※ 引述《pop10353 (卡卡:目)》之銘言：
: EX.
: 題目為
: 兩變動三角形的面積和之最小值
: 5*(20-X)*(1/2)+X*[5X/(20-X)]*(1/2)
: 其中20>X>0
: 整理後 X^2 + (20-X)^2
: (5/2) * _______________
: 20-X
: **正解做法
: 200
: => { _____ + -X } *5
: 20-X
: 200
: => { (20-X) + _____ -20 }*5
: 20-X
: => >= [ 2*(200)^(1/2)-20 ]*5
: MIN=100*√2 -100
: **令解
: 整理後 X^2
: (5/2) *[ _____ + (20-X) ]
: 20-X
: >= (5/2) * 2X
: 因為"=" 成立時 元素須均等 limit存在
: X^2
: _____ = (20-X) => 算出 X=10 帶回原式
: 20-X
: MIN = 50
: 請問....矛盾點在??
: 我想了很久.... 老師說我固執... 唉 我也不想---

這是很多同學都有的疑惑,求極值時常會用此方法求.

我一直想回答此問題,但總覺得說得不清楚,直到之前才有新的想法.

今天看到這篇,又有回文做了正面說明,現在剛好可以從反面來說.

以下純粹論數學,並非針對原PO,文字若有冒犯,請包涵.


原PO的問題比較複雜,換簡單一點的題目來看.

1. 0≦x≦π/2 , 求 sinx + cosx 的極小值.

根據算幾不等式 , (sinx + cosx)/2 ≧ √(sinxcosx) .

等號成立在sinx = cosx , 即 x = π/4 . 代回原式得 sinx+cosx 的最小值為√2 .

2. x>0 , 求 (8/x) + x^2 的極小值.

<法1> 根據算幾不等式 , (8/x + x^2)/2 ≧ √(4x) .

等號成立在8/x = x^2 ,即 x = 2 . 代回原式得 8/x + x^2 的最小值為8 .

<法2> 根據算幾不等式 , (8/x + x^2/2 + x^2/2 )/3 ≧ (2x^3)^(1/3) .

等號成立在8/x = x^2 /2 ,即 x = 2^(4/3) .

代回原式得 8/x + x^2 的最小值為3* 2^(5/3).

<法3> 根據算幾不等式 , (8/x + x^2/3 + x^2/3 +x^2/3 )/4 ≧ ......

依此類推,愛分幾項就分幾項,一題多解,只是求出的答案都不同而已.

3. 0<x<π/2 , 求 (sinx)^3 cosx 的極大值.

根據算幾不等式 , (sinx+sinx+sinx+cosx)/4 ≧ (sin^3x cosx)^(1/4) .

等號成立在sinx = cosx ,即 x = π/4 . 代回原式得 sin^3x cosx 的極大值為 1/4 .

4. 換應用題,在河邊用長1m的繩子圍地,要圍成矩形ABCD,AB是河岸,另外三邊用繩子圍.

問要如何圍,圍到的地會最大?

設BC長x=DA,則0<x<1.那麼CD=(1-2x)=AB.矩形面積為x(1-2x) .

根據算幾不等式 ,[ x + (1-2x) ]/2 ≧ √[x(1-2x)] .

等號成立在 x=1-2x , 即x=L/3, 代回x(1-2x)得最大面積為1/9 m^2 .

5. 0<x<π/2 , 求 2/sinx + 3/cosx 的極小值.

<法1> 根據算幾不等式, [2cscx + 3secx]/2 ≧ √[6cscxsecx)]

等號成立在 2/sinx = 3/cosx 時 , 即x = arctan(2/3) .

代回原式得 2/sinx + 3/cosx 的極小值為2√13 .

<法2> 根據科西不等式, [2/sinx + 3/cosx][sinx + cosx] ≧ [√2 + √3 ]^2 ,

等號成立在√[2/sinx] / √sinx = √[3/cosx] / √cosx 時, 即x= arctan(√(2/3)) .

代回原式得 2/sinx + 3/cosx 的極小值為 √10 + √15 .

<法3> 根據科西不等式,

[2/sinx + 3/cosx][sin^2x + cos^2x] ≧ [√(2sinx) + √(3cosx)]^2 .

等號成立在√[2/sinx] / sinx = √[3/cosx] / cosx 時, 即x= arctan((2/3)^(1/3)).

代回原式得 2/sinx + 3/cosx 的極小值為 [2^(2/3) + 3^(2/3)]^(3/2) .

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好啦,例子夠多了.我要表達的是,不等式一邊仍然有未知數,如果這樣沒關係的話,

那麼不管題目怎樣出,問題出的多複雜.我只要隨便寫個算幾或科西,

然後算出等號成立時的解代回就好了,數學好簡單.

高三不等式占了一章(我不確定現在教材還是這樣),其實上面兩行就夠了.

如果可以這樣算的話,那麼其他準備數學競賽而辛苦練習不等式的同學就全部是笨蛋了.

以上的例子只有第5題<法3>算出來的答案是對的,其他明顯全部都錯.

而第5題<法3>的解法也是錯的,因為右邊仍然有未知數x,得出正確答案只是碰巧而已.

所以就算你以前曾經用此方法算對答案得到分數而嚐到甜頭之後一直用,

那也只是運氣好而已.不代表方法就對.

學校老師,補習班都會教說用等號成立的等式下去解題會比較快,他們說得沒錯.

但不是說隨便寫個算幾什麼的就好,是要想辦法湊到一邊沒有未知數,

而如何湊出來當然就是看功力了.


最後,為何我要舉一堆反例,而一直不說明為什麼不能這樣算呢.

因為一個命題如果是對的,才需要證明;錯的命題舉出反例即可.

方法也是一樣,方法是否可行?是的話才需要說明;不是的話舉反例就夠了.

所以不應該是問說為什麼會有反例,為什麼這方法會錯.

而是你要用此方法算時,就要問自己:

這方法的根據到底在哪裡,我到底是憑什麼認為這方法是對的?

沒有確實根據的話,我又怎麼能夠相信這方法算出來的答案?

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