為什麼這篇極點零點物理意義鄉民發文收入到精華區：因為在極點零點物理意義這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者deathcustom (litron-intl)看板Electronics標題Re: [問題]...
※ 引述《jamtu (月光下的智慧)》之銘言：
: ※ 引述《ZRong (21)》之銘言：
: : transfer function = Vo/Vi = p(s)/q(s)
: : p(s)為zero的多項式
: : q(s)為pole的多項式
: : 先從pole來說好了 數學的角度說transfer function要為無限大
: : 我們往往是令q(s)=0以獲得如此結果
: : 或者用電路的角度來看 就是讓Vi=0的時候 Vo=/=零
: : 再換句話說 就是沒有輸入的時候 輸出不為零的樣子
: : 那麼 什麼時候上面那句話會發生呢？
: : RC電路為例
: : Vi---^V^V^V^V^V^V----------------Vo
: : R |
: : === C
: : |
: : GND
: : 當Vi=0 若Vo不要等於零 那唯一可能性就是電容儲存電荷
: : 假使如此 那從電路學的分析來看 Vo波形就是exp函數了
: : 而且time constant=RC
: : 所以總括上面的實驗來看
: : 讓系統的Vi為零 觀察Vo的反應自然得到該系統的"特性" 例如本例中的time constant
: : 這樣的特性就是pole
: 你所描述的是找pole的方法，而不是"pole frequency"是怎麼被推論得到的
: 這之中有邏輯的錯誤：
: "無限大"的概念是發生在 s = -1/RC 注意s是負值
: 也就是你令 s = -1/RC 能夠讓 q(s) = 0
: 但是你在討論實際的case中，你引用了"無限大"的概念
: 也就是你描述到找出一個電路，來讓Vout不等於0，when Vi = 0
: 前者我們找到 s = -1/RC，後者我們發現RC = time constant
: 同樣你以"無限大"出發
: 但是你無法合理解釋的事情是為什麼會差一個負號
: 直觀上，要有 s = -1/RC才會有無限大這種事情發生
: 而我們在電路的case看不到負號這樣的東西
: 這是99.9%的人學習的最大痛點
: 最後要理解這些事情根本的原因，你還是得從頭來
: 我所不接受的點是硬塞一個"無限大"的概念在RC電路裡頭
: 去說initial state是電容有電，然後RC放電
: 看似有邏輯，其實不然
: 這個東西 不是這樣導証的
: 事實上根本也不用加入"無限大"這個概念來看
: 直接去記得RC是pole frequency就可以了
: 我舉一個等價的謬論：
: 我們令p(s)=0 可以得到zero，也就是Vi不管是多少，Vo都是zero
: 而在上述的電路中，唯一可能的解就是一開始電容沒有電
: 而且系統會隨著RC time constant充電到Vo跟Vi一樣
: 於是我們說，這個電路有一個zero是1/RC
: 如果你要證明我錯，你必須回到fundamental
: : 順帶一題 系統的"特性"和pole 很直觀的可知 和輸入信號是無關的
: : 如果把上述電路帶入bode圖來看
: : 若Vi頻率遠小於系統的pole
: : RC充放電的反應速度很足夠
: : 所以Vo永遠追的上Vi
: : 在圖上看到的就是平的
: : 反之
: : Vi頻率過高 Vo就追不上Vi了
: : 所以Bode圖就看到往下掉的現象
: : 不但會掉下來 而且還發現會有Vo落後Vi的現象 所以會有phase plot
: : 至於Vo能否追上Vi
: : 我們把轉折點視為pole的頻率
: : 這樣定義可以用很多觀點來理解
: : 其中一個是 在跟頻率的時候 電阻和電容的阻抗是一樣的
: : 至於zero 就是讓p(s)為零
: : 或者說 特定的Vi造成Vo始終為零
: : 這個可以先想想怎樣才會發生上述的情形........
: 我們在實際電路中的確能夠去解這樣的case
: 而我同樣不認為在你解出s等於多少
: 寫入轉移函數中
: 這個轉移函數會有任何"零"的特性
: : ...........
