※ 引述《chang0629 (小chang)》之銘言：
: 那零多項式的次數為什麼不定義為0？而要說它沒有定義呢？
: 有沒有老師可以教我
: 我們老師教這時
: 我有點不懂
: 謝謝

定義次數函數deg，這舉例說明比較容易

ex：f(x)＝2x^3＋5 g(x)＝3x^2＋11

deg(f)＝3 deg(g)＝2 所以 deg(f‧g)＝deg(f)＋deg(g)＝5


ex: f(x)＝0 g(x)＝3x^2＋11 顯然 f‧g＝0

目前我們未定義「零多項式」的次數，所以令 deg(f)＝deg(0)＝X

deg(f‧g)＝X＝deg(f)＋deg(g)＝X＋3

整理上式得 X＝X＋3

若零多項式的次數為0，則不滿足上式，所以deg(0)≠0

滿足上式的只有一種「數」，叫無窮大（∞）
（其實有三種無窮，分別是一個無窮大∞與兩個有號無窮大－∞、＋∞）

在這裡我們將兩個有號無窮大丟入原本的實數集，當作是兩個數
（分別是上下確界，將實數緊緻化）

成為一種擴充實數集，並定義他的代數運算，其中滿足上式 X＝X＋3

OK！那麼接下來的問題是：零多項式究竟次數是＋∞還是－∞呢？
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
我們用多項式的加法來檢證

ex： f(x)＝x^2 g(x)＝x^5 f＋g＝x^5＋x^2 deg(f＋g)＝5

顯然，「加法後的次數是取兩多項式次數較大者」（兩多項式次數不同）

ex： f(x)＝0 g(x)＝x^3 f＋g＝0＋x^3＝x^3

假設 deg(0)＝＋∞

依上述取次數較大者的原則 deg(f＋g)＝＋∞

顯然 deg(f＋g)＝3 而 3≠＋∞

所以排除deg(0)＝＋∞的可能，

剩下deg(0)＝－∞，代入多項式加法來檢證，確實能滿足...

因此，零多項式的次數是－∞


（註一）
以上討論雖然很簡單，不過還是有點囉唆，
這也是為什麼中學數學不討論「零多項式次數」的原因...
茲節錄〈部編版基礎數學第一冊〉內容如下：

「...f(x)＝0，也是一個多項式，叫做零多項式，
目前我們不討論它的次數。零次多項式與零多項式統稱為常數多項式。」

（註二）
零多項式的次數竟然會是負號無窮大（－∞），
這結果看起來似乎挺詭異的（會嗎？）
只要有受一點點數學訓練的人，應該都能體會，「零」和「無窮大」是一體的兩面

（註三）
這種東西並不重要...重要的是要會算題目！


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