為什麼這篇根號2鄉民發文收入到精華區：因為在根號2這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者AppleOuO (AppleOuO)看板Math標題[其他] 根號(-2) = 根號(2)x(...
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2021-09-24 16:31:46
法式二次方欸(⁎⁍̴̛ᴗ⁍̴̛⁎) 法式² = 法式法式 法式法式開根號 = ±法式 （x 是說他的盒子還真的是二次曲線🤣 🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸 全聯we sweet x KIRI / #法式二次方乳酪蛋糕 / 原價99元(6折即期品59元) 🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸🔸 整體評分：...
大家午安
我對“i “的定義是 i = 根號(-1) 且 (i)x(i) = (-1)
那麼請問一下
我要怎麼知道 根號(-2) = 根號(2)x(i)
好奇這問題的背景是：
剛剛看影片 有人說
根號(-1)乘根號(-1) = 根號[(-1)x(-1)] = 根號(1) = 1 為什麼不對
原因是 沒有人說在複數中
根號(a)x根號(b) = 根號[(a)x(b)]
所以才發現自己不知道為什麼
根號(-2) = 根號(2)x(i)
謝謝~
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推 yangs0618 : 根號2是實數啊 01/12 12:42
→ AppleOuO : 我的意思是 我不知道為什麼可以提出 01/12 12:49
→ AppleOuO : 講錯 01/12 12:51
→ AppleOuO : 應該說 要怎麼提出來 不管是根號2或根號(-1) 01/12 12:52
推 fishpool : 你用極座標的表示方式 就能明白了 很多情況只是特例 01/12 13:20
→ AppleOuO : 抱歉 不太能明白 01/12 13:33
→ AppleOuO : 請問一下根號(-2) 該怎麼用極座標表示 QQ 01/12 13:34
→ AppleOuO : 沒事 剛想錯XD 我在想一次 01/12 13:35
→ AppleOuO : 再 01/12 13:35
→ AppleOuO : 又錯了XD 剛沒想錯 01/12 13:36
→ AppleOuO : 請問一下 根號(-2) 該怎麼用極座標表示 01/12 13:37
→ AppleOuO : 還是沒有根號(-2) 這個東西呢 01/12 13:38
推 oaoa0123 : 因為i是x^2+1=0的解，所以x^2+2=0的解就是sqrt(2)i 01/12 14:42
→ oaoa0123 : 以上的示例保證了負數根號內的正數可被提出 01/12 14:47
→ AppleOuO : 抱歉 我不能了解為什麼x^2+2=0的解就是 sqrt(2)i 01/12 14:53
推 j0958322080 : 這要從 complex 的基本定義下手，也就是 I 這個東西 01/12 15:33
→ AppleOuO : 能多說一些一點嗎 或者 有什麼資料我可以去看呢 01/12 15:44
→ kbccb01 : 至少國高中課本有明說兩個根號內負數不能提進去同一 01/12 15:47
→ kbccb01 : 個根號相乘 其他正負 正正都可以 01/12 15:47
→ AppleOuO : 我是想知道為什麼~ 01/12 15:51
→ AppleOuO : 講得基礎一點沒關係 01/12 15:57
推 arthurduh1 : x^2 + 1 = 0 在複數裡有兩解, +i 和 -i 01/12 15:59
→ AppleOuO : 我文中一開始有定義i為根號(-1) 01/12 16:00
→ AppleOuO : 且 (i)x(i)=(-1) 01/12 16:01
推 arthurduh1 : 這個定義不完全. 你指的是哪個? 複數平面上有兩個解 01/12 16:01
→ arthurduh1 : 如果你抓其中一個當根號(-1), 那也就可以順便抓你想 01/12 16:02
→ AppleOuO : 我知道 i 的精神是 x^2 +1 = 0的其中一個解 01/12 16:02
