為什麼這篇同餘問題鄉民發文收入到精華區：因為在同餘問題這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者harry921129 (哈利~~)看板Math標題[中學] 同餘問題....時間Mon Aug...
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2021-09-24 16:23:39
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1. 2003=x^2 + y^2 沒有整數解
看解答沒問題.....但是想知道對於同餘的題目
要如何思考 或是根據甚麼脈絡可以來決定使用 模多少?
例如說此題是使用 模4
2. 1599=x1^4 + x2^4 + x3^4 +.....+x14^4 沒有整數解
想了很久 想要用模16
但是遇到困難
1599同餘-1 或 15 (mod 16)
xi同餘 0 +-1 +-2 +-3 +-4 +-5 +-6 +-7 8 (mod 16)
xi^4同餘 0,1,4,9 (mod 16)
接下來如何說明14個xi 相加不會等於15 對於模16 ?
還是我取的模16不夠好 有更好的??
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→ Ricestone : 有4跟9嗎？ 08/24 16:32
→ harry921129 : 樓上一語驚醒夢中人,確實沒有4,9..那我沒問題了,謝 08/24 16:39
推 hwanger : 關於第一點 你可能可以針對變數個數少及次數較低的 08/24 23:03
→ hwanger : 情況做一些經驗的歸納 08/24 23:03
→ hwanger : 也許是我見識淺薄 不過針對一般多元多次方程 目前應 08/24 23:04
→ hwanger : 該是沒有"快速"的通用算法用來判定該用哪個數字來作 08/24 23:05
→ hwanger : 模(Maybe you can find one or prove that there is 08/24 23:05
→ hwanger : no such one) 08/24 23:06
→ hwanger : 當然一些代數或代數數論的技巧在分析該用何數作模時 08/24 23:06
→ hwanger : 是很有用的 例如在你的第二點的例子中 因為2^4=16 08/24 23:06
→ hwanger : 並且Z/16Z的乘法群同構於(Z/2Z)x(Z/4Z) 所以當取模 08/24 23:06
→ hwanger : 16時 所有偶數的四次方都同餘於0 所有奇數的四次方 08/24 23:07
→ hwanger : 都同餘於1 (你第一點取模4也是類似的結論 實際上我 08/24 23:07
→ hwanger : 們可以推廣到模2^n的情況) 08/24 23:07
推 hwanger : 另外處理這類Diophantine equations 當其次方都是偶 08/24 23:09
→ hwanger : 數時 有時用程式硬算驗證其實也是一種高效率的作法 08/24 23:10