[爆卦]常數積分是什麼?優點缺點精華區懶人包

為什麼這篇常數積分鄉民發文收入到精華區:因為在常數積分這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者gj942l41l4 (大四了RRR)看板Math標題[微積] 積分常數時間Fri Aug 9...

常數積分 在 歪歪 Instagram 的最讚貼文

2021-08-02 19:04:29

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最近在讀工數,遇到了這一類的問題



p=dy/dx,求解微分方程

n n-1
a(x,y)p + a (x,y)p + ..... + a(x,y)p + a(x,y) = 0
n n-1 1 0



書上有個作法是將它做因式分解

[p-f(x,y)][p-f(x,y)]...[p-f(x,y)] = 0
1 2 n


解出各個括號中的一階一次微方的解

φ(x,y)=c 、φ(x,y)=c、....、φ(x,y)
1 2 n


則原微分方程的解為

[φ(x,y)-c][φ(x,y)-c]...[φ(x,y)-c] = 0
1 2 n




而我的疑問在於

每個一階一次微方的積分常數(即為c),需要相同嗎?? 書上是都寫c

我自己是想,就算積分常數不同(即需寫作c1、c2、c3...),也都是微方的解吧!

可是又怪怪的,如果積分常數可以那麼多個,那就要有很多初始條件

但一階微方只需要一個初始條件吧...



感覺怪怪但也不知道哪裡卡住了,希望各位大大救我一下==

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.45.23.209
doom8199 :以原po的寫法, c_i = φ_i(v), v為初值. 08/09 18:26
doom8199 :它其實只是把所有的函數 φ_i 平移 φ_i(v) 08/09 18:27

不太懂欸 可否請大大詳述一下 @@


例如我的題目是

p^2-1=0 , y(1)=1

最後應該可以解出通解

(x+y-c )(x-y-c )=0
1 2

那我的y(0)=1要代入哪一個小括號中求積分常數呢?

而剩下來的另外一個積分常數又如何決定?



如果以圖來想也確實在斜率1和斜率-1的直線都能滿足微分方程

若我的初始條件落在斜率1的線上(即代入去解出c_1),也只能決定斜率1是哪條

那斜率-1的線的確是未定的,c_2仍然可以是任意常數

為何它只是經過平移的寫法呢 ...@@?
※ 編輯: gj942l41l4 來自: 114.45.23.209 (08/10 00:45)
jacky7987 :二階本來就要兩個起始條件才有唯一解阿 08/11 10:01
gj942l41l4 :這是一階的... 08/11 13:12
jacky7987 :我搞笑 我以為p^n 是d^ny/dx^n Q 08/12 09:37
doom8199 :建議原po把積分常數想成是一種集合的表達式 08/12 12:26
doom8199 :那樣解代表 至多可由n種不同的曲線族構成 通解 08/12 12:27
doom8199 :所以寫 c 還是寫 c_i 都無所謂; 但一般我們還是會 08/12 12:28
doom8199 :習慣寫成 c, 原因是一階 ode 通解會寫成 φ(x,y,c)=0 08/12 12:29
doom8199 :寫成 c_i 容易讓人誤解 解集 的自由度 > 1 08/12 12:31
gj942l41l4 :嗯嗯感謝 後來有想通了 @@ 08/14 19:23
sneak : 二階本來就要兩個起始條 https://muxiv.com 11/10 12:06
sneak : 習慣寫成 c, 原因是 http://yofuk.com 01/02 15:30
muxiv : 所以寫 c 還是寫 c http://yofuk.com 07/07 11:19

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