※ 引述《aabbcc610 (阿中)》之銘言：
: https://i.imgur.com/DVmS616.jpg
: 請教這題
: 題目把積分分兩段
: 算出後面那段為無限大所以答案是無限大
: 可是我算前面那段是負無限大
: 負無限大 加 無限大 保證發散？

單純只是定義問題

最初的有界區間的瑕積分是指：

令f為一定義在(a,b]的實函數，且f在(a,b]中的任何閉子區間都有界且黎曼可積

b
因此 F :(a,b] → R defined by F(x) = S f(t)dt 就是一個well-defined的函數
x

我們自然就可以討論lim F(x) 是否存在
x→a

﹝註﹞

通常f在(a,b]是無界的，若有界的話就可以證出lim F(x)必定存在
x→a
且任意定義f(a)後，f會在[a,b]黎曼可積並且等於瑕積分的極限值


回顧了以上定義後，原始題目因為積分範圍[-5,5]跨越0這個瑕點

因此變成雙向瑕積分如下：

令f為一定義在[a-r,a) U (a,a+r] 的實函數

且f在[a-r,a)中與(a,a+r]的任何閉子區間都有界且黎曼可積

因此 F :[a-r,a) X (a,a+r] → R
x a+r
defined by F(x,y) = S f(t)dt + S f(t)dt就是一個well-defined的函數
a-r y

a+r
接著問題就在於你想要如何定義 S f(t)dt
a-r

(1)最嚴格的定法： lim F(x,y) 存在
x→a,y→a

不難看出這等價於f在[a-r,a)中與(a,a+r]中的瑕積分分別存在

(2)柯西主值定法： lim F(x,2a-x) 存在
x→a

不難看出是以對稱於a點的方式來做雙向積分


當然，(1)成立的話(2)必定成立且值相同

但是很多時候(2)成立但是(1)不成立

即用對稱的方式去跑會收斂，但並不代表其他方式跑會收斂

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