一位令歐美科學界敬仰的「南宋惡人」

歷史春秋網

作者：滄海明月生
　　　　
桃花影落飛神劍，碧海潮生按玉簫。

這是《射鵰英雄傳》裡桃花島主黃藥師的武功寫照，除了出神入化的武功，這位狂傲的宗師對天文地理、五行八卦、奇門遁甲、琴棋書畫甚至農田水利都無一不精，堪稱複合型的學霸。

《神雕英雄傳》是金庸的成名作，以南宋、蒙古、金國三方勢力的角逐作為歷史背景。小說中黃藥師的出場，大約處於南宋的第四位皇帝宋寧宗當政時期。

巧合的是，這一時期的歷史裡也有一位多才多藝的學霸橫空出世。他弓劍嫻熟、精於星象音律、算術詩詞及建築營造。更為契合的是，黃藥師被視為亦正亦邪的狂士，這位學霸也一度被世人認定是劣跡斑斑的惡人，但在幾百年後卻被大洋彼岸的科學界集體敬仰。

一樣的天縱英才，一樣的毀譽參半。除了沒有一個冰雪聰明的女兒，這位學霸幾乎可以視作小說裡黃藥師的原型。

他就是南宋著名的數學家秦九韶，一位被聲名耽誤的天才。

一、英武少年

秦九韶是四川安岳人，他出身官宦世家，父親秦季棲是進士出身。公元1219年，主政巴中的秦季棲遭遇了軍士嘩變，一介書生的他只得攜家小棄城逃走。歷經數年的輾轉後，秦季棲到了都城臨安，朝廷不僅沒有治罪反而將他提拔為潼川知府，並命他舉家重返四川。

秦九韶的傳奇，就是從這時開始的，那一年他18歲，正值熱血沸騰的年紀。

此時的南宋，在西北一帶同時防範蒙古與金國兩方強敵。在蒙古的快馬彎刀之下，陝西、甘肅大部已被突破。潼川由於地形險峻被視作戰略要地，為此朝廷特意從西南募集了幾千名精壯的民兵，戰時隨軍禦敵，閒時作為民夫修建工事。這支民間武裝的首領，就是年輕的秦九韶。

能統領這樣一支隊伍，秦九韶絕對是有兩把刷子的。他生性聰慧好學，少年時就研習了大量的天文曆法典籍，又潛心學習土木工程，這些都轉化成了他安身立命的技能，手下的軍士對此都心服口服。

秦九韶是典型的別人家的孩子。他不僅理論知識過硬，軍事素質也相當優秀，他的馬術、騎射、劍術玩兒得非常溜，以致於當時的人們都以豔羨的語氣評價他：「遊戲、毬、馬、弓、劍，莫不能知」。

公元1236年，蒙古大軍攻入成都，四川的大部分州府都遭淪陷。此前的一系列戰鬥中，秦九韶展現出了職業軍人的素養，時常冒著箭雨指揮自若，就如他後來追憶的那樣：「歷歲遙寒，不自意全在失石間」。

如果人生照著這樣的軌跡前行，投身軍營的秦九韶多半會落得為國捐軀的結局。然而隨著從戰場調離到地方，秦九韶最終在數學領域突放異彩。

二、數學天才

在四川任職期間，秦九韶就已經展現出了數學方面非凡的天賦。

《郪縣誌》記載了這樣一則故事：公元1231年6月，郪江沿岸暴雨成災，當地一處名為核桃壩的地方，有兩個農夫為洪水沖毀的田界發生爭執。經過現場勘驗後，秦九韶發現各自為三角形合在一起的「三斜田塊」，被洪水沖成了不規則的田地。於是，他運用豐富的幾何知識，算出了田地的面積，再將其等分劃出了令兩人都滿意的邊界。

除此之外，民間還留下了諸多秦九韶的傑作，譬如杭州西溪有一座「道古橋」，就是由他設計修建的。對於秦九韶而言，這些不過是牛刀小試而已，真正令他揚名天下的，是一部名為《數書九章》的奇書。

