※ 引述《down200n (down200n)》之銘言：
: 真是很刺眼的鑰匙..
: 不說廢話= = http://www.wretch.cc/blog/attoyao/24729252
: ∞
: ∫ x*e^(-ax)*sin(bx) dx , a>0
: 0
: 看到題目 我只想一直做part.. 有請大大說明圖上的方法~~~~~

本來想用推文的，可是會囉哩囉嗦，所以就回文順便賺p幣

=================騙P幣分隔線================================

這題當然是用 integral by parts(簡寫為IBP) 就ok
目前我也沒有去想有沒有其它方法

首先一開始出現的圖就是所謂的IBP

IBP： ∫udv = uv -∫vdu

∞ -ax -ax
∫ x e sin(bx) dx = ∫x d (e / a^2+b^2)[-asinbx-bcosbx]
0

也就是 令 u = x, dv = e^(-ax)sin(bx)dx

則 du = dx, v = 那一串

所以動作就是圖上所畫的 D(表示微分 u) I(表示積分 dv)

第一步 x (u) e^(-ax)sin(bx) ( dv)

第二步 1 (du) 那一串 (∫dv)

至於為什麼圖上所畫的地方有正負號??
原因是因為IPB告訴你 uv- ∫vdu
因此第一步的地方是正，而第二步的地方是負
以此類推，如果這個函數無法用一次IBP算出來
要做很多次的話，就要正負正負的一直算。

==========================騙P幣用的==================================

例: ∫lnxdx

(法一:正規解法)

∫lnxdx = ∫(lnx) dx

= xlnx - ∫x dlnx

= xlnx - ∫x* (1/x)dx

= xlnx - ∫dx

= xlnx - x + C (常數)

(法二:課本解法)

let u = lnx , dv = dx

then du = (1/x)dx , v = x

hence by IBP ∫udv = uv - ∫vdu

=> ∫lnxdx = xlnx - ∫x*(1/x)dx = xlnx - x + C

(法三:速解法)

D I
+ lnx 1
↘
- 1/x → x

=> + xlnx - ∫1dx = xlnx - x +C

以上三種是不是都一樣呢!!??
其實速解法只不過就是法IBP先分解好而已...但有時後還是很好用
請看以下例子

例二 3
∫x sinx dx

D I
+ x^3 sinx
↘
- 3x^2 -cosx
↘
+ 6x -sinx
↘
- 6 → cosx

3 2
=> -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - ∫6cosx dx

3 2
= -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - 6sinx + C (C為常數)

以正規法解一次
3 3
∫x sinxdx = ∫x d(-cosx)

3 3 3 2
= -x cosx + ∫cosxd(x ) = -x cosx + ∫3x cosxdx

3 2
= -x cosx + ∫3x d(sinx)

3 2
= -x cosx + 3x sinx - ∫6xsinx dx (換∫6xd(-cosx))

3 2
= -x cosx + 3x sinx - (-6xcosx + ∫6cosxdx)

3 2
= -x cosx + 3x sinx + 6xcosx - 6sinx + C

得到一樣的結果!!
============================騙騙騙騙騙================================

最後，你可能會想問要怎麼知道對誰微或對誰積分呢??
這個問題我沒辦法很精確的回答你，但可以簡單的說
就是微分的對象是要越微越簡單的會比較好算!!
也就是大概要挑微分後可能會變常數的函數。

以上就是有關分部積分的簡單說明...

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