各位晚安
今天來跟大家分享一個微積分求極限常見的題型
　
多項式分式求極限，特別當 x→∞ 時
可以使用張旭微積分極限篇主題九的方式來分析
但計算上還要化回主題九提到的那些型式
導致在計算上可能比較繁複
所以主題十介紹了一個好用的方式：老大比較法
只要比較分子和分母的多項式的領導項
就能快速算出極限值
　
由於這樣的題型非常常見
建議熟練這個技巧
考試碰到的時候務必要取得分數！
　
老大比較法在張旭微積分中總共分成三個部分
下一次我會分享指數分式型的老大比較法
再下次我會分享更特別的老大比較法
這三個主題都值得一看
　
如果覺得我的教學影片不錯的
請幫我按個讚或訂閱起來
如果對我的教學影片有任何想法
也請在影片的下方留言跟我說
最近開始有同學會陸陸續續留言了
有空的時候我都會逐一回覆
如果真的喜歡我的影片的話
可以的話請幫我分享給更多正在學習微積分的同學們
謝謝

📜 [專欄新文章] Boomerang: 在支付通道網路中利用冗餘改進Latency以及Throughput
✍️ Brian Po-han Chen
📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium

上個月去參加Stanford Blockchain Conference 2020，聽到了許多我覺得很有趣的新題目，有時間再一一分享

我一直對區塊鏈的Scalability很有興趣，如果你不是非常熟悉閃電網路，我建議可以看一下陳品在Coscup19的演講．

前幾年許多人在討論Atomic Multi-Path Payments (AMP)，原因是當支付通道的金額越高，Client需要在通道中存越高的金額，並且整個網路越難找到適合的支付路徑，Liquidity也會降低．所以Idea就是把大筆的金額分成多個小筆的金額透過不同的路徑付給收取人，但是問題是在網路中這筆應付款項可能會部分成功、部分失敗；所以同時讓所有的微支付交易可以做到Atomic就是這一個題目的挑戰．

AMP 也很常因為部分路徑上的交易延遲或者失敗，而使得完成交易的時間變得很長(long time-to-completion)、減緩已成功的微支付交易的Liquidity、最後使得整個網路的Throughput變差．

舉例：Alice 要轉帳給Bob 4塊錢，透過4個不同的路徑各自轉1塊錢

在上述例子中，AMP整體消耗的Liquidity是$4 * 4 = $16 sec

假設一下如果Alice可以分成8個路徑(增加額外4個冗餘路徑)各自付1塊錢，使得只要其中的4個路徑完成並且Bob不會偷額外的金額，AMP就算完成

在上述例子中，AMP整體消耗變成$1*6 + $2*4 = $14 sec

上面兩個例子都還是假設每個路徑會成功的情況，若是有中間節點crash或者是delay超久，冗餘路徑可以大幅的改進這筆交易的Latency以及整個網路的Throughput跟Liquidity

不過要怎麼保證Bob不會拿額外冗餘路徑上的錢呢？

先講一個這篇文章使用到的重要密碼學工具，利用區塊鏈橢圓曲線上的循環群特性可得到以下的同態特性

Boomerang利用同態特性以及Publicly Verifiable Secret Sharing (有關secret sharing可以參考Kimi的文章)所構成的preimages 和 preimages challenges使得當Bob overdraws款項時，Alice會得到Bob設定的秘密 alpha_0，而Boomerang contract做了一個HTLC-type的限制，當Alice得到alpha_0，則Alice可以revert這筆微支付．

首先，Alice跟Bob同意了將一筆價值v的交易切成v個1塊錢的微支付交易，另外利用額外的u個冗餘路徑來增加效率(BTW 可以不止u個，理論上無限個也可以)，所以全部的路徑為v+u

Bob設定一個degree為v的多項式P(x)，係數為alpha_0, alpha_1,…,alpha_v

接著Bob 將H(alpha_0), H(alpha_1),…,H(alpha_v)交給Alice來commit 這組P(x)，因此Alice可以算出

對於第i-th路徑的微支付交易(HTLC-type)來說，Bob只要揭露preimage P(i)便可以redeem這筆微交易，Bob只要揭露在v個路徑上對應的每一個P(i)就可以得到總額v的交易．而當Bob揭露了v+1個P(i)時，Alice就可以利用插值法將係數算出來取得alpha_0並且revert全部的微交易．

大致上的架構是這樣，有一些實作的細節像是微交易的手續費、設定的延遲時間、合約的script可以去參考paper或者跟我討論，感謝

Reference:

Boomerang: Redundancy Improves Latency and Throughput in Payment-Channel Network

Boomerang: 在支付通道網路中利用冗餘改進Latency以及Throughput was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

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📜 [專欄新文章] 瞭解神秘的 ZK-STARKs
✍️ Kimi Wu
📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium

