為什麼這篇算幾不等式最小值條件鄉民發文收入到精華區:因為在算幾不等式最小值條件這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者Vulpix (Sebastian)看板tutor標題Re: [解題] 算幾不等式時間Mon J...
算幾不等式最小值條件 在 乙烯的讀書帳⌬ Instagram 的最讚貼文
2021-09-17 15:18:54
《數學進步的小秘訣 ft.Snapask 新學測黑馬》#內有抽獎 數學進步的小秘訣這個主題很多人問我 在這邊先感謝家教學長的教導 雖然說我自己是有請家教的 但是一些數學讀書方法 我覺得也可以分享讓大家知道 - 大家都適用的方法: 1.不懂就要問 這個真的講到爛了(;´༎ຶД༎ຶ`) 大家都知...
※ 引述《wulongde (阿勒)》之銘言:
:
: 1.年級:高一
: 2.科目:數學
: 3.章節:算幾不等式
:
: 4.題目:https://prnt.sc/18jejxp
: 5.想法:詳解的方法我看懂了,結果在教學的時候被學生問到一個問題,
: 就是為什麼不能直接用算幾不等式的等號成立條件列出x=4/(x-3)然後去解x?
: 解完之後也可以得到漂亮的答案,只是答案跟正確答案不同就是了==
: 交叉相乘可以得到x^2-3x-4=0可以得出x=4,-1但-1不合因為題目說x>3
這應該是很基本的誤區。
https://i.imgur.com/J7MigFr.png
![](https://cache.ptt.cc/c/https/i.imgur.com/J7MigFrl.png?e=1724437486&s=tgFMxDZmE3bBmbD7MZjaPw)
綠線是 y = x + 4/(x-3)
紅線是 y = 2√( 4x/(x-3) )
從圖上可以看出算幾不等式是「對的」,
兩線除了在 x=4 內切以外,綠線總是高於紅線。
但這對於找出 x+4/(x-3) 的最小值一點幫助都沒有。
問題其實不是「為什麼不能用 x=4/(x-3) 去解題?」
而是「為什麼 x-3=4/(x-3) 可以用來解這題!?」
因為對卻沒用的過程隨手寫都是一大堆,有用的過程為何有用才是重點所在。
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確實如此。那完全是因為我們想用算幾不等式才想到要去找這條式子的。
再談談為什麼大家都說要湊常數、不要含 x。
從 4x/(x-3) 不難看出他在 x>3 的時候就是比 4 大。
但我們真能說 x + 4/(x-3) 的最大下界就是 2√4 = 4 嗎?
我們把整條不等式寫出來看看:
x + 4/(x-3) ≧ 2√( 4x/(x-3) ) > 4
所以原式確實比 4 大。
黃色的不等號,要在 x=4 的時候等號才會成立,
但藍色的不等號,卻要等到 x 接近 ∞ 才會讓兩側差不多。
也就是不管 x 是多少,x + 4/(x-3) 都無法靠近 4。
所以我們只能確定 4 是下界,卻沒有找到最大的下界。
這樣我們就看出來為什麼大家都在說不要留 x 了。
因為沒有藍色的不等號,就什麼瑣事都沒有了。
最後說一下,不留 x 這件事雖然方便,但不是做算幾不等式的必要手續。
(x^2 + x^4)/2 的最小值顯然是 0,但我們故意用算幾不等式去做做看,
畢竟算幾不等式裡面可以允許使用非負實數,而不限於正數:
(x^2 + x^4)/2 ≧ 2√x^6 = 2|x|^3 ≧ 0
我們一樣找到正確的最小值了。
這是因為黃色和藍色的不等號,這次等號成立的條件一致,
所以我們知道有個 x 會讓 (x^2 + x^4)/2 = 0,
這樣才能確定 0 是真正的最小值。
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 07/06/2021 13:06:04