為什麼這篇zero padding意思鄉民發文收入到精華區：因為在zero padding意思這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者alan23273850 ()看板MATLAB標題[問題] DFT 的適用時機 (DSP問題)時...
各位版上的先進大家好，小弟剛大學畢業，趁研究所開學前的空閒正在複習訊號處理(DSP)
( 先說我研究所的領域是 CS 的，跟這個八竿子打不著 XD )
有個問題困擾了我許久，只可惜在學校的時候沒學好，現在找不到老師問，
想說 matlab 版的大家應該有比較多訊號處理的經驗，所以 PO 上來尋求協助，
我只覺得訊號處理這種科目沒有人帶真的很難學到精隨，是很吃經驗的科目呢。
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問題是這樣的：什麼時候該用 DFT，什麼時候該用 DTFT？
我們都知道在離散時間裡面處理訊號的方式有兩種，DTFS (俗稱DFT) 跟 DTFT，
前者適用於週期性訊號，會使頻譜離散化，而後者適用於非週期性訊號，頻譜連續，
不過我實在想不到該用 DFT 而不用 DTFT 的理由。
如果單純只是對時域的訊號做處理，那我大可以在時域設計出一個 FIR，
然後兩個一起做 convolution，答案就出來了，也就是說頻譜的「連續性」只是一個現象，
不一定要讓頻譜離散化才能用 matlab 運算吧。
再考慮 IIR (無限延伸的 filter) 的情況，如果這個 filter 剛好在 n 很大的時候值會
趨近於零，
我們應該也可以直接忽略它，化簡成一個 FIR (有限長度)，直接跟訊號 convolution，
就跟上面提到的一樣。
所以說目前我只想到該用 DFT 而不用 DTFT 的原因只有兩個：
(1) IIR 在任意時刻都有不可忽略的值，不容易直接乘，只好取一部份並利用 DFT 自動
隱含週期性的特性運算
(2) DFT 有 FFT 快速實作法，在計算頻譜會快很多
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以上大概就是主要問題，想不太到在實際訊號處理的案例中 DFT 相對於 DTFT 的優點，
請問版上各位先進上面的論述是否正確？又 DFT 的主要應用為何？先謝謝版上大大！
因為這個問題困擾我許久，視情況我可能會發送稅前 30P - 50P 給有說服到我的最佳解
答作為回報
( 意即，只能有一位最佳解，因為我很窮 QQ )
當然，如果其他解答也很好的話我視財力也會發送一些 (10P) 作為謝禮！
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.168.86.10
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※ 編輯: alan23273850 (1.168.86.10), 06/29/2017 03:40:06
※ 編輯: alan23273850 (1.168.86.10), 06/29/2017 03:40:41
推 profyang: DTFT頻譜是連續的 但是你實際上在處理的資料都碼是離散 06/29 05:08
→ profyang: 也許有的頻譜有理論公式 但沒有理論公式的呢?還不是要做 06/29 05:09
→ profyang: 數值積分算出頻譜 這個數值積出來的頻譜其實還是離散的 06/29 05:10
→ profyang: 既然實際處理上很逃避離散 那就阿莎力一點用DFT 時間頻 06/29 05:10
→ profyang: 譜都離散的 反正一樣要做數值積分嘛 06/29 05:11
→ profyang: 至於DTFT的用處太久以前讀了我不是很熟 印象中主要是來 06/29 05:12
→ profyang: 做一些理論的探討?什麼causality啥鬼的 06/29 05:12
先感謝 p 大的回應，我懂您的意思，不過坦白說我的看法跟您的有點不太一樣，
同時也是問題點所在，我現在只覺得大家會喜歡用 DFT
只是因為 matlab 有 fft 這個快速函式可用而已。
假設現在有一個有限長度的訊號 x[n]，我們要對他做 moving average filter
也就是 h[n] = 0.33delta[n] + 0.33delta[n-1] + 0.33delta[n-2]
這裡的 delta 是脈衝函數，那如果直接算 x[n] CONV. h[n]，