公元1244年，在南京任通判的秦九韶，因母親去世回鄉守孝三年。遠離了政治紛擾的他，在研究曆法時發現年份越遠，曆法的誤差也越大，其根源就在於算術不夠精準。為此，他用三年的時間，完成了二十多萬字的《數書九章》，一經問世便引起了轟動。

即便是幾百年後的今天，這本《數書九章》裡蘊含的知識，也足以令學渣們抓狂。
比如書中的「三斜求積術」就是已知三角形的三條邊長，求三角形的面積，沒點兒幾何知識真還無從下手。令人驚嘆的是，秦九韶總結出的公式，與當代課本上的算法幾乎一致。而且他提出的配分比例和連鎖比例的命題，至今還有很強的現實意義。

《數書九章》共有9個門類，囊括天時、田域、測試、賦役、軍旅等與社會生活相關的內容。9類中又提出了9個問題，共計81道數學題，秦九韶在書中不止提出了問題，又精心地講述瞭解題原理和步驟，在給出答案的同時還有思路延伸。
如果南宋的科舉考試有數學的話，這本《數學九章》絕對是賣得脫銷的熱門書籍，可能連小朋友都人手一本，相當於當代的「奧數」。

《數書九章》裡的內容，涵蓋了如今初中甚至大學裡的數學課程。除了小數、複數、還有最小公倍數、代數運算，高次方程等。

這部著作代表了中世紀世界數學發展的最高水平，其中的「大衍求一術」領先西方數學家高斯554年，「正負開方術」比英國數學家霍納的解法早了572年。現代的數學家梁宗巨曾經這樣評價《數書九章》：「那時歐洲漫長的黑夜猶未結束，中國人的創造卻像旭日一般在東方發出萬丈光芒。」

三、毀譽參半

公元1248年，聲名遠播的秦九韶被宋理宗召見並得到了賞識，而他也由此成為中國歷史上第一位被被皇帝召見的數學家。

此後的秦九韶被提拔在江南一帶任肥缺，聲色犬馬的熏染使得他逐漸在官場中迷失了自我，變身為同僚們口誅筆伐的大惡人。

秦九韶早年還是文學青年，寫得一手好詞，因此與南宋晚期的詞家劉克莊相識。劉克莊的詞風豪放，充滿了愛國主義情懷，但在秦九韶成名以後，卻遭到了劉克莊的猛烈抨擊。

經過這位文壇大咖的宣傳，秦九韶為人不仁、不義、不孝、不廉」，甚至後來社會輿論還對他進行了人身攻擊，說他’暴如虎狼、毒如蛇蠍、非復人類」。更離奇的如「多蓄毒藥，如所不喜者，必遭其毒手」。

在諸多文字的渲染下，秦九韶的惡名似乎是被實錘了。

在這些記載裡，秦九韶橫行鄉里魚肉百姓，多次被取消任命；他利用自己在數學領域的特長攫取了上司的田產；更勁爆的是，秦九韶命屬下殺死親兒子，為此還精心地設計了毒殺、溺死、用劍自裁的三種方案。

趕上這樣蛇蠍心腸的老爹，手下人覺得太變態了就沒下手，私放了他兒子，秦九韶得知後竟巨額懸賞追殺。

從秦九韶的仕途經歷來看，他精於算計醉心官場權鬥，絕不是個善茬，但抹黑他的劉克莊也不是道德模範。南宋的政壇一直分為主戰派和主和派，秦九韶與樞密使吳潛交情深厚，主張武力抵禦蒙古，在詞裡高唱愛國的劉克莊卻依附權臣賈似道，積極沖當詆毀主戰派的鼓吹手。

四、死後哀榮

公元1268年，被貶至廣東梅州的秦九韶淒惶離世。由於生前遭遇的輿論攻擊太多，秦九韶死後，《宋史》和所有的地方志都沒有為他立傳，就連現在的學術界也將他視作有道德污點的天才。

