※ 引述《beckda (五十倍一百倍我都)》之銘言：
: 關於y對x的迴歸直線
: 必過點(Ux,Uy)
: 若假設迴歸直線為y=2x+4
: 那請問下列幾個疑問
: (1)x對y的迴歸直線為何不可以改為x=(y-4)/2
: 雖然我知道要另外算新的斜率但不知道要如何解釋

y=2x+4 斜率2 (x-y系統)，x=(y-4)/2 斜率1/2 (y-x系統)

假如兩迴歸直線可以直接像上述這樣表示

代表斜率要互為倒數，畫在x-y坐標平面上是同一條直線，真的是如此嗎？

資料(X1,Y1), (X2,Y2),..., (Xn,Yn)

y對x的迴歸直線y=ax+b

當中的a,b是使得 Σ[Yi-(aXi+b)]^2 達到最小的a,b ---(*)

結果推得斜率a=Sxy/Sxx (Sxy=Σ(Xi-Ux)(Yi-Uy), Sxx=Σ(Xi-Ux)^2)


x對y的迴歸直線x=cy+d

當中的c,d是使得 Σ[Xi-(cYi+d)]^2 達到最小的c,d ---(#)

結果推得斜率c=Sxy/Syy (Syy=Σ(Yi-Uy)^2)

從結論公式來看

a,c若要互為倒數(ac=1)，那只有一種情形: 相關係數平方SxySxy/(SxxSyy)=1

所以只要不是完全相關，兩條迴歸直線的斜率就不會剛好是倒數了


或者你可以從散佈圖上說明一下 (*)以及(#)的意義

先在坐標平面上(橫x,直y)畫幾個資料點，畫一條感覺上的適合直線L

(*)的準則是將每個資料點(Xi,Yi)作鉛直線到直線L的長度，平方總和要最小

(#)的準則是將每個資料點(Xi,Yi)作水平線到直線L的長度，平方總和要最小

原始問題就變成了x-y平面上同一條直線L，同時能夠滿足(*)以及(#)準則

但真的會如此嗎？ 從前面推得的斜率a,c結論已說明，除非是完全相關

否則斜率不會互為倒數，也就是這兩條迴歸直線畫在x-y平面上不會是同一條！


有點冷冰冰地直接從最小平方法的準則以及公式去解釋...

不知道有沒有更人性更生活化一點的方式說明...

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