→ arthurduh1 : 要的其中一個點當根號(-2) 01/12 16:02
→ arthurduh1 : 二次多項式的解之所以會寫成根號的形式 01/12 16:03
→ arthurduh1 : 是因為正負都要取. 如果你只取一個, 就不能這麼隨便 01/12 16:03
→ arthurduh1 : 你可以把 根號(-2) = 2根號(-1) 當定義 01/12 16:04
→ arthurduh1 : 抓其中一個當 i, 而且固定下來, 就只是個定義 01/12 16:04
→ AppleOuO : 抱歉 不太能了解 最後一行 01/12 16:06
→ AppleOuO : 所以 是先定義(-2) = 根號(2)x(-1) 才定義i 嗎 01/12 16:07
→ AppleOuO : 假如你的意思是我上句 那要怎麼推 根號(-4)=4i 01/12 16:08
推 arthurduh1 : 根號(-a) = 根號(a) i 01/12 16:09
→ AppleOuO : 打錯 根號(-4)=根號(4)i 01/12 16:09
→ arthurduh1 : 事實上可以更廣一些, 根據連續性定義出所有數的根號 01/12 16:09
→ arthurduh1 : 但這就是一個記號, 盡量增加這個記號的性質, 01/12 16:10
→ arthurduh1 : 性質一多了人們就會想用 01/12 16:10
→ AppleOuO : 所以是 定義 根號(-a) = 根號(a) i ? 01/12 16:10
→ arthurduh1 : (PS. 上面的 a 取值是正實數) 01/12 16:11
→ arthurduh1 : 這是一種定義方式 01/12 16:12
→ AppleOuO : 你可以先繼續說 我想一下~ 01/12 16:12
→ arthurduh1 : 沒想到還要說啥@@ 重點就是搞清楚定義 01/12 16:13
→ arthurduh1 : 你沒有先想好根號(-a)的定義, 所以才會有這問題 01/12 16:14
→ arthurduh1 : 根號(-1) 的定義 推到 根號(-a) 當中沒有任何已知 01/12 16:15
→ arthurduh1 : 定義可以處理, 所以你需要新的定義 01/12 16:16
→ AppleOuO : 對 所以我才有疑問XD 01/12 16:19
→ AppleOuO : 應該說 我以為 我們平常在講時 就只有定義那樣而已 01/12 16:19
→ AppleOuO : 那樣=我文中的定義 01/12 16:19
推 arthurduh1 : x^2+a = 0 有兩個解, 取到一致的那個就會符合你要 01/12 16:20
→ arthurduh1 : 的性質 01/12 16:21
→ AppleOuO : 我要的性質? 請問一下是指什麼呢 01/12 16:23
推 arthurduh1 : 根號(-2) = 根號(2)x(i) 啊 01/12 16:23
→ arthurduh1 : 你故意取不同邊的解就不會有這性質 01/12 16:23
→ AppleOuO : 稍等一下 01/12 16:24
→ AppleOuO : 可以再講一次嗎 從定義開始 01/12 16:24
→ arthurduh1 : 一般情況下不會自找麻煩這麼定義 01/12 16:24
→ arthurduh1 : 有事情要忙了QQ 01/12 16:25
→ AppleOuO : 那請問一下 你怎麼定義的呢 01/12 16:25
→ AppleOuO : 我剛剛說從定義開始是指說你定義了什麼 01/12 16:25
→ arthurduh1 : 你要說 根號(-a) 就要給他一個定義 01/12 16:26
→ AppleOuO : 然後你才 告訴我你16:20那句話 01/12 16:26
→ arthurduh1 : 那是因為定義方式有很多種 01/12 16:27
→ arthurduh1 : 但一般來說底線是 根號(-a)^2 = -a 01/12 16:27
→ arthurduh1 : 你可以先挑個你認為可以的定義來繼續 01/12 16:28
→ arthurduh1 : 不過我要先走了@@ 01/12 16:28
→ AppleOuO : 恩 好 謝謝~ 01/12 16:29
