[爆卦]瑕積分是什麼是什麼?優點缺點精華區懶人包

為什麼這篇瑕積分是什麼鄉民發文收入到精華區:因為在瑕積分是什麼這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者jazzprozac (何以解憂?)看板Math標題[微積] Improper Integral...

瑕積分是什麼 在 南聲生生難 Instagram 的最佳解答

2021-08-03 14:33:11

《#雖然店長少根筋》|#早見和真|#尖端出版 這本近期讀過內容最輕鬆的《雖然店長少根筋》,是以書店發生的日常瑣事進行書寫的小說。故事舞台是一家規模介於連鎖與獨立間的地區型書店。以匯集在地居民維持營運基礎的經營型態,就本身從事同類型書店店員角度來看,免不了構成共同文化生活圈的職責。具體來說,擁有可以...


t
1. lim ∫ sin x dx = 0
t→∞ -t


2. ∫ sin x dx => divergent
-∞
上述的原因是因為,

第1式的對稱性與奇函數而可相消

第2式中的「-∞」&「∞」不一定是同樣停在同一個位置/大小


then....


3 1
3. ∫ ------- dx
0 x - 1

通常會犯的錯誤是直接積分

然後 => 原式 = ln |x-1| (代入上下界)

= ln |3-1| - ln |0-1|

= ln 2


----------------------------------------------

利用瑕積分來解題目

t 1
4. (第3式) = lim ∫ ------- dx =====> A
t→1- 0 x - 1

         3 1
+ lim ∫ ------- dx =====> B
       u→1+ u x - 1



A = -∞,

so A+B is divergent.

-----------------------------------------------

然而為什麼不能可以是(0~1) & (1~2) 利用對稱性相消

然後2~3的部分再行計算?

是因為前者"1 minus"和後者"1 plus"跑的速度不一致(距離1的位置大小不同)嗎?

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我毋是好子
嘛毋是歹人
我只係愛暝夢

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※ 編輯: jazzprozac (1.161.43.56), 05/11/2015 16:53:11
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※ 編輯: jazzprozac (1.161.43.56), 05/11/2015 17:15:26
firce7772004: See: Cauchy principal value 05/12 01:00
yhliu : 1. 是 2. 的 柯西主值. 但瑕積分的定義不是這樣算. 05/15 05:42
yhliu : 試想一下, 積分範圍是整條數線時, f(x-a) 與 f(x) 05/15 05:44
yhliu : 的積分如果存在, 是否應該一樣? 或者說, 如果 2. 的 05/15 05:45
yhliu : 積分如果存在, 是不是以任何一點為分割點分成兩個 05/15 05:45
yhliu : 積分在加總, 結果是不是應該一樣? 然而, 1. 如果改 05/15 05:46
yhliu : 成以其他點而不以 0 為分割點, 其極限值是不同的, 05/15 05:47
yhliu : 即: ∫_[-t,t] sin(x) 與 ∫_[a-t,a+t] sin(x) 的極 05/15 05:49
yhliu : 限不等. 05/15 05:49
yhliu : 至於 3. 的問題關鍵不在於其真正結果是發散的, 而在 05/15 05:50
yhliu : 於微積分基本定理 ∫_[a,b] f(x) dx = F(b)-F(a) 的 05/15 05:51
yhliu : 套用必須 F(x) 確實是 f(x) 的反導數. 05/15 05:51
yhliu : 雖然一般我們寫 ∫1/(x-1) dx = ln|x-1| + C, 但在 05/15 05:52
yhliu : 包含 1 的區間, ln|x-1| 並非 1/(x-1) 的反導數. 05/15 05:53
yhliu : 確實, 在不包含 1 的區間, 也就是說在 (1,∞) 及在 05/15 05:54
yhliu : (-∞,1), ln|x-1| 都是 1/(x-1) 的反導數, 但一跨 05/15 05:54
yhliu : 越 1 就不是. 05/15 05:55
yhliu : 例如 sgn(x) = -1 當 x<0, =0 當 x=0, =1 當 x>0 05/15 06:02
yhliu : (取消上一列) 05/15 06:04
yhliu : 例如 F(x) = x[x]/2 在非整數點的斜率是 (x+[x])/2 05/15 06:17
yhliu : 因此可以說在不包含整數點的區間, (x+[x\)/2 的反導 05/15 06:18
yhliu : 函數是 x[x]/2 + C. 但在包含整數點的區間積分 05/15 06:19
yhliu : (x+[x])/2, 卻不能以 F(b)-F(a) 代入計算. 05/15 06:20

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