該比較多啊
基本會覺得矛盾是應該的
畢竟伽利略那麼聰明的數學家都覺得怪了
我高中的時候
問我們數學老師 一個類似的問題 兩公分線上的點和一公分線上的點
哪個點的數量比較多呢?
他也覺得兩公分線上的點應該要比一公分線上的點多才對。
1.兩公分可以把一公分包住耶
2.兩公分會比那一公分 多出一公分
但是f(x)=2x
這樣看兩者卻要一樣多
當然 這邊的問題就出現在 什麼是一樣多?
===
當然 康托並不認為這是悖論
無窮集合並不能從整體和部分的關係來看兩個集合的大小
舉例來說
整數雖然包含自然數 但兩者等勢。
有理數包含整數，但兩者等勢。(拿座標釘子板加一根線就可以證明)
實數包含有理數，但兩者卻不等勢。(對角線論證)
兩者等勢的條件是
"
若X和Y為有限集合，則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。
確實，在公理集合論裡，這被當做「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導
致了基數的概念，一用以分辨無限集合的不同大小。
"
有人就會把"等勢"看作"一樣多"
原PO的問題是
那些多出來(基數)的怎麼辦?
基本上 康托會告訴你
雖然那些會多出來
但是我只要有辦法製造一個函數讓他們雙射
兩者就算等勢(就算一樣多了)
用另外一個例子來看
兩公分線上的點和一公分線上的點 一不一樣多?
http://0rz.tw/MTYIm
右邊的圖 雖然對應的時候 有一些點會沒有對應到
但是只要我有辦法找到一個函數
也就是稍微旋轉一下
正如左邊的圖 就有辦法對應了 不會跑出空的地方
只要有辦法對應到 就算一樣多了
同樣的
自然數和偶數
雖然自然數會多出那一些出來
也就是
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 4 6 8 10 12.....
中間會有空
但是我只要找到一個函數
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10....
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20....
你看 這樣就沒空隙了
只要你有辦法沒有空隙
就算一樣多了 或是說 兩者等勢
(當然 因為我這邊考慮的都是 可數的
才有辦法列出來)
當然，集合論受到很多的攻擊，包括Cantor的老師克羅內克(Leopold Kronecker)
用各種手段 病態的言詞來攻擊Cantor長達十年 阻止它拿到比較高等的教職
甚至連天才數學家龐嘉萊(Poincaré)都嘲笑他的理論
以Erlangen 綱領著名於世的F.Klein 也反對集合論
數學家Hermann Weyl攻擊他的基數觀點是霧上之霧
數學家H.A.Schwarz原本是她的好朋友，因為集合論和他絕交
(正是柯西史瓦茲不等式的Schwarz)
最後他當然到精神病院去了
但是分析學之父Weierstrass接受Cantor的想法
最後和克羅內克絕交
領袖級的數學家David Hilbert也支持集合論
他甚至說
沒有人能夠把我們從Cantor為我們建造的樂園中趕出去。
可惜數學界接受集合論是它發瘋死去以後的事情了
基本上現代的數學教科書都會使用集合論的符號
到達高峰 正是法國的布爾巴基學派(Bourbaki)
他們試圖把整個數學建立在集合論上
例如他們出了十卷的數學原本(Éléments de mathématique)
從代數 拓撲 單實變函數 拓撲向量空間 積分 交換代數 李群 譜理論...
(注意 不是數理邏輯 他們很鄙視數理邏輯 認為那不重要
邏輯只需最低限度
有些成員甚至在書中無情的嘲弄羅素等等邏輯主義者)
當然 他們有成員想要試圖以範疇論來取代集合論的數學基礎地位
不過基本上現代數學集合論還是王道
康托的基數和等勢概念還引發出連續統假設
連續統假設和數學分析、拓樸學、測度論有些關聯
最後數學家Paul Cohen用力迫法證明連續統假設不能在ZFC下被證明
加上哥德爾的結果 連續統假設不能在ZFC下被證否
所以連續統假設獨立於ZFC
Paul Cohen最後獲得費爾茲數學獎
有趣的是
連續統假設還是很有爭議的問題
有些數學家還熱衷研究這個
除了數學家外 集合論、數理邏輯
這股風氣很早就吹到了哲學界
基本上你在哲學系看到讀分析哲學的學生唸
集合論、模型論、可計算理論不是一件奇怪的事情。
--
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◆ From: 118.169.233.230
※ 編輯: Hseuler 來自: 118.169.233.230 (05/30 16:14)
推 behemoth:推一下這篇～ 05/30 17:45
推 flamesky:寫的不錯，不過現在范疇學用越來越多了，雖然也有毛病 05/30 18:51
→ flamesky:不過ZF體系其實只是劃了一個更大的圈做限定，任然沒有解 05/30 18:53
→ flamesky:決羅素提出的那個問題，只是數學家大都裝作看不見XD 05/30 18:54
→ flamesky:我個人是比較支持MacLane的數學觀點的 05/30 18:55
推 sunev:專業 05/30 19:23
推 revivalworld:數學系推~ 05/30 22:43
推 bonniekiss2:學到東西推 05/31 00:50
推 unknow12:在工科,我只有看過其中四個名子...但是都不認識orz 05/31 00:55
推 Equalmusic:我記得我第一次看到類似問題是國中的時候 05/31 02:43
→ Equalmusic:無限旅館客滿了, 現在有一個旅人要來住要怎麼辦 XD 05/31 02:43
推 PrinceBamboo:專業 05/31 15:29
推 phreniax:正確 雖然你不是用數學國的話講 06/02 01:05
→ phreniax:建議大家找本高微來看 06/02 01:06
→ phreniax:基本上這問題是大二上高微第一次段考前的內容 屬例題程度 06/02 01:07
推 phreniax:不過這等勢並不是完全被接受的 06/02 01:27
→ phreniax:原po說不定有上過高等線性代數 06/02 01:27
→ phreniax:有些研究所的課有要用"同構"來說 n維跟n+1維的差異? 06/02 01:29
→ phreniax:丟個線頭^^ 06/02 01:30
推 phreniax:現在想想 我身邊念數學的人都沒有把"等勢"當"一樣多" 06/02 01:45
→ phreniax:或許是因為念太多代數了= = 06/02 01:45