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整數減根號 在 余海峯 David . 物理喵 phycat Facebook 的最讚貼文
世上有無字的情批,也有無字的數學證明。光靠這張圖就可以證明的事情是:【根號二是無理數】 原解釋影片 by @Mathologer youtu.be/f1yDExNAEMg
以下導讀 😃:
我們想像北韓大閱兵,兩個一樣大的步兵方陣向彼此靠近,交錯穿過(像之前回顧的動畫),然後迅速的重新整隊,變成一個有兩倍軍人的方陣......啊,此情此景多賞心悅目,金正妹大喜。
呃,什麼,數學很好的參謀表示,很抱歉那是不可能做到的!如果小方陣邊長是 N,大方陣邊長是 M,因為士兵守恆
N² + N² = M²
→ 2 N² = M²
→ (M/N) = √2
但 M 和 N 都是正整數。就表示根號二忽然變有理數了,即使在已經頗無理的北韓都做不到那種事。
但怎麼證明?數一數,圖中有兩個淺色邊長為 12 的正方形,彼此在中央重疊 7 格深色正方形,12 - 7 = 5 是角落兩個白色正方形,整個大正方形邊長是 12 + 5 = 17。
注意到 12×12 = 144, 144 + 144 = 288 ≠ 289 = 17×17 只差 1 就可以完成北韓方陣,很好很好,只需要多複製出一個人(誤)。
能否更好,不需要偷加減一個人呢。依照前文,假設能完成 2 N² = M² 的最小正整數 M 與 N 存在,容易檢查
( 2N - M )² = 2 (M - N)² 也成立。
上式可以用代數乘開,或者注意到原圖中的正方形的面積關係。若兩個淺色正方形面積相加等於大正方形,則中央重疊正方形面積,會等於兩個角落的白色小正方形。(我想像它們是蛋糕模子裡的麵糊,抹平推開。)
揪抖嗎跌~發現貓溺。我們剛剛不是才假設 M,N 是最小的能滿足方程式的正整數解嗎。但透過代數 or 幾何推理,忽然又冒出一組「更小的正整數」 2N-M 和 M-N 也是解。
按照一樣的運算可以一再不停「找出」嚴格更小的正整數組.......
但正整數不可能一直減小再減小,最小只有到 1 而已。所以這一連串「無窮遞降」的荒謬劇的罪魁禍首,只有可能是我們一開始假設錯誤!並不存在任何這樣的 M,N。
這招「無窮遞降歸謬法」是由業餘數學家之王,律師先生費馬發揚光大的。→ Proof by infinite decent
值得一提的是,只要加減一個人就能完成北韓方陣。這個數學結論來自經典的 Pell 方程式:y² - 2 x² = ±1,這個 Pell 方程式的解可以輕易的得到越來越好的「√2 的有理近似」
例如
17/12 = 1.41666...
41/29 = 1.41379...
99/70 = 1.41428...
239/169 = 1.41420... (規律:p/q 的下一個是 (p+2q)/(p+q))
而 √2 = 1.41421...
欸欸欸為什麼?因為丟番圖 Diophantus 和婆羅摩笈多 Brahmagupta 強者威能,歐幾里得也有貢獻。詳盡展開字多略。