※ 引述《supercake (rockbat)》之銘言：
: 3 √(9-x^2) 5-y
: 題目是∫ ∫ ∫ f(x,y,z)dzdydx 分別化為
: -3 -√(9-x^2) 1
: ? ? ? ? ? ?
: (1)∫ ∫ ∫ f(x,y,z)dxdzdy (2)∫ ∫ ∫ f(x,y,z)dydzdx
: ? ? ? ? ? ?
: 這幾天念到三重積分 卡在這個地方
: 如果畫出圖形的話會比較好看
: 但是書上寫不用畫出三度空間圖 而且有些圖形不好畫也很難想像
: 請問版上的大大們有沒有比較好變的方法或訣竅??
: 謝謝!!

有時候晝圖可以幫助求解, 不過有時候圖並不好畫, 尤其
是多變數的情形. 因此, 學習如何不依賴紙上的圖形 (可
以在自己腦海中構建圖形) 而解決這類問題, 是有用的.


依原積分, 可知積分區域是 R^3 中如下區域:
D = {(x,y,z): -3≦x≦3, -√(9-x^2)≦y≦√(9-x^2), 1≦z≦5-y}

就 x-y 之關係而言, 這是 x^2+y^2≦9, 也就是以原點為
中心, 3 為半徑, 垂直於 xy-平面的一個圓柱.

就 y-z 而言, 界限 y+z≦5 及 z≧1, 表示平面 y+z=5
及 z=1 分別是 D 的上下蓋.

因此, 原積分順序是最自然的...在 "已知 x, y" 之下,
對 z 積分, 然後對 x, y 積分. 由於 z 被積分之後, 在
xy-平面積分範是一個圓域, 因此對 x 或 y 何者先積分,
其範圍都是容易的.

現在若要先對 x 或 y 積分, 就是在 z 固定之下考慮 x,
y 的範圍.

在已知 z 之下, x, y 受限於
x^2 + y^2 ≦ 9 及
y ≦ 5-z
所以這是一個圓域在 y 方向被切一塊. 那麼,可想而知比
較簡單的是先對 x 積分, 也就是第1小題, 這時不需考慮
z.

第2小題是先對 y 積分, 那麼, x, z 已知之下,y 受限於
|y| ≦ √(9-x^2) 及 y≦5-z
合起來就是
-√(9-x^2) ≦ y ≦ min{5-z,√(9-x^2)}

當 y 被解決之後, x 與 z 的範圍是
|x| ≦ 3,
z ≧ 1 及
z ≦ 5-y ≦ 5+√(9-x^2)
^^ ^^^^^^^^^^^^^^^ (中間 5-y 不用管, 因 y 已積掉)

所以, 若積分順序是 y-z-x, 那麼積分區域可寫成
D = { (x,y,z): -3≦x≦3,
1≦z≦5+√(9-x^2),
-√(9-x^2)≦y≦min{5-z,√(9-x^2)} }

當積分上限出現 min{...} 或積分下限出現 max{...}, 就表示
實際計算需要分段或分區. 以本例來說,
min{5-z,√(9-x^2)} = 5-z
iff. 5-z≦√(9-x^2)
iff. z≧5-√(9-x^2)

所以,
D = {(x,y,z): -3≦x≦3, 1≦z≦5-√(9-x^2), -√(9-x^2)≦y≦√(9-x^2)}
∪{(x,y,z): -3≦x≦3, 5-√(9-x^2)≦z≦5+√(9-x^2), -√(9-x^2)≦y≦5-z}




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