這邊就完全不會出現 DFT 的運算。
如果是要先觀察 x[n] 有哪些頻率成分，再決定 filter 的話，
我們依然可以套原本的公式算出精準的頻譜，sigma(n=-INF~INF) x[n]*exp(-jwn)
只是說我們如果要「觀察」這個頻譜的話一定只能挑有限個點觀察，
這邊跟 DFT 裡面本來就是離散的頻譜概念還是不太一樣，
一個是我們只能挑有限個點去觀察連續的頻譜，
一個是基於假設訊號的週期性得到離散的頻譜。
這樣的話感覺還是不用 DFT 耶？
目前我有點逃避 DFT 是因為不太理解 DFT 自動把訊號週期化的概念，
好像頻譜還會失真，覺得這是不必要的。
→ YoursEver: wiki: 傅立葉變換家族中的關係 06/29 10:45
→ YoursEver: FS, DFT: 對周期信號, 這個狀況下只要"有限個"富立業 06/29 10:48
→ YoursEver: 基底,就可以去span整個信號. 06/29 10:48
→ YoursEver: CFT, DTFT: 針對非週期信號(假設周期無窮大). 06/29 10:52
→ YoursEver: 但不論何時何地,請掌握DSP教科書第二章的那句重點, 06/29 10:52
→ YoursEver: Fourier轉換相當於是把信號作eigen-decomposition. 06/29 10:53
→ YoursEver: 另外,真實狀況不可能存在IIR,因為IIR違反causality. 06/29 10:56
→ YoursEver: sinc在 n很大的位置也趨近於0,你能把sinc的尾巴砍掉來 06/29 10:58
→ YoursEver: 作為近似嗎? 或許你該從一般電機系大三念的信號與系統 06/29 10:59
→ YoursEver: 開始念,念完之後,再去看DSP. 06/29 10:59
→ YoursEver: basis的選擇牽涉到能不能該transform domain能否完整的 06/29 11:01
→ YoursEver: 詮釋某個信號,也跟能不能便於從另一個角度來看這個信號 06/29 11:02
→ YoursEver: (ex: redundant bases, sparse representation) 06/29 11:03
→ YoursEver: 以你的狀況,先不要想太多,大多數的離散信號都是非週期 06/29 11:04
→ YoursEver: 信號,拿discrete-time fourier transform處理就好. 06/29 11:05
謝謝 Y 大的解答！其實我大學就是電機系的 XD 只是因為對 CS 有興趣所以轉組其實傅立葉變換家族那邊我看很多遍了，基本上還算熟，只是不知道 DFT 存在的價值
不過您的解說裡面有個地方我真的有想過，如果是想過濾低頻的話，
它在頻域是個方波，那轉回時域就一定會出現 sinc，我還真的想把它的尾巴砍掉，
近似成 FIR，我一直以為可以，因為感覺只是微小誤差，這邊想再問更詳細一些＞＜
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還有按照您的說法感覺 DTFT 就很夠了，真的跟我原本想的一樣 DFT 沒啥價值
我比較想知道有什麼時候是「必須」使用 DFT 而不能使用 DTFT 的情況，
因為感覺 DSP 課本是很強調 DFT 而不可忽視的，但我從課本中只知道
(1) 頻譜離散化、(2) 有 fft 快速實作法，這兩大優勢而已
上面我有提過頻譜不需要離散化的理由，再加上不考慮效率問題的話，
其實 DTFT 就已經在離散時域中提供足夠的理論了，不需要 DFT 再參一腳。
拜託了！
※ 編輯: alan23273850 (1.168.84.224), 06/29/2017 12:03:47
※ 編輯: alan23273850 (1.168.84.224), 06/29/2017 12:20:43
→ YoursEver: 你先複習一下Gibbs phenomenon.再考慮砍不砍的近似問題 06/29 13:49
→ YoursEver: 如果真的能這麼完美,那short-term Fourier早就有機會 06/29 13:50
→ YoursEver: 天下無敵,輪不到Gabor和wavelet family的出場了. :p 06/29 13:50
推 profyang: 說真的 通訊用的例子我不太熟 我直接舉我熟悉的電波領域 06/29 20:47