: : 先到這裡吧
: : bbs系統不是很好回應問題
: : 另外物理意義乃是看待數學的一種觀點 會因人或因領域而異
: : 歡迎指教
: 要用物理觀點去理解 pole/zero
: 絕對不能認為
: pole => 在電路裡面看得到無限大
: zero => 在電路裡面某個case會有output = 0
: 他們在轉移函數的數學定義上，與在電路中造成的影響不一樣
: 你應該能夠從經驗去了解並導証以下現象(不包括所有case)
: LHP pole => 電路裡面有RC放電的情形
: RHP pole => 等效出一個負電阻，有人在給他能量或是自我trigger，越生越大 tacata
: LHP zero => overshoot in step response
: RHP zero => 米勒電容讓你的gain掉不下去但是phase拼命掉接負回授震盪QQ
: 從以上的case我們可以發現
: 會有無限大概念的是 RHP pole
: 而在zero裡面我們看不到"零"這個概念
: 反而在RHP zero接負回授以後有人要震盪了，又是個無限大的概念
: 千萬千萬千萬千萬不要
: 嘗試從"pole是無限大，zero是零"的角度來理解電路
: 電路不是在pole，zero上使用
: 而是在pole frequency，zero frequency上面使用
: 要理解其行為還是得從基本做起
來
整個電路要從"微分方程"解轉移函數開始講
對一個RC電路
根據其"物理意義"
Q(t) = CVc(t) = ∫i(t)dt
C*dVc(t)/dt = i(t) = [Vi(t) - Vc(t)]/R
然後解出來
(微分方程的細節不再贅述)
由於拉普拉斯的概念
sCVc - Vc(0) + Vc/R = Vi/R
(sRC + 1)Vc = Vi + RVc(0)
Vc = Vi/(sRC + 1) + RVc(0)/(sRC + 1)
然後我們根據Vi(t)轉出Vi(s)去解Vc(s)最終得到Vc(t)
這是另一條解Vc(t)的方法
先來說說一般來說"電機上的定義"
所謂的bandwidth是Vc/Vi > 1/sqrt(2)的區域
把傅立葉考慮進來
Vc(jw) = Vi(jw)/(1 + jwRC)
|Vc| = |Vi|/sqrt[1 + (wRC)^2]
所以結論上
頻寬的某個邊界是
1 + (wRC)^2 = 2, (wRC)^2 = 1
well, 我們發現 w = 1/RC
在此一基礎上，又發現當w < 1/RC時，轉移函數的衰減較慢
不管頻率怎麼變動，轉移函數基本都在同一個數量級(廢話)
w doesn't dominate the transfer function.
w > 1/RC時，轉移函數衰減 -20dB/decade
w dominates the transfer function.
也就出現了一個POLE之後就會 -20dB/dec
另外關於phase shift
Vi(t) = cos(wt)則其Vi(s) = s/(s^2 + w^2)
那根據上面的做法
Vc(s) = Vi(s)/(sRC + 1) = s/(sRC + 1)(s^2 + w^2)
= A/(sRC+1) + (Bs+D)/(s^2 + w^2)
As^2 + Aw^2 + s^2BRC + Bs + DRCs + D
D + Aw^2 = 0
A + BRC = 0
B + DRC = 1
D = -Aw^2
B = -A/RC
解A, B, D
回去解出
Vc(t) = (A/RC)exp(-t/RC) + Bcos(wt) + (D/w)sin(wt) + (Vc(0)/C)exp(-t/RC)
基本上通常會剩下Bcos(wt) + (D/w)sin(wt)
於是根據三角函數的和角公式
Vc(t) = sqrt(B^2 + (D/w)^2)[cos(α)cos(wt) + sin(α)sin(wt)]
= sqrt(B^2 + (D/w)^2)cos(wt-α)
lag for an arg α
cosα = B/sqrt(B^2 + (D/w)^2)
sinα = (D/w)/sqrt(B^2 + (D/w)^2)
tanα = D/Bw
α = arctan(wRC)
wRC又剛好是T(s) = Vc/Vi = 1/(sRC + 1)裡面
寫成T(jw) = 1/(1 + jwRC)
多完美，分母的虛部除以實部
phase shift = -arctan(Im/Re)|(分母)
同樣的方法可以用在zero的推定上#