※ 編輯: AppleOuO (110.26.68.206), 01/12/2018 17:00:52推 arthurduh1 : 一步一步來. 你可以先想想這兩個問題: 01/12 17:04
→ arthurduh1 : 1. 什麼是根號(-2) 2. x^2+2=0 有幾個解? 01/12 17:05
※ 編輯: AppleOuO (110.26.68.206), 01/12/2018 17:18:19假如我想要一般複數的四則運算(以 加,乘為例)
這樣子定義可以嗎 有多或少嗎
let a,b是正實數, i = 根號(-1), i x i = -1
, 根號(-a) = a x i
, a x i + b x i = (a + b) x i
, (a x i) x (b x i) = -1 x a x b
※ 編輯: AppleOuO (110.26.68.206), 01/12/2018 17:33:12
→ AppleOuO : 第二題 假設 幾次多項式方程式有幾個解 那就兩個解 01/12 17:35
→ AppleOuO : 第一題 完全沒想法 01/12 17:37
→ AppleOuO : 應該說 假設 某人想要幾次多項式方程式有幾個解 01/12 17:37
→ AppleOuO : 那麼x^2+2=0 我會希望有個數的平方會是-2 01/12 17:38
→ AppleOuO : 所以 我就想定義 一個數的平方是根號(-2) 01/12 17:39
→ AppleOuO : 當然 那麼我定義完, -(我剛剛那個數) 也是一個解 01/12 17:40
推 arthurduh1 : 沒錯, 就是你 39~40 分說的這兩句, 你得明確挑一個 01/12 17:43
→ arthurduh1 : 才是完整的定義 01/12 17:43
→ arthurduh1 : 但是你回文不都說 根號(-a) = a x i 了? 01/12 17:43
→ arthurduh1 : 若是這個定義就能回答你的問題 01/12 17:44
→ AppleOuO : 在講什麼QQ (真的不太懂 01/12 17:48
→ AppleOuO : 純 我回文的定義 有少什麼嗎 01/12 17:49
→ arthurduh1 : 如果你有複數平面的概, 就能知道這兩個解分別用哪 01/12 17:49
→ arthurduh1 : 兩點表示 01/12 17:49
→ arthurduh1 : *概念 01/12 17:49
→ AppleOuO : 什麼意思 01/12 17:50
→ arthurduh1 : 不是呀, 但你不是問 根號(-2) 是否等於 2 x i 嗎 01/12 17:50
→ arthurduh1 : 你的定義不就回答了這個問題? 01/12 17:50
→ AppleOuO : 喔喔 沒有 後來問題變了XD 01/12 17:50
→ AppleOuO : 一開始 我是想知道 根號(-2) 是否等於 2 x i 01/12 17:51
→ AppleOuO : 那是在我原本內文中的定義下 01/12 17:51
→ AppleOuO : 那時候我以為那樣就是個完整的定義 01/12 17:51
→ AppleOuO : 然後 當我把 洞補齊(根號(-a)=根號a x i)後 01/12 17:52
→ AppleOuO : 我是想問說 那我回文的這樣子的定義 就真的是 01/12 17:52
→ AppleOuO : 定義完了一般複數的四則運算了嗎 01/12 17:53
→ AppleOuO : 抱歉 忘了說 01/12 17:55
→ AppleOuO : 16:20的 你要的性質 那裡 01/12 17:55
→ AppleOuO : 我那時候以為你指的是可以推導的某東東 01/12 17:56
→ AppleOuO : 所以才那樣回覆 01/12 17:56
→ AppleOuO : 至於 之後想定義四則運算 是因為 01/12 17:56
※ 編輯: AppleOuO (110.26.68.206), 01/12/2018 17:58:27推 arthurduh1 : 一般複數的四則運算不包括開根號啊 01/12 17:58
→ AppleOuO : 是因為 我懷疑 根號(-2) = 根號(2) x i 真的只是 01/12 17:59
→ arthurduh1 : 因為根號(-a)=根號(a)i 給出的是根號(-a)的定義 01/12 17:59
→ arthurduh1 : 現在根號(-a)定好了, 是個複數 01/12 18:00