從某種意義上說，秦九韶的悲劇也是南宋朝廷悲劇的縮影，如果因為黨派因為政見不合就置國運於不顧相互攻擊，那麼亡國之禍也為時不遠。

秦九韶死後的第八年，南宋滅亡。

令人唏噓的是，沒有被中國古代主流價值觀認可的秦九韶，在西方科學家的眼中卻得到了前所未有的尊敬。德國著名的數學史家康托爾稱讚他是「最幸運的天才」，美國著名的科學史家薩頓認為」秦九韶是他所在的民族，他那個時代，最偉大的數學家之一」。

時光荏苒，如今的安岳縣為秦九韶修建了紀念館。這位曠世奇才在幾百年後，終於以光輝正面的形象被世人銘記。

（本文由「歷史春秋網」授權「知史」轉載繁體字版，特此鳴謝。）
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〈在台灣學做手工皂，把環保和節儉的理念帶回家鄉〉

🧼#聖誕小精靈🎄

告訴大家一個小秘密，
其實我一直在悄悄地跟老師學做手工皂。

聖誕節快到了，我拜託老師教我做聖誕老公公皂，這是我第四次做皂，剛試著自己將皂脫模並切割，說真的，好久沒有這麼緊張了！

做聖誕皂實在是狀況百出，第一次製作時，將皂放進保麗龍盒子保溫後，才想起來忘記放精油，和老師兩個人「啊哦」了老半天。

第二次，我因判斷錯誤，将老公公眼睛模型放早了，拿出來時又弄斷成七八截，只好安慰自己：「這樣出來的老公公的每一塊皂都會不一樣，微表情會有差異。」

綠色帽子的皂油因前面做太慢，整個皂化得硬梆梆，哭笑不得地跟老師解釋：「聖誕老公公他今天打了髮蠟！」

今晚，當我看到切割出來的成品，因「錯誤百出」，卻陰差陽錯導致每一隻老公公都獨一無二、神態各異時，真的覺得好奇妙、好有趣！

#因為老師，我開始接觸手工皂

印象中，去年有一次見到老師，她手上抱著一本厚厚的書，我問這是什麼書？

老師告訴我這是手工皂的書，一提起這個話題，她就像被上了發條，興奮地跟我分享說手工皂可以分為哪些種類、需要用到哪些材料，這種怎麼做、那種怎麼做⋯她說自己打算好好研究。

但說老實話，我當時不太感興趣，因為我沒有用皂的習慣，心裡還難免嘀咕，搞不好老師跟我一樣，只是「三分鐘熱度」，畢竟從「說」到「做」，還有很長一段距離呢！

沒想到的是，去年的下半旬開始，老師陸陸續續送給我了好多塊自己做的皂，先是簡單的純色皂，而後是花紋特別的渲染皂，快到聖誕節的時候，老師送了我一塊珍珠奶茶皂⋯

但我都當紀念品收起來，
所以手工皂到底好不好用，
我也不清楚。

我要回廣東過年的時候，老師又給了我兩塊皂，回到家後，為了給老師反饋，我就逼著老爸試用，老爸被我叨叨得不行，才拿起來認認真真地洗了一次臉⋯

結果這次以後，我發現手工皂的體積縮小得越來越快，老爸不僅用它洗臉，洗澡洗頭都在使用它了！

不過這一次，
除了手工皂，
我更想跟大家分享，
手工皂的背後，
我學到的事。

#手工皂的好處

我在廣東時，身邊幾乎沒有親戚朋友使用手工皂，但是台灣隨處可見手工皂專櫃，在東門甚至還有很多巨大的門市體驗店，讓遊客感受手工皂的觸感和味道。

手工皂代表著一種環保和節約的理念，一塊皂出來，最後可以完全「消失」，不會留下洗髮精、沐浴乳需要用到的塑料瓶瓶罐罐。

輕便、好攜帶，最重要的是，上好的手工皂，除了必要的皂化料，不需添加任何對人體有害的化學成分、潤滑成分，也能夠起到清潔和保濕效果，若能自己製作，成本還可以大大壓縮。

