這是 AMC 2015 初級卷 30 （最後一題） 。 AMC 初級卷的對象是國二生，雖然這題可歸為高中的排列組合，但這其實預設國中生直接去推理分析，不要特地使用排組的公式。

首先這就是我提到屬於 沒實際應用場景的數學題，但我認為這類題的有用之處就是培養學生 分析 問題的能力。

這類題的價值就在於讓學生 『練習去拆解、分類討論』。 而不該是老師講解歸納題型後，讓學生去理解再記憶，連讓學生去『理解』老師的作法，也失去了這道題的意義。

但若要讓這題發揮學生 練習拆解 、分類討論問題。
老師該如何 『問些好問題來引導學生呢？』

很多老師家長都關心『如何提問？』我先前看過些提問的書，但覺得最重要的提問能力的養成還是從實例來討論。我嘗試問些問題，也歡迎大家來提問交流。哪些問題是引發思考的關鍵？尤其邀請不是數學老師的人，來想想對於這樣的問題，可以做哪些適當的提問，來推進自己的思考。

Ｑ：你先試著走看看，並試著為了你的走法做分類？

Ｑ：你對於走的過程，可如何分階段來討論，該如何分階段？

Q：從下層往上層爬的方式有哪幾類？（哪些適合當成同一類？）

Ｑ：這個問題可以簡化成哪個更簡單的問題呢？

【推理小說中，最popular的職業】精神科/心理醫師

人們常說職業不分貴賤，不過其實啪不popular還是有一點點差別，那麼，在推理小說當中，最popular的職業是？答案是精神科醫師！

但這當然不純粹是因為推理小說中最熱門取景的打卡地點是精神病院，而是因為精神科醫師的醫師頭銜，本來就是一種權威的象徵。

權威這東喜，就好比魁地奇比賽中的金探子，是閃閃發光又非抓到不可的，就拿對人正闇黑系很會吉莉安．弗琳(Gillian Flynn)《利器》(Sharp Objects)的主角境遇來說，就正是如此。

其實這本小說是以代理型孟喬森症候群(Factitious disorder imposed on another)的病徵入題－我想大家都有聽說過照料重症病童的勵志故事，最後被踢爆一切攏是假，沒病而是裝病的新聞吧？

追根究底這都是因為照顧者想經由被照顧者的各項「病症」與「醫療」往返，來彌補自己童年的不幸，滿足內心對父母的渴望期許。

因為醫師既是權威的象徵，也代表照顧者的溫暖，這就是心理學最常解釋到的：人生未解的遺憾，遲早都會變成未爆彈的惡性循環。

早期推理，至少就花痴爛漫一女繞二男甚至以上的心理驚悚類尚未盛行前，精神科/心理醫師的角色作用比較單純，就是存在於精神病院，責負精神病患或有些互動而已。

相關劇情多與與世隔絕島嶼、實驗目的或器官買賣的瘋狂科學家形象互為表裡，這樣的神秘與瘋狂，直到S. J. 華森(S.J. Watson)《別相信任何人》(Before I Go to Sleep)，短期記憶儲存失能結合粉紅泡泡精神妄想，激起了驚濤駭浪。

先不說費德莉克．德格特早幾年出版的《被偷走的十二年》，同以失憶女在陌生房、陌生男（都自稱是對方丈夫/情人）臂彎中醒來。

之後就在斷斷續續的掙扎裡，企圖以書面的記載與他人話語來拼貼人生全貌，但那時小說中的女主，花痴爛漫指數還沒那麼誇張。

但從S. J. 華森《別相信任何人》以降，如薇比克．羅倫茲《全都藏好了》、卡莉雅．芮德《是誰在說謊》，簡直可說是愛的小火山大爆發！我都要懷疑我自己看了什麼了，一片閃啊～

公式定律則以失憶女周旋在精神科/心理醫師與(含本身就是)丈夫/情人的排列組合，反覆跳針間，多重選擇竟還有多重可能的變化？！

但精神妄想的來源，多起源創傷後壓力症候群(PTSD)，因為歷經了生命的不幸，怕不被愛、怕被拋棄，及對親密關係的恐懼有關。

甚至連法國導演佛杭蘇瓦．歐容(François Ozon)也有一女周旋雙醫男的《雙面愛人》，這不可能只能歸諸於集體潛意識的偶然。

要像九色夫《魂囚西門》這樣，由貨真價實心理諮商師執筆，一男繞二女（嬌千金俏秘書）然後坐擁多鬼環繞的諮商奇譚簡直特例。

不過其實要設定也很簡單，沒有冒昧的意思，但短期記憶儲存失能的別相信推理，它的表現形式，某種程度上，都與老人的失智健忘有87分像。

每隔一點點時間間隔秒/分/時/天就重複一個跳針循環again，然後問你一聲：我是誰，我怎麼會在這裡，問完自己就問你，你又是誰，跟我什麼關係，慢慢的來確認世界。

可是說來遺憾，女主醒來看見那深情款款的甜美，其實在很早以前就因為自己的不忠劈腿，導致一切崩毀，且最後往往都難以挽回。

雖然可以理解因為無法儲存記憶，導致對世界認知辨識發生困難，這個時候，精神科/心理醫師的存在就會變得異常重要－有可能不僅成為失憶人生命萬象的確認指標，甚至還會是個鮮肉對象。

