[爆卦]脈衝函數是什麼?優點缺點精華區懶人包

為什麼這篇脈衝函數鄉民發文收入到精華區:因為在脈衝函數這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者doom8199 (~口卡口卡 修~)看板Grad-ProbAsk標題Re: [理工] [通訊系...


※ 引述《KAINTS (RUKAWA)》之銘言:
: +oo (n) n (n)
: S x(t)a (t-b)dt=(-1) x (b)
: -oo
: (n) n (n)
: -> x(t)a (t-b)=(-1) x (b)a(t-b)
: 註:
: (1) a(t):delta function (因為我打不出來...) 故藉此表示
: (n) (n)
: (2) a (t-b) & x (b) :表微分n次
: 請問一下 這個要怎麼證明
: 希望得到各位高手的幫忙
: 感恩
---


∫ f(x)δ(x) dx = f(0) if f(x) is continuous at x=0 ____(1)
-∞


你要能知道上式的背後代表著存在一個函數序列 {δ_n(x)} , 使得 :


lim ∫ f(x)δ_n(x) dx = f(0) ____(2)
n→∞ -∞


或是說更精確點:


f(0) = lim < δ_n(x), f(x) > ≡ < δ(x), f(x) >
n→∞



工數一般不會提及(2)式 (複變會提到一些這方面的概念,但講很少)

大多是直接把 (1) 式當定義出發

但那樣做後續會出很多問題

因為 δ(x) 它算是一種 operator , 不能直接當尋常的函數做四則運算





------


<1> d ┌ 1 if x>0
先證明 δ(x) ≡ ──u(x) , where u(x) = │ undefined if x=0
dx └ 0 if x<0


pf:
u(x) - u(x-ε)
考慮 δ_n(x) = δ_ε(x) = ─────── , where ε=1/n
ε

則 <δ_n,f> = <δ_ε,f>

∞ u(x) - u(x-ε)
= ∫ f(x)*──────── dx
-∞ ε

1 ε
= ── ∫ f(x) dx
ε 0

1 ε
= ── F(ε) , where F(ε) = ∫ f(x) dx
ε 0


所以 lim <δ_n,f> = lim <δ_ε,f>
n→∞ ε→0

F(ε) - F(0)
= lim ─────── (Note that F(0)=0)
ε→0 ε

= F'(0)

= f(0) by FTCT


u(x) - u(x-ε)
因此 δ(x) ≡ lim ─────── = u'(x)
ε→0 ε





<2>
∞ (n) n (n)
證明 ∫ f(x)δ (x) dx = (-1) f (0)
-∞


pf:
這裡我就直接偷懶

δ(x+ε) - δ(x)
< δ'(x) , f(x) > ≡ lim < ────────, f(x) >
ε→0 ε

<δ(x+ε),f(x)> - <δ(x),f(x)>
= lim ───────────────
ε→0 ε

f(-ε) - f(0)
= lim ───────
ε→0 ε

= -f'(0)

(n) n (n)
然後再用數學歸納法即可推得 < δ (x) , f(x) > = (-1) f (0)

if f(x) n 階可微

嚴格寫當然得把 part <1> 那部分的證明流程搬進來

或是證明上述的運算規則會成立



至於平移部分 ( f(x)δ(x-k) ≡ f(k)δ(x-k) )

原po應該有辦法自己 handle (跟 part <1>的證明方式一樣)

所以那塊的證明我就省去不打了 XD


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.139
KAINTS:感謝大大 這個證明有夠給他複雜的... 10/14 08:32

你可能也想看看

搜尋相關網站