我現在洗頭洗澡洗臉都用手工皂，皮膚越來越好，洗完臉不立刻用潤膚露也不覺得乾，真的很神奇。

若莓以前說我的腦袋很臭，頭皮有一股陳年老油味，結果這次我讓她聞聞看，她說：「哇，王老師的皂真的很厲害！」

我下定決心要在臺灣學會手工皂，把這樣的好東西帶回去，分享給家人朋友們。

#手工皂的平行世界

大家都知道2020年有多麼地不太平，地球「兵荒馬亂」，災難連連，令人悲傷的、讓人憤怒的消息層出不窮，所有人都多多少少受疫情影響，長官們壓力無窮、員工們人心惶惶，留學生們被困在原地，與老師和同學隔岸相望。

疫情爆發初期，籠罩在城市上空的低氣壓真讓人煎熬難耐，我的心情也總是低落到極點，打開電視、手機一看，全都是經濟衰退、確診人數激增的壞消息，除了縮在被窩裡喀喀啃薯片，哪也去不了⋯

而那段時間，老師的畫風卻和其他人都不一樣，她總是很高興地跟我分享自己做的新皂，杯子蛋糕、西瓜、咖啡豆、玫瑰花、冰淇淋、海洋與雪山，三角形的、圓形的、方形的、磚型的⋯

從老師做的皂裡，我覺得老師簡直在另外一個平行時空，2020年的台灣也同樣波濤洶湧啊，風雲巨變的庚子年，老師卻有這樣的「閒情逸致」，

絲毫不受外境影響，在學皂、做皂、修皂、包裝皂、與人分享皂的過程中，心靈得到提升，每天都生活在平靜與祥和之中。

作為時刻被外境震盪著，
身不由己的其中一朵小浪花，
我真的很讚嘆老師的心境和態度。

#第一件事：毫無保留的教學

9.11-9.26日，我隔離期間，老師給我送來了一個愛心包裹，裡面就有一塊自己做的手工皂。

當我順利解除隔離後，
終於有機會跟老師學手工皂啦！

老師在教我和外甥女時，是毫無保留的手把手教學，用一句流行語來說，就是「乾貨滿滿」，三小時做皂的過程中，每一分每一秒，我們都有所收穫。

人之常情，很多手藝人在傳授學徒時，總是不得不「留幾手」，許多工序細節是不會讓學生知道的，都只敢教到剛剛好而已。

可是老師不僅沒有跟我們兩個算學費，讓我們使用她的工具和材料，還把所有失敗的經驗、成功的秘訣知無不言地傳授給我們。

老師看過大量的書和視頻，也親身去上過手工皂的課，但發現做皂的許多細節和門道，還是需要自己摸索才能得知。

也就是說，若不花費大量心力去研究，做出來的皂永遠「馬馬虎虎」，套公式、用模具而已。

正因為老師經歷了這個困難重重的摸索過程，在教我們的時候，才會把自己一年多來的功夫，鉅細靡遺地全部講給我們聽，其中的原理、竅門、秘笈，一點都沒有藏著掖著，就是希望我們不是一知半解，而能真正學會。

我問自己，如果是我，會願意這樣把自己好不容易積攢的經驗和秘密，傾囊相授嗎？我在跟老師學皂的同時，也是在觀察老師如何教人學皂，在當好一名學生的時候，我也想要學會如何當一名好的老師。

老師說自己很佩服教「根治飲食法」的賴宇凡醫師，這位心理諮商師讓病人真正康復，她捨得讓病人永遠「離開」自己、離開藥物，但她不會因此就關門大吉，反而來找她的人越來越多！

我明白了，抱著一顆真心與人分享真知，樂於助人、樂於法佈施，自己絕不「吃虧」，更不會因為通通教會別人了，自己就沒價值了，

相反，真心誠意地幫人、教人，最後一定會真正的幫到自己，因為善意的緣分，就是一個很妙的循環啊！

這樣的度量和為人師者的態度，是我跟老師學手工皂過程中學到的第一件事。

#第二件事：站在他人的角度來思考

第一次上課的時候，老師就拿出兩塊皂讓我們摸摸看，一塊是修過邊邊的，一塊是沒有修過的，外表看起來差不多，但修過邊的那一塊手感真的不一樣，非常溫潤而圓滑，沒修過的那塊，握在手上就很膈應，想馬上放下。