但這邊可能需要特別提一下，現實當中精神科/心理醫師面對職場的工作態度應該是嚴謹且恪守道德倫理的，要如小說虛構中那樣大談戀愛，賀爾蒙激素大爆發，其實可能有點困難。

對於女主到底是被愛還是不被愛，書中結局自有答案，但不知就是有無人想過小說中精神科/心理醫師(男)的感受想法？說不定他們對蛞蝓般黏膩又瘋狂的女主只想快點逃掉？

最後一個比較特別，與一女繞二男甚至以上的粉紅泡泡或失憶別相信推理無關，而是艾曼紐．卡黑爾(Emmanuel Carrere)《敵人》那根據真人時事改編的憂傷。

講的故事大概是開始於生活日常人們對醫師（不管是不是精神科/心理類）這個職業的光環想像，可男主曠課逃學後再也沒回去課堂。

對外卻宣稱節節高昇（媽我念台大了給我學費）以此騙取周遭親友的信任與金錢，錢花光了，牛皮吹破，就只好同歸於盡一起再見。

只能說，自我需要肯定，那是一定的，任誰都會想在魁地奇比賽裡一舉抓獲金探子，可如果人一生都沒辦法經歷勝利，感到遺憾是自然，但最糟糕的狀況，就是用詐騙偽裝來矯造自我的虛像。

★至今看過以短期記憶為技，但能從公式定律跳出點窠臼的，大概有秋吉理香子針砭老人照護困境與法律相關的《玻璃的殺意》、西尾維新《掟上今日子的備忘錄》入睡記憶將重置的美少女偵探，中山七里《哈梅爾吹笛人的誘拐》記憶障礙所以被綁的人質設定。

Combos 主題分享(五) 下篇

🔮命運好好玩 -【如何提高自己的時薪?】

首先我先承認🙇‍♂ ，
利用"金錢"💵的噱頭讓讀者在快速滑手機的"時間"內⏳，
去抓住他們的"注意力"👁 進而去控制"自由"🧠意志，
是有點下三濫的招數🤦‍♀ ，但一切都是為了再次驗證；
從多數人在意的的Economical⬆
往上追溯到少數人看重的Freedom的F.A.T.E.路徑公式📈
(延伸閱讀: https://reurl.cc/zQ8XQ "F.A.T.E.路徑公式")
再說既然已經是此主題的下篇了 就容許我給個爆點吧🙆‍♂。
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我有一個維持很久的興趣與專長，就是創作歌詞🎼，
之前接過一個case 是為某位知名人物寫一首歌🎹，
總共酬勞是💰$72,000 我將這次的經驗分享給大家:
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整首歌從作詞作曲編曲錄音後製到產出成品💿，
為期時間前後大概花了5天 ，
👁實際上所花的注意力時間大約為3小時，
也就是真正在毫無分心的狀況下，
花在這作品上面的時間是3小時 ，
所以在這邊的注意力一小時價值為24000元🔥。
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許多人一天24小時，扣掉睡覺8小時、工作8小時；
剩下的8小時裡，維持全神貫注的時間可能連8分鐘都不到；
我花了十年以上的時間在創作，每年至少兩首歌穩定輸出，
(延伸閱讀: https://reurl.cc/7EXlN "Constant vs Consistent")
期間根本不是全職音樂人，甚至連兼職都稱不上 ，
因為作品一毛錢都沒賺到，但我賺到了一個能力﹔
💡就是在有限時間內 "控制"自己的注意力🧠
-
我是先從強迫自己去"蒐集"這些注意力開始學起的📚
然後把這些零散注意力產出的東西，
用文字或聲音方式記錄下來(歌詞/想法/技巧/唱腔/問題等)
(在這部分真心推薦Evernote是好物👍)
當這種行為進而變成一種習慣🔁 時，
大腦控制注意力的神經路徑及傳導變得更敏銳及快速🌀
讓我可以在一坐到電腦前🖥 麥克風就擺在我臉前時🎤
能夠很理所當然且有效率地，把這些日常瑣碎的紀錄，
排列組合再調整修正，最後整合起來成一首歌。
✏因為平時的紀錄練習提高了大腦控制力 ，
相對的在相同時間內我可以有更高的產出↗。
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相信大家都有臨時抱佛腳的經驗， 瞬間超專心跟有效率，
但當你能察覺、再蒐集，進而自由控制注意力後，
就變成是抱自己的腳👣 而不是佛的腳，
並且不需要其他deadline等壓力被動地被逼出潛力，
而是主動且在掌控下的察覺出注意力的產生，並記錄下來，
除了紀錄習慣，之前也有提過許多不同的方法可以練習。
(延伸閱讀: https://reurl.cc/mpnX7)
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🧿結語: Freedom概念也就是可以自由地控制注意力，🧘‍♂
是一種透過長期的思考與習慣，衍伸出的高度自律行為 。
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📝Takeaways:
1. 如何提高自己的時薪? 先從察覺並記錄注意力開始。
2. 養成長期紀錄與其他練習的習慣，去自由控制注意力。
3. 控制注意力的程度越高，自然能將單位時間價值提高。