→ profyang: 的例子好了 通訊用的比較多是想從時域求頻譜 但我們電波 06/29 20:47
→ profyang: 領域常常是反過來 我今天量到一個電路的頻譜了 我想要求 06/29 20:48
→ profyang: 他的時域響應 可想而知 所謂的"量到"的頻譜必然是離散的 06/29 20:48
→ profyang: 此時要由這離散的頻譜求得他時域的響應就要做數值傅立葉 06/29 20:49
→ profyang: 這時當然沒有必要去用反過來的DTFT 畢竟再怎麼樣也許你 06/29 20:50
→ profyang: 反過來的DTFT算出來是連續的時域響應 但我們在看Data還 06/29 20:51
→ profyang: 是會看離散的就好了 連續的資料你要畫出來給人看一樣要 06/29 20:51
→ profyang: 取點變成離散的 06/29 20:52
→ profyang: 再來既然看不看連續最後都要用離散的去觀察時域響應 那 06/29 20:53
→ profyang: 為啥不用有加速方法FFT的DFT呢? 06/29 20:53
→ profyang: 事實上 可以說單單有FFT這個加速方法就夠讓人想用DFT了 06/29 20:54
→ profyang: 再舉一個例子 就是你上面說的convolution 兩個離散的時 06/29 20:55
→ profyang: 域訊號要conv的話 如果用直接定義慢慢加複雜度是N^2 但 06/29 20:56
→ profyang: 用FFT就可以加快到N*logN 基於速度上的選擇當然會用FFT 06/29 20:56
→ profyang: 簡單結論一下:DTFT是在理論上探討用的 但是實際上在處理 06/29 20:58
→ profyang: 資料 因為FFT快 所以往往用DFT 一個是理論一個是實際 06/29 20:58
其實我剛剛在看完兩位大大回覆後又上網爬了許多各家投影片，
現在概念有比較清楚些，且讓我慢慢把目前的理解貼在這裡給各位檢驗。
(1) 先說說我現在比較接受 DFT 的主要原因：其實如果想要降低 DFT
自動隱含週期性這個特性的話，可以做 zero padding，padding 的愈多
則週期性愈低，這個 DSP 課本上面有寫。再者其實自動隱含週期性也不是
什麼壞事，反而原本沒有隱含週期性的 DTFT 作法才會讓某些成分變形，
也就是說忠實的反映原先 time-limited signal 的頻譜未必較好。
之前我怕取的點數所造成的隱含週期會跟原本的訊號週期不吻合，不過
這個好像也只要讓點數多一些讓頻譜密集就可以舒緩了，所以也還不算什麼大問題。
(2) 其實要計算整段訊號 x[n] 的總頻譜，仍然只有一個方法，就是把
「整段訊號」套進 DTFT 或 DFT 公式，而 DFT 好像會快一些。
(只是會隱含週期性，不然就做 zero-padding，不過會讓點數更多就是)
不過在實務應用上有些訊號像一首歌 4 分多鐘，取樣點數早就超過記憶體容量，
這種情況我想也只能取一部分作轉換，這樣其實或許也觀察得到男女聲頻率，
或許並不是每個時候都要計算「整段」訊號才能分析。
(3) 要計算跟 h[n] 的 convolution 的話，有兩個方法，一個是老實的
通通把 h[n] 給滑起來，另外一個是利用 DFT 作 overlap-add 或 overlap-save，
另外搭配 zero-padding，這兩個效率好像也是跟 h[n] 的長度有關，各有適用時機。
所以總結來說，大家喜歡 DFT 似乎還是跟效率有關，感謝 p 大的再次強調！
(4) 最後那個 sinc 函數 truncate 的部分，那些 Gabor 和 wavelet transform 對我
來說還太高深，目前不打算學。如果是我來近似 ideal LPF，應該會使用
windowing 的技巧把兩邊河蟹掉，其實還是跟 truncate 有 87% 像，只是說
windowing 會確保它的連續性。不過這邊還是感謝 Y 大的補充，只能說人外有人
天外有天，大神無所不在！
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上面就是我這篇的結論了，感謝 p 大和 Y 大的耐心回答，為此我打算贈與兩位各
稅前 45 P 作為謝禮，請別嫌小弟寒酸，這加起來已經超過我半數的積蓄了 XD
如果結論還是有小錯的話歡迎再來推文修正！
※ 編輯: alan23273850 (1.168.84.224), 06/30/2017 01:52:02