老師對我們兩個小朋友說：「修過的拿在手上感受會不一樣，心情也會不一樣。我們要站在收到這塊皂的人的角度來思考，處處看到對方的需要。」

上課的講義是老師自己整理設計的，其中很特別的是，老師單面列印，一般翻開時，留白頁都會在左手邊，但老師將留白頁留在右手邊，是為了讓絕大部分學員方便做筆記。老師的細緻與貼心，時刻為他人著想的念頭，在這裡展露無餘。

處處看到他人的需要，是我跟老師學手工皂過程中學到的第二件事。

#第三件事：殘缺的留給自己，完美的才給他人

我建議老師，那些自己做得不滿意的，還可以送給別人啊！

老師卻慈祥地對我說，「拿給別人的東西，一定是自己覺得很好用的，如果連自己這關都過不了，就一定不會塞給別人。」

啊，我以前都是把自己不要的、閒置的東西，「慷慨」地給別人，好的、漂亮的、新鮮的才留給自己，我很慚愧。

老師做皂的過程中，一定不是一帆風順，她也有過許多做得不完美的皂，她會選擇留下來自己使用，或乾脆毫不留情地刨掉，當作下一次皂的材料。

怪不得，收到老師的手工皂的朋友，
沒有一個不高興的！

好東西才能分享給別人，
這是我跟老師學到的第三件事。

#第四件事：做皂沒有快功夫

我總是沉不住氣，例如倒珍珠奶茶的中間層的時候，倒得太快，切皂的時候看到花紋不細膩，才懊悔不已。

還有一次，老師拿出印章讓我給自己的皂打印章，需要用小錘子將印章力度均衡地慢慢敲入皂中。

可是我一心求快，敲得邦邦響，老師敏感地從這急促而不規則的聲音中聽出我此刻心亂如麻，便溫柔地提醒我：「不能急，慢慢來。」

一塊皂要設計造型、構想功能、計算油料比例、搭配色彩、一層一層地舖陳，要想、做、切割、晾曬、打磨、製作包裝、清洗滿是油污和顏料的工具⋯

圖案皂需要提前做準備，如聖誕皂，前一天就把老公公的眼睛和鼻子做起來。從用料理紙製作模型到最後封箱保溫，光是四顆眼睛、兩隻嘴巴，老師就用了五六道工序才完成。

如果有熱油，一定要先加熱，溫度降至40度後才能和其他冷油拌在一起。氫氧化鈉作用時會急劇升溫，老師想到何不直接加入冰塊中，這樣最安全，所以做皂的液體（水、牛奶等）要提前做成固態冰狀。

一開始我不明白，明明有電動攪拌器，為什麼老師還要讓我們用打蛋器打，手痠死了！

後來才知道，使用機器的話，皂液一下就皂化了，但這時的氫氧化鈉和油料，或許根本還未完全融合。

顏料也一定要攪拌均勻，在混合的過程中，還要記得同時刮量杯的邊邊，把蕩上去的油料也刮下來一起拌，否則不勻的話，老公公的臉上可能會出現一條線。

称各种油的重量时，如若分心，油很容易一下倒太多造成超脂，老师现在的功夫几乎能做到一克不多一克不少。

裝油料的鍋子，老師一定會用刮子刮好幾次，动作慢慢的、细细的，惜福，在耐心做皂的過程中就得以成全。

精油的搭配也有讲究，苦橙、苦橙叶、雪松、甜橙、柠檬香草...不同的比例会出现不同层次的香气，每一种香都有独特的功能，如薰衣草可以舒缓压力、安眠，玫瑰天竺葵可以振奋精神，协调荷尔蒙系统。