→ AppleOuO : 我忘記定義了 根號(-a) = 根號(a) x i 這樣子嗎 01/12 18:00
→ arthurduh1 : 你只要按照複數的四則運算去考慮就好 01/12 18:00
→ arthurduh1 : 可以這樣定 01/12 18:00
→ AppleOuO : ~ 17:56 ~ 18:00 我所有推文 皆同一口氣 01/12 18:00
→ AppleOuO : 嗯嗯 了解 01/12 18:02
→ AppleOuO : 17:58的 開根號 是什麼意思 XD 01/12 18:03
→ AppleOuO : 我指的 一般複數的四則運算 是指 實數進到複數 01/12 18:04
→ AppleOuO : 我回文的定義 有多打條件嗎 01/12 18:05
→ AppleOuO : 還是你看錯了 01/12 18:07
→ AppleOuO : 先 感謝回答XD 真的很謝謝~ 01/12 18:11
推 harrybbs : 根號-2 01/12 18:20
→ harrybbs : =(2 * e^iπ)^(1/2) 01/12 18:20
→ harrybbs : =2^(1/2) * e^iπ 01/12 18:20
→ harrybbs : =根號2*i 01/12 18:20
推 arthurduh1 : 我沒說多打呀~ 01/12 18:21
→ arthurduh1 : 複數還有 a+bi 那種哦 01/12 18:22
→ harrybbs : 以上2行符號被吃掉了，改 01/12 18:22
→ harrybbs : =2^(1/2) * e^iπ/2=根號2*i 01/12 18:22
→ arthurduh1 : 開根號我是要講 根號(-2) 那個根號 01/12 18:29
→ AppleOuO : 回arthur 哦哦 了解 真的很謝謝~ 01/12 18:31
推 arthurduh1 : 應該說你先定義好加減乘除之間的關係就好 01/12 18:32
→ arthurduh1 : 根號是個單元運算(只吃一個數字,不像加減乘除要兩個 01/12 18:33
→ arthurduh1 : 而且還有 根號(a)根號(b) 不等於 根號(ab) 這種情況 01/12 18:33
→ arthurduh1 : 納進去會變得很亂 01/12 18:34
→ AppleOuO : 回arthur 你講的真的是太好了XDDD 01/12 18:35
→ AppleOuO : 講錯.. 01/12 18:35
→ AppleOuO : 是回harry 你講得真的是太好了>< 01/12 18:36
→ arthurduh1 : 本來 根號(a) 就有兩種可能解, 現在是硬選一個 01/12 18:36
→ AppleOuO : 因為 我對複數的概念也只有一點的複變 01/12 18:37
→ arthurduh1 : 是個滿人工的過程, 其實不是很漂亮 01/12 18:37
→ arthurduh1 : harry 那個其實沒解決問題 01/12 18:37
→ arthurduh1 : 因為 複數^(1/2) 也還是有兩個可能解 01/12 18:38
→ arthurduh1 : 本質上問題是相同的, 都是要硬性規定出一解 01/12 18:38
→ AppleOuO : 開根號只有一個啊 01/12 18:38
→ arthurduh1 : 那是硬性訂出來的 01/12 18:38
→ arthurduh1 : 比如 (-1)^2 = 1^2 = 1, 會取 1 只是美觀方便 01/12 18:39
→ AppleOuO : 嗯嗯 了解 01/12 18:40
→ AppleOuO : harry 是有回答到我原本標題的問題(在我的觀念中) 01/12 18:40
→ AppleOuO : 當然 開根號 的取 的確是定義問題 01/12 18:41
→ AppleOuO : 16:02 我有說到 01/12 18:42
推 arthurduh1 : 但他的論述是 (a b)^(1/2) = a^(1/2) b^(1/2) 01/12 18:42
→ arthurduh1 : 如果 a, b 都是複數會不成立 01/12 18:43
→ arthurduh1 : 現在因為 a 是實數, 才沒發生問題 01/12 18:43
→ arthurduh1 : 其本質與 根號(-a) = 根號(a) i 是相同的 01/12 18:43
