作者nobrother (nono)
看板Math
標題[微積] 可微分性
時間Wed Nov 13 15:46:05 2013
各位高手大家好
我對於"可微分性"的定義一直搞不太清楚
我在看的書是有寫
多變數函數之可微分定義:
n m n m
設f:D R⊆R —>R 的函數且若存在一從R 映至R 的線性函數
Df(x_0) , 其中x_0∈D滿足
||f(x_0+Δx)-f(x_0)-Df(x_0)Δx||
lim = ---------------------------------- = 0
Δx->0 ||Δx||
,則稱函數f在點x_0∈D是可微分
所以是每次遇到題目都要用這個定義做嗎?
還有他這裡說的是在點x_0,那如果只是問可不可微呢?
像是
f(x) ={ (x^2)sin(1/x) , x ≠ 0
{
{ 0 , x = 0
或是
2 2
f:R —>R 定義為
2
f(x,y) = (φ(x,y),Ψ(x,y)) , for all (x,y)∈R
其中φ(x,y)=x^2y^3 且 Ψ(x,y)=x*exp(y^2) ,
2
for all (x,y)∈R 是否為可微分函數
只要告訴我一點概念或方向就好
謝謝!!!
--
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◆ From: 111.253.26.26
推 jacky7987 :有個定理告訴你 如果他偏導數存在連續 那就可微 11/13 17:12
→ jacky7987 :這是個方法 不過不是每次都管用 11/13 17:13
→ ex951753 :最後同理 整個分子取norm 則可改寫為 =0 in R^1 11/13 18:02
→ nobrother :太感謝了 我現在來研究研究 11/13 19:01
推 yuyumagic424:一樓的意思是說 有時候有一些充分條件可以使用 11/13 19:33
→ yuyumagic424:但因為只是充份條件 所以不是每次都派得上用場 11/13 19:33
→ nobrother :那可以請問一下是甚麼情況可以使用嗎 11/13 19:46
推 yuyumagic424:呃...符合條件的情況..... 11/13 19:53
→ nobrother :哈哈 還是謝啦 我自己再想想 11/13 20:02
推 jacky7987 :不好意思 我的意思是說 如果你運氣好 發現他全部的 11/13 22:03
→ jacky7987 :偏導數都存在 那麼他就一定可微 可是如果你發現有偏 11/13 22:04
→ jacky7987 :導數不是連續 也不能下結論說該函數是不可微分的 11/13 22:04
→ jacky7987 :這時候就要再回頭從定義下手看看 11/13 22:05
→ jacky7987 :(第2行的偏導數存在還要連續 也就是俗稱的C^1函數 11/13 22:05
→ jacky7987 :也就是{連續函數}ㄈ{可微函數}ㄈ{C^1函數} 11/13 22:07
→ jacky7987 :反了== 11/13 22:07
→ jacky7987 :舉你的例子來說 在x不是0的時候 x^2sin(1/x)是好的 11/13 22:07
→ jacky7987 :可以無窮多次可微分 但是f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) 11/13 22:08
→ jacky7987 :在0是不連續的 可是他仍然依照微分的定義是可以微分 11/13 22:09
→ jacky7987 :且微分值為0(也就是你的線性轉換是0 11/13 22:09
→ jacky7987 :第二個例子 你會發現那些偏導數都存在且連續 所以可 11/13 22:10
→ jacky7987 :微分 這時候的線性轉換剛好是f的jacobian 11/13 22:10
→ nobrother :謝謝!!!!!!! 11/13 22:19
→ nobrother :請問,在第一個例子裡,f'(x)在0是不連續的,所以在0是 11/13 22:21
→ nobrother :不可微分嗎? 11/13 22:21
推 yw1002 :這還只是實變數...到了複變數更頭痛! 11/14 02:50
推 jacky7987 :還好拉 複變只要可微就無窮可微 算是蠻好的XD 11/14 08:16
→ sckm160913 :前提是只要可微XDD 11/14 18:11
推 yw1002 :微分好像是一種降維度的過程:球體積微了變表面積 11/15 01:53
→ yw1002 :表面積微了變周長,頂多差個常數 11/15 01:54
→ yw1002 :複變的holomorphic function似乎就是因為有個 11/15 01:55
→ yw1002 :fixed point(實數軸原點)...然後作微分只是在 11/15 01:56
→ yw1002 :上面作投影 11/15 01:56
→ yw1002 :從複變的L^p就延伸到可積性 11/15 01:57
→ yw1002 :我想最關鍵是在系統座標變換時那個invariant如果 11/15 01:58
→ yw1002 :設定在inner product.....那內積本來就旋轉不變 11/15 01:59
→ yw1002 :兩體(two body problem)--quadratic form 11/15 01:59
→ yw1002 :內積不可能會變...至於三體以上無解析解就是因為 11/15 02:00
→ yw1002 :exterior product已經沒有不變量了 11/15 02:00