脫模切割後，還要放在晾架上置於通風處氧化處理，帶皂化到一定程度，要修邊、蓋印章、保鮮膜包裝、貼上含量標籤、裝盒等。

如上所述，一塊皂的出爐，至少要等待一個月的時間，最好是晾四十五天以上，根本急不來。

老師說自己曾經也是一個很著急的人，但是做皂讓她不得不學會放慢腳步、撫平自己內心的每一道褶皺，感受每一個步驟背後的靜思和沈澱。

调配颜料的深浅难有定数，皂化过程也有太多不确定因素，精油添加的种类和比例不同，出来的效果也不同，所以几乎每一次做皂，都会带来惊喜。

咖啡、牛奶、母乳、左手香、蘆薈，一切我們能想到的，老師都拿來做手工皂實驗。

為了呈现每块皂最好的效果，老師一次又一次地調試配方，她曾一天洗三次澡，手都快搓疼了，就是要切身感受每一塊皂的細微差異。

原來啊，不只是盤起腿來在禪堂打坐，三百六十行、柴米油鹽醋，無處不是修心養性的過程。這是我學手工皂過程中，體悟到的第四件事。

#第五件事：失敗則反思，成功則謹慎

做第一塊皂之前，老師就告訴我們，不要怕失敗，即使失敗，把那一塊刨掉就好了，刨下來的碎屑，又可以入下一次的純色皂，變成色彩斑斕的花紋皂！

懊惱沒有用，反思和總結才是有意義的。老師的筆記本裡詳細書寫每一次做皂的過程和心得，其中一頁「卡布災難」，記錄老師做卡布奇諾皂時出現的危機和轉機。

老師鼓勵我們大膽嘗試，靈活運用，每一次失敗，都是為自己積累寶貴的經驗，都能讓自己有所成長。

這個觀念，除了做皂，平日做飯下廚，我也常常如此提醒自己：哪怕鹹了、淡了、焦黑了，也不怕啊！

下一次再調整不就好了，
人生又不是只吃一頓飯，

我也不會只做一條皂啊！

豁達地面對失敗，謹慎地對待成功，
是我跟老師學皂過程中，明白的第五件事。

#分享手工皂的幸福：感恩的心意

在做皂的幾個小時裡，雖然我們的手、眼、腦都在高速公路上，但我們的心情總是非常舒適而喜悅，我時不時問老師一些最近生活和學業上遇到的問題，老師也與我分享最近的心情和境遇...

老師會點上一座手作香薰燭臺，放點SPA音樂，我們在電子秤上稱量各式各樣的油，為調出的莫蘭迪色系而歡喜雀躍，懷著感恩和期待的心情酿造每一块皂。

手工皂是最好的伴手禮，因為每個人都用得上，用完就完全不見，和其他禮物不一樣，不需擔心變成對方的累贅。

我的小本本裡記著每一次做皂的日期和數量，例如這一次收成的皂要寄給老爸老媽、爺爺奶奶、這位老師、那位老師、哥哥姐姐、弟弟妹妹，下一次要給這位叔叔、那位阿姨，這個朋友、那個同學、這一位幫助過我的人、那一個教會我某件事的人⋯

正如我所說的，我不會只做一條皂，因為我想要分享幸福給對方的人，會越來越多。

關於皂的故事啊，
我一定會繼續分享下去的！

2020.12.01
手工皂收成日

Wow! 滿滿滿的會考數學重點吔😍

來來來，紙筆趕快準備好！
數學科會考精華重點，
帶你一手掌握致勝關鍵！

數學科會考30天衝刺重點

考前最後30天，
建議同學，調整好生理時鐘，
讓自己的大腦習慣
在10:30到11:50這段時間算數學。
切記每次考試前都花10分鐘的時間快速總複習，
把公式、重要性質、常忘常錯的地方，
用這個關鍵10分鐘掃過一遍。
考前最後30天以算新題
培養對沒看過的題目的臨場反應為主，
有錯的題目訂正完，
把關鍵寫在考前10分鐘的快速總複習筆記上，
下次考前再複習一次！

以下是會考精華重點，
這些重點不只會在選擇出現，
還可能出現在非選！
好好把握下列重點，
拿到數學滿分的成績單時別太意外！😂

1.正負數與數線：
「絕對值」代表「到原點的距離」、
「相減取絕對值」代表「兩點距離」
這種代數轉幾何的考法總是考不膩；
科學記號的應用問題通常都會搭配四則運算；
新舊數線轉換切記「差成比例」！