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Title:
賭場VS賭波VS賭馬，如何預測賽果？
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Subtitle:
天有不測之風雲，何以天文台能夠預測天氣？
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Script:
賭場、賭波和賭馬，形式上非常不同：

賭局 賠率 機率
賭場遊戲 己知 己知
足球博彩 己知 未知
賽馬博彩 未知 未知

由於形式不同，戰術亦截然不同。但戰術不同，目標卻始終如一：「正EV」。只要EV是正數，賭博便佔優。重溫一次EV的計算方法：

EV = 淨贏注 × 贏錢機率 － 淨輸注 × 輸錢機率

換言之，賭場遊戲的賠率固定、機率固定，因此EV都是固定，而且一般來說都是固定的負數（因為對賭場來說便是正數）。對賭客來說，除非遇上賭場犯錯，例如推出新遊戲，規則上容許賭客獲得正EV#，否則於賭場遊戲長賭必敗無疑。

#《爽爆：全職賭徒鑽賭場漏洞　月贏80萬 》
　http://hk.apple.nextmedia.com/news/art/20121017/18042618

至於足球博彩，雖然是固定賠率制，但由於足球比賽變化莫測，不似賭場遊戲純粹訴諸物理力學，因此機率是未知之數，自然EV也是未知之數。只要有一定方法，便有可能取得正EV。

或許你會問：既然足球比賽變化莫測，一個不慎擺烏龍、一個不智領紅牌、一個球證誤判越位入球等，都會影響賽果，試問又怎能夠計算呢？

這個問題就等如天有不測之風雲，天文台為何能夠預測天氣呢？當然間中亦有錯判，但雖不中亦不遠矣，這就是數學的力量。其實博彩公司訂立賠率的時候，都會先以數學計算賽果機率，然後輕微調低作抽水。由此可見，只要比博彩公司計算機率計算得更準確，便能夠於賭局中佔有上風。

舉個例，朋友和你在街頭足球場看見兩隊業餘球隊比賽，朋友見一隊年輕力壯，另一隊白髮蒼蒼，於是開盤：「年輕隊1賠0.8、和局1賠2.1、元老隊1賠3.1」，這個時候，你發現元老隊球員原來是前甲組職業球員，年輕隊則是自己兒子的球隊，而你知道自己的兒子和他的朋友是乒乓球隊友，根本不懂得踢足球，因此，你預算元老隊的勝率遠超年輕隊。明顯地，這個賭局是你佔了上風。

換言之，這是一場資訊（Information）戰，擁有更多資訊的佔優。為什麼？因為資訊較多的一方，更能較準確地計算賽局機率（這也是馬評家晨早起床看晨操的目的，獲取一般馬迷不知道的資訊）。於上述例子，雖然不涉及數學運算，但仍算是一種粗略估算。當然，面對博彩公司，粗略估算是不足夠的，你需要比博彩公司更精確的機率計算，而方法就是：建立一個數學模型（Mathematical Model）。

提供重要資訊


計算預測結果

你先從現實世界搜集重要資訊，例如對賽兩隊的近績、對賽往績、預計陣容等，而對賽果影響力較小的，可選擇性地抽取，例如天氣溫度、領隊教練、花邊新聞等。然後，將這些資訊輸入到電腦程式，並由電腦進行運算，得出答案後，把電腦程式輸出的賽果，視之為對現實世界的預測賽果。程序大致如此，天文台預測天氣也是透過數學建模（Mathematical Modeling），量化重要的氣候現象，來預測未來天氣。

然而，電腦程式是如何使用現實資訊的呢？首先預設一些公式，然後匯入大量球賽歷史資訊，例如上述的近績、對賽往績、甚至天氣溫度等，從而利用公式計算預測賽果，將它與真實賽果比較，便可得知每一條公式的預測準繩度，繼而從中選出預測力最高的公式，加以使用，計算EV。

