世上有無字的情批，也有無字的數學證明。光靠這張圖就可以證明的事情是：【根號二是無理數】 原解釋影片 by @Mathologer youtu.be/f1yDExNAEMg
以下導讀 😃：
　
我們想像北韓大閱兵，兩個一樣大的步兵方陣向彼此靠近，交錯穿過（像之前回顧的動畫），然後迅速的重新整隊，變成一個有兩倍軍人的方陣......啊，此情此景多賞心悅目，金正妹大喜。
　
呃，什麼，數學很好的參謀表示，很抱歉那是不可能做到的！如果小方陣邊長是 N，大方陣邊長是 M，因為士兵守恆

N² + N² = M²
→ 2 N² = M²
→ (M/N) = √2

但 M 和 N 都是正整數。就表示根號二忽然變有理數了，即使在已經頗無理的北韓都做不到那種事。
　
但怎麼證明？數一數，圖中有兩個淺色邊長為 12 的正方形，彼此在中央重疊 7 格深色正方形，12 - 7 = 5 是角落兩個白色正方形，整個大正方形邊長是 12 + 5 = 17。
　
注意到 12×12 = 144, 144 + 144 = 288 ≠ 289 = 17×17 只差 1 就可以完成北韓方陣，很好很好，只需要多複製出一個人（誤）。
　
能否更好，不需要偷加減一個人呢。依照前文，假設能完成 2 N² = M² 的最小正整數 M 與 N 存在，容易檢查

( 2N - M )² = 2 (M - N)² 也成立。
　
上式可以用代數乘開，或者注意到原圖中的正方形的面積關係。若兩個淺色正方形面積相加等於大正方形，則中央重疊正方形面積，會等於兩個角落的白色小正方形。（我想像它們是蛋糕模子裡的麵糊，抹平推開。）
　
揪抖嗎跌～發現貓溺。我們剛剛不是才假設 M,N 是最小的能滿足方程式的正整數解嗎。但透過代數 or 幾何推理，忽然又冒出一組「更小的正整數」 2N-M 和 M-N 也是解。
　
按照一樣的運算可以一再不停「找出」嚴格更小的正整數組.......
　
但正整數不可能一直減小再減小，最小只有到 1 而已。所以這一連串「無窮遞降」的荒謬劇的罪魁禍首，只有可能是我們一開始假設錯誤！並不存在任何這樣的 M,N。
　
這招「無窮遞降歸謬法」是由業餘數學家之王，律師先生費馬發揚光大的。→ Proof by infinite decent
　
值得一提的是，只要加減一個人就能完成北韓方陣。這個數學結論來自經典的 Pell 方程式：y² - 2 x² = ±1，這個 Pell 方程式的解可以輕易的得到越來越好的「√2 的有理近似」
　
例如
17/12 = 1.41666...
41/29 = 1.41379...
99/70 = 1.41428...
239/169 = 1.41420...　（規律：p/q 的下一個是 (p+2q)/(p+q)）
而 √2 = 1.41421...
　
欸欸欸為什麼？因為丟番圖 Diophantus 和婆羅摩笈多 Brahmagupta 強者威能，歐幾里得也有貢獻。詳盡展開字多略。

【數感生活——成長率、幾何平均數，偶爾還有算術平均數】

最近成長率又成為熱門的時事議題。某位教授先用相加的算術平均數，得出台灣4年來的成長率為2.44%。被抨擊「怎麼可以用算術平均數來算成長率，成長率是類似複利的概念，要用相乘再開根號的幾何平均數才對」

之後，該教授又貼了一則文章，解釋算術平均數跟幾何平均數在這個情況下是很接近的，所以方便起見他用算術平均數，並附上了數據與程式碼。

當然程式驗證是沒問題的，不過比起程式，數學上的驗證同樣重要且有趣。許多網友已經指出，若是要講究嚴謹，使用「泰勒展開式」會是一個不錯的工具，來證明在面對成長率這種議題時，當成長率不大，算術平均數的確是幾何平均數的近似值。

在這邊，我們提供一個更簡單的，必然曾經出現在各位國高中黑板上的算式來解釋。

首先，
(1+a)(1+b)=1+(a+b)+ab
當a、b都很小，以台灣成長率來說最高不超過0.03。你可以想像ab的值最大也只有0.0009，小到可以忽略了。所以我們可以得到
(1+a)(1+b)≈1+(a+b)

同樣的道理，推展到4個年度的成長率相乘(是不是覺得數學能夠推展的特性真是很棒很好用呢?)，成長率分別是a、b、c、d，可以得到
(1+a)(1+b)(1+c)(1+d)≈1+(a+b+c+d)

假設這四年的(幾何)平均成長率是g，同樣可以寫出
(1+g)(1+g)(1+g)(1+g)≈1+(g+g+g+g)=1+4g

整理後就能得到
g≈(a+b+c+d)/4
的結果，近似符號右邊是算術平均數，左邊的g則是幾何平均數。

以上，就是為什麼算術平均數跟幾何平均數在這個狀況下，答案會差不多的原因。不過我們要強調，兩者的根本意義完全不同，不能只因為「在某些狀況」答案很接近，就覺得選哪個都無所謂，不明究裡的方便主義會出問題的。舉個反差很大的例子，倘若某年成長100%，隔年衰退50%。

則算術平均數是(100-50)/2=25，平均成長25%。可真正的成長狀況是2x0.5=1，根本沒有成長，幾何平均數是0%。
這時候就差很多了。數據可以有不同的解讀，但回到數學本身，正確答案只有一個。

PS: 感謝 張宏彬 （Hung-Bin Chang）博士協助勘誤XD 也歡迎網友熱心補充泰勒展開式版的說明 ( Sean Huang博士不來一下嗎) ~

PS2: 我們沒有要幫該教授辯護的意思，基本上我認為在沒有解釋清楚的前提下就使用算術平均數去近似，是有失嚴謹的，儘管事後他有補充說明。撰寫這篇文章的本意只是試圖用數學的角度，讓大家理解為什麼，以及在什麼情況下，算術平均數與幾何平均數得到的結果近似。