2.因倍數與公因倍數：
質數的判定、互質的判定還有短除法請熟練；
難題用標準分解式處理！

3.分數：
四則運算切記「先乘除，後加減，但次方優先！」，
還有括號的處理務必「由小到大」且小心變號！

4.一元一次方程式：
一元一次式的「化簡」切記「只能通分，不能同乘」；
應用題考列式也很常見。

5.二元一次方程式：
基本的分式解聯立請小心隱形的括號；
近年來也常考三格漫畫的應用問題，命中不用太訝異！

6.坐標平面：
基本的象限考正負；點的移動x右加左減，y上加下減；
「點到x軸的距離」=「y坐標取絕對值」，
「點到y軸的距離」=「x坐標取絕對值」；
水平線y相同，鉛直線x相同；
還有最常考的二元一次直線方程式畫圖！

7.比與比例：
雙比例問題考到爛，務必調整到符合題意。

8.函數：
線型函數應用問題可以利用「差成比例」處理！

9.一元一次不等式：
有基本的一元一次不等式求x範圍；
進階有天平問題和水量的應用問題。

10.乘法公式與多項式：
利用乘法公式求值請用力觀察數字之間的關聯性；
多項式長除法也很愛考；因式倍式關係要會看。

11.二次方根與勾股定理：
基本的化成最簡根式、有理化、四則運算要熟；
進階的根號估計也是大熱門；
勾股定理近年來都搭配後面幾何一起考。

12.因式分解：
通常喜歡考提公因式因式分解，再搭配次方的運算請小心。

13.一元二次方程式：
基本的十字交乘、配方法解x；
給兩根求方程式用倒帶；
觀念題小心消去未知數可能會減根。

14.等差數列：
基本的循環用除法看餘數、
等差數列換首項公差處理、
等差數列求和都是基本款；
近幾年等差數列喜歡搭配不等式請小心！

15.平面幾何：
對稱圖形不難；
外角定理在角度的計算超常用；
中垂線性質到兩端點等距、
角平分線性質到兩夾邊等距考到爛！
30度 - 60度 - 90度 邊長比「1：根號3：2」必考！
多邊形內角和、正多邊形內角和外角
要算到不小心背起來；
正六邊形、正八邊形、正12邊形
都是近年來考試重點。

16.三角形：
三角形兩邊之和大於第三邊、
大角對大邊小角對小邊偶爾會出；
三角形的全等證明要有考非選的心理準備。

17.平行與四邊形：
遇平行線延長會比較容易看；
平行時，同位角、內錯角相等，
同側內角互補超常用；
遇梯形常做的幾種輔助線要複習。

18.相似形：
常見的相似三角形組合要複習；
解題利用相似形的
「對應角相等」、「對應長成比例」、
「面積比等於對應長度平方比」這些性質；
要宣告三角形相似用相似性質，
要宣告非三角形的多邊形相似
則要一一檢查每一個對應角都相等，
每一個對應邊都成比例！

19.圓形：
考扇形、弧長、弓形算是基本款；
考相切要想到(1)垂直(2)切線段等長；
圓周角、圓內角、圓外角、弦切角也都很常考；
兩圓相切要連接兩圓圓心和切點；難題想到對稱性！

20.三角形的三心：
(1)外心：
到三頂點等距；
直角三角形外心在斜邊中點；
等腰三角形的R要會求；
角度可以利用圓周角和圓心角關係，
或是等腰三角形處理。
(2)內心：
到三邊等距；
r 的兩種求法請複習；
長度還可考求切線段長；
角度可利用角平分令x、x、y、y；
面積的兩種考法請複習。
(3)重心：
長度想到2比1，
面積想到六塊小三角形面積相等