也就是說，從來沒有哪一個"頻率"會讓|T(jw)| = inf，讓我們叫他pole freq
同理，也不會有一個頻率讓|T(jw)| = 0，讓我們叫他zero freq
也就是，就如jamtu講的
不要隨意把zero => T(s) = 0, pole => T(s) = inf放在腦子裡
初學者這樣學很快沒錯
但是一直抱著這個概念，會死得很慘
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.42.101.36
※ 編輯: deathcustom 來自: 114.42.101.36 (06/13 14:28)
推 youfe:感謝d大詳細解說 基本功超強 06/13 14:54
推 jamtu:高手 06/13 15:33
→ MasterChang:很受用 06/13 19:19
推 wxes60711:我認為pole跟zero根本上是個受到誤用的名詞罷了!!! 06/13 21:24
→ wxes60711:這兩個名詞正確來說應該是在Laplace Transform裡出現 06/13 21:25
→ wxes60711:實際的意義的確就是"使T(s)=inf." 或 "使T(s)=0" 06/13 21:26
→ wxes60711:但是在分析電路的時候你只能依據頻率成分改變去看變化 06/13 21:27
→ wxes60711:在Laplace的s domain下 是整個實部與虛部形成的平面 06/13 21:28
→ wxes60711:而頻率(w)卻只能用虛軸來表現...Fourier Transform 06/13 21:29
→ wxes60711:這兩者容易混淆的地方在於很多人搞不清楚s=a+jw 06/13 21:31
→ wxes60711:舉例: T(s)=1/1+2s 依定義 pole=-1/2使T(s)=inf.無誤 06/13 21:32
→ wxes60711:但這個pole是s=-1/2的情況下!! 把它放在s domain上應該 06/13 21:32
→ wxes60711:是在(-1/2, 0)這個點上 也就是a=-1/2 w=0 06/13 21:33
→ wxes60711:而分析頻率響應時 大家也認為所謂的"pole frequency" 06/13 21:33
→ wxes60711:是在"1/2" 這個1/2是當你把s代換成jw時得到的w值 也就是 06/13 21:34
→ wxes60711:頻率值 所以這兩個值的大小雖然都是1/2 但是它們是在 06/13 21:35
→ wxes60711:"s的不同軸上"發生的事情 根本就是兩回事 只是經由推導 06/13 21:36
→ wxes60711:剛好可以得到pole與pole frequency的大小一樣...... 06/13 21:36
→ wxes60711:"pole" frequency只是被誤用久了就將錯就錯 我還比較傾 06/13 21:37
→ wxes60711:向稱呼它為 corner frequency呢...這樣才不會跟pole搞混 06/13 21:37
→ wxes60711:說這麼多 我只是想表示d大紅字的部分是定義無誤 只是大 06/13 21:38
→ wxes60711:家都把s domain(total plane)和w domain(imaginary part 06/13 21:39
→ wxes60711:搞混罷了 06/13 21:39
推 pow:真崇拜D大! 每次來看D大文章都學到好多東西! 06/13 23:00
推 jamtu:這串推文真是經典 06/14 00:19
推 greengoblin:推 書念到透徹 06/14 08:35
推 stevegood:高手太多了 06/14 11:50
推 gigongwen:wxes太猛了啦 06/14 15:54
推 wju1230:推 好詳細 06/14 17:15
→ jsp0520:我想所謂極零點只是因為要求解時,必須使特徵式=0 06/14 20:32
→ jsp0520:才這樣命名的 06/14 20:32
推 henry9102017:推文是才是正解 s為neper frequency 可以定義整個系 06/15 01:36
→ henry9102017:統是否穩定 一般放大器分析頻率響應時 前提是個穩定 06/15 01:37
→ henry9102017:放大器 才會讓s=jw 再去分析頻率響應 06/15 01:38
推 jamtu:推樓上 06/15 16:56