最常見的疑問是：「公式的準繩度源於球賽歷史資訊，包括真實賽果，準繩度自然必被高估，試問對比真實賽果又有什麼意思？」

這個問題可以利用一個名叫回溯測試（Backtesting）的小聰明手法，匯入資訊時，只匯入一部份，留下剩餘的部份歷史賽事當作未來賽事，執行公式模擬投注。
舉例說，你找了1000場相關賽事，你可匯入首900場，來挑選公式，然後用尾100場作模擬投注，計算出使用公式的EV。

賽馬博彩也是透過數學建模，你除了需要計算機率之外，你也要模擬最後賠率。因為賽馬博彩是實行彩池制（Pari Mutuel，又稱同注分彩法），賠率會因應投注額的分佈而時刻調整。假設你投注的時候，一號馬是1賠10，臨開閘的時候可以變了1賠3，到最後派彩可以變了1賠6，而你最後獲得的賠率，就是根據最後派彩，而不是你投注的時候。

由此可見，如使用數學建模，賭馬比賭波容易獲得正EV。主要原因如下：

賽馬是賭客與賭客之間的對賭。實施彩池制，博彩公司抽取投注額的手續費獲利，無論賽果如何，博彩公司已經賺了，派彩只是用輸家的注碼賠給贏家。只要有大量非理性的賭客，賭局佔優的機率便會較高，就好像到麻雀館打麻雀，遇著三位菜鳥，贏面自然較高。

相反，足球博彩是固定賠率制，是莊家和賭客直接對賭，莊家自然費盡工夫調整盤口，為公司獲得正EV，博彩公司正EV，即是賭客負EV。要從足球博彩中使用數學模型取勝，就得比博彩公司計算得更精確才有機會成功。

實際操作上，數學模型的構造當然比以上描述複雜得多，例如考慮的因素、各個因素的比重、賽事的數量，甚至注碼大小等，都絕不簡單。然而，原理大致上就是如此。

這一堂不教任何數學建模的方法，因為所需要的數學水平起碼要有大學程度，如想擊敗賭場，開始學習數學吧，有心不怕遲，只要沒有了考試的壓力，學習數學其實很愉快，也很輕鬆，或許最後你做不了賭神，卻成了數學家呢！

就算不打算學習數學，也希望你明白背後的原理，不致於大庭廣眾之下獻醜，不會再說由於隨機因此無法預測，而別人提起數學模型的時候，你起碼聽得明白。

天氣預測的科學發展已成熟多年，人類掌控隨機事件的能力已遠超一般人所想。天文台雖然無法完美預測每一秒的天氣變化，但大概準確，已造福人群；同樣地，賭局預測，雖然不會場場中，但只要大概準確，使贏的多過輸的，已足夠使賭客獲利。數學並非萬能，但只要適當地使用，絕對是強大的武器。
 
Summary

 賭場遊戲的賠率和機率都是固定。
 足球博彩實行固定賠率制（Fixed-odds betting），賠率固定，但機率不知。
 賽馬博彩實行彩池制，賠率不定，機率亦不知。
 賽果預測的原理，與天氣預測的原理大致相同。
 將現實世界重要資訊，匯入數學模型計算，用結果預測現實世界賽果。
 把部份歷史賽事當作未來賽事，用以驗證數學程式的準繩度。
 天氣預測無須分秒不差，賭局預測亦無須場場中，只要正EV就可以。

Terminology

 資訊（Information）
 數學模型（Mathematical Model）
 數學建模（Mathematical Modeling）
 回溯測試（Backtesting）
 彩池制（Pari Mutuel）
固定賠率制（Fixed-odds betting）
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杜氏數學 Herman To Math 考試戰績:
Ａ ── 會考 Math 數學
Ａ ── 會考 Additional Math 附加數學
Ａ ── 高考 Pure Math 純粹數學
Ａ ── 高考 Applied Math 應用數學
5** ── DSE Math 數學
5** ── DSE M1 數學延伸部分(一)
5** ── DSE M2 數學延伸部分(二)
Ａ ── IAL Core Math 1 2
Ａ ── IAL Core Math 3 4
Ａ ── IAL Further Pure Math 1
Ａ ── IAL Mechanics 2
Ａ ── IAL Mechanics 3
Ａ ── IAL Statistics 1
Ａ ── IAL Statistics 2
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精選系列節錄:
《賭Sir數學戒賭》糸列
https://www.youtube.com/watch?v=dhL-dRcIN5I&index=1&list=PL_CM4U5au2k1cfK2zSph8XOLqIjOPQmvo