21.二次函數拋物線：
開口的方向和大小要會看；
配方法求頂點求最大最小值必考！
考平移要想到
(1)看頂點的移動(2)開口不變a不變；
難題想到對稱性！

22.立體圖形：
近年來喜歡考空間觀念中的展開圖；
考角柱算是中規中矩；
靈活考題可能會搭配水量甚至考不等式！

23.統計：
給原始資料、給表、給直方圖、給圓餅圖，
中位數都要會求！
盒狀圖和圓餅圖也很常考，
特別是盒狀圖常會問四分位距的相關問題！
進階喜歡考圖形的轉換；
還有對稱圖形的平均數和中位數會相等！

24.機率：
列表討論、畫表格、畫樹狀圖必可解！

円周角の定理（中学３年生）のポイントは！
✅１つの弧に対する円周角はどれも等しくなる
✅１つの弧に対する円周角は、中心角の半分になる
この２つを円周角の定理という
✅直径を 1 辺とする円に内接する三角形は直角三角形になる
✅ある２点から同じ側に伸びた2 つの角の大きさが等しいとき、出発点と頂点の４点を通る円が描ける。これを円周角の定理の逆という
✅弧の長さと円周角の大きさは比例する

✨円周角の定理の証明✨
▶https://youtu.be/wVLcOBGu13U

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▶https://bit.ly/3zB7oah

🎥前の動画🎥
✅中点連結定理
▶https://youtu.be/6DULuZAGBk8

🎥次の動画🎥
✅円の接線の性質
▶https://youtu.be/D_ZPev12Q8Q

⏱タイムコード⏱
00:00　円周角の定理❶
00:18　円周角の定理❷
00:31　円周角の定理❷の応用（円と直角三角形）
01:05　円周角の定理の逆
01:37　円の性質（弧の長さと円周角の大きさの関係）
01:51　円周角の定理の応用問題❶
02:19　円周角の定理の応用問題❷
02:39　円周角の定理の応用問題❸
03:26　円１周分の円周角＝180°
03:42　円周角の定理まとめ
04:23　ご視聴ありがとうございます

🎁高評価は最高のギフト🎁
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三角形の相似条件のポイントは！
✅相似とは大きさは違うけど形が同じ図形であること
✅回転したり、裏返したりしても、形が同じなら相似になる
✅三角形の相似条件は３つ
❶三組の辺の比がすべて等しい
❷ 2 組の辺の比と、その間の角がそれぞれ等しい
❸ 2 組の角がそれぞれ等しい
※三角形の合同条件と比較して似ているところや違うところを見つけてみよう！
✅「 2 組の角がそれぞれ等しい」という相似条件から頻出の相似な三角形
❶平行線と絡んだ「砂時計型」や「ピラミッド型」
❷円周角の定理と絡んだ「蝶々型」
❸直角三角形の直角から垂線を下して出来る「直角三角形３兄弟」
✅比が等しいことを表した式を比例式という
✅比例式の「内側を掛けたもの」と「外側をかけたもの」は同じになる

🎥関連動画🎥
✅三角形の合同条件
▶https://youtu.be/m3Ey16Kod0c

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🎥前の動画🎥
✅等積変形（平行線と面積）
▶https://youtu.be/k8vqfhqidBY

🎥次の動画🎥
✅平行線と線分の比
▶https://youtu.be/mqbZUpvGGYo

⏱タイムコード⏱
00:00　相似とは？
00:15　三角形の相似条件
00:43　超重要な相似な三角形４選（砂時計型・ピラミッド型・蝶々型・直角三角形型）
01:04　三角形の相似の応用問題❶（街灯と影の長さ・高さ）比例式
02:34　三角形の相似の応用問題❷（街灯と影の長さ・高さ）
03:53　三角形の相似条件まとめ
05:09　比例式の証明

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高中數學重要觀念解析：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGkzAh5k3h-CI0-clwS7xsWm

數學思考題型：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmx__4F2KucNWpEvr1rawkw

關於數學的兩三事：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlD5ABfGtLkOhNIRfWxIRc5

真的祥知道：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGmQC77bAQPdl_Bw5VK8KQc-

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指考數甲數乙總複習https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlrdoVFRflK46Cm25CGvLBr

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國中會考總複習：https://www.youtube.com/playlist?list=PLOAKxvSm6LGlbMqjF4W6ElHM_lrFZijkg