→ AppleOuO : 稍等一下 我看一下~ 01/12 18:44
→ arthurduh1 : 更別說 e^(iπ) = e^(3iπ) 01/12 18:45
→ arthurduh1 : 但是 e^(iπ/2) 不等於 e^(3iπ/2) 01/12 18:45
→ AppleOuO : 可以再講清楚一點嗎 01/12 18:45
→ AppleOuO : 你說harry哪裡會有問題 01/12 18:45
→ arthurduh1 : 最大問題就是 18:45 那個 01/12 18:46
→ AppleOuO : 對欸 01/12 18:48
→ arthurduh1 : 18:42說的不是他的說法有問題, 而是本質上這還是 01/12 18:48
→ AppleOuO : 咦 01/12 18:48
→ arthurduh1 : 「你要取那個解」 01/12 18:49
→ AppleOuO : 我看一下~ 01/12 18:50
推 arthurduh1 : 其實這還是 -a 這數算單純, 進一步考慮根號(a+bi) 01/12 18:54
→ arthurduh1 : 要選哪個解就更難選了. 有個方法是看主輻角 01/12 18:55
→ arthurduh1 : 但終歸都是個約定俗成 01/12 18:56
→ AppleOuO : 對 我複變學的是用主幅角 01/12 18:56
→ AppleOuO : 對這個有點不熟 所以看很久 01/12 18:57
→ arthurduh1 : 脫離高中後這差不多就能忘了 01/12 18:57
→ arthurduh1 : 就算用主輻角, 指數還是不能任意操作 01/12 18:58
→ AppleOuO : 可以再講一次 e^(iπ/2) 不等於 e^(3iπ/2)嗎 01/12 18:58
→ AppleOuO : 先假設 我們用 a+ib 當 複數 01/12 18:59
→ arthurduh1 : 但至少這樣映射會保持連續 01/12 18:59
→ AppleOuO : 所以 harry的方法是說 01/12 19:01
→ AppleOuO : 稍等 01/12 19:02
→ arthurduh1 : *大部分的地方都連續 01/12 19:02
→ AppleOuO : 所以harry的方法是說 a+ib看成 r(cosy+isiny) 01/12 19:03
→ AppleOuO : 那麼 假如要開根號 01/12 19:03
推 arthurduh1 : 如果規定 y 取主輻角就會 well-defined 01/12 19:05
→ arthurduh1 : 3iπ/2 就是故意取另一個輻角才造成的 01/12 19:05
→ arthurduh1 : 但雖然開根號本身沒問題, 還是會遇到 01/12 19:06
→ AppleOuO : 嗯嗯 01/12 19:06
→ arthurduh1 : 根號(a)根號(b) 不等於 根號(ab) 的問題就是了 01/12 19:06
→ arthurduh1 : 也就是 (ab)^c 不必然等於 a^c b^c 01/12 19:07
→ AppleOuO : 嗯嗯 有 一個恍然大悟 01/12 19:07
→ AppleOuO : 就兩種方法都還是 是用定義 去解釋 01/12 19:08
→ arthurduh1 : 對, 然後各方考量後一般都會取成主輻角那個 01/12 19:13
推 harrybbs : 不好意思 我的方法有問題 01/12 19:33
推 oaoa0123 : i是x^2+1=0的一個解 01/12 21:49
→ oaoa0123 : 為什麼sqrt(2)i是x^2+2=0的解？ 01/12 21:49
→ oaoa0123 : 因為(sqrt(2)i)^2+2=2i^2+2=2(i^2+1)=0 01/12 21:49
→ oaoa0123 : 其中我們也用了定義出的四則運算 01/12 21:49
→ TaiwanFight : 單純只是符號用法造成的混淆 01/14 19:12
推 yhliu : 其實只是一個定義. √(-2)=√2 i 是定義, 而非當成 01/15 07:03
→ yhliu : -2 的平方根. 若當成 -2 的平方根, 在 R 中不存在, 01/15 07:05
→ yhliu : 在 C 中則是有兩個. 01/15 07:06