上一篇關於 zkSNARK扯到太多數學式，導致很難入手，這次介紹 STARK 會盡量減少數學式，以原理的方式跟大家介紹。

STARK 被視為新一代的 SNARK，除了速度較快之外，最重要的是有以下好處1. 不需要可信任的設置（trusted setup），以及
2. 抗量子攻擊

但 STARK 也沒這麼完美，STARK 的證明量(proof size)約 40–50KB，太佔空間，相較於 SNARK 只有288 bytes，明顯大上幾個級距。此外，這篇論文發佈約兩年的時間，就密碼學的領域來說，還需要時間的驗證。

STARK 的 S 除了簡潔（Succinct）也代表了擴展性（Scalable），而T代表了透明性（Transparency），擴展性很好理解，透明性指的是利用了公開透明的算法，可以不需要有可信任的設置來存放秘密參數。
SNARK 跟 STARK 都是基於多項式驗證的零知識技術。差別在於，如何隱藏資訊、如何簡潔地驗證跟如何達到非互動性。

快轉一下 SNARK 是如何運作的。
Alice 有多項式 P(x)、Bob有秘密 s，Alice 不知道 s、Bob 不知道 P(x)的狀況下，Bob 可以驗證P(s)。藉由同態隱藏（Homomorphic Hindings）隱藏Bob的 s → H(s)，藉由 QAP/Pinocchio 達到了簡潔地驗證，然後把 H(s) 放到CRS（Common Reference String），解決了非互動性。細節可以參考之前的文章 。

問題轉換

零知識的第一步，需要先把「問題」轉成可以運算的多項式去做運算。這一小節，只會說明怎麼把問題轉成多項式，至於如何轉換的細節，不會多琢磨。

問題 → 限制條件 → 多項式

在 SNRAK 跟 STARK 都是藉由高維度的多項式來作驗證。也就是若多項式為： x³ + 3x² + 3 = 0，多項式解容易被破解猜出，若多項式為 x^2000000 + x^1999999 + … 則難度會高非常多。

第一步，先把想驗證的問題，轉換成多項式。
這邊以Collatz Conjecture為例子，什麼是Collatz Conjecture呢？（每次都用Fibonacci做為例子有點無聊 XD）
1. 若數字為偶數，則除以2
2. 若數字為奇數，則乘以3再加1 (3n+1)

任何正整數，經由上述兩個規則，最終結果會為 1 。（目前尚未被證明這個猜想一定成立，但也還未找出不成立的數字）

52 -> 26 -> 13 -> 40 -> 20 -> 10 -> 5 -> 16 -> 8 -> 4 -> 2 -> 1.

把每個運算過程的結果紀錄起來，這個叫做執行軌跡（Execution Trace），如上述52 -> 26 -> … -> 1。接著我們把執行軌跡轉換成多項式（由執行軌跡轉成多項式不是這裡的重點，這裡不會贅述，細節可以參考 StarkWare的文章 ）如下

https://medium.com/starkware/arithmetization-i-15c046390862

合成多項式

接著就把這四個限制條件的多項式合成為一個，這個最終的多項式就叫做合成多項式（composition polynomial），而這個合成多項式就是後面要拿來驗證的多項式。

就像一開始提的，SNARK跟STARK都是使用高維度多項式，接著，來介紹STARK是藉由哪些方式，達到零知識的交換、透明性(Transparency)跟可擴展性(Scalability)。

修改多項式維度

這一步是為了後面驗證做準備的。在驗證過程使用了一個技巧，將多項式以2的次方一直遞減為常數項（D, D/2, D/4 … 1），大幅減低了驗證的複雜度。因此，需要先將多項式修改為2^n維度

假設上述的每個限制多項式（不是合成多項式喔）為Cj(x)，維度為 Dj，D >= Dj 且 D 等於2^n，為了達到 D 維度，乘上一個維度（D -Dj）的多項式，

所以最終的合成多項式，如下

其中的αj、βj是由驗證者(verifier)所提供，所以最終的多項式是由證明方(prover)跟驗證方所共同組成。

*這小節的重點是將多項式修改成D維度，覺得多項式太煩可忽略

FRI

FRI 的全名是”Fast RS IOPP”（RS = “Reed-Solomon”, IOPP = “Interactive Oracle Proofs of Proximity”）。藉由FRI可以達到簡潔地驗證多項式。在介紹FRI 之前，先來討論要怎麼證明你知道多項式 f(x) 為何？

RS 糾刪碼：

糾刪碼的概念是把原本的資料作延伸，使得部分資料即可以做驗證與可容錯。其方式是將資料組成多項式，藉由驗證多項式來驗證資料是否正確。舉例來說，有d個點可以組成 d-1 維的多項式 y = f(x)，藉由驗證 f(z1) ?= y，來確定 z1是否是正確資料。

回到上面的問題，怎麼證明知道多項式？最直接的方式就是直接帶入點求解。藉由糾刪碼的方式，假設有d+1個點，根據Lagrange插值法，可以得到一個 d 維的多項式 h(x)，如果如果兩個多項式在（某個範圍內）任意 d 點上都相同（ f(z) = h(z), z = z1, z2…zd），即可證明我知道 f(x)。但是我們面對的是高維度的多項式，d 是1、2百萬，這樣的測試太沒效率，且不可行。FRI 解決了這個問題，驗證次數由百萬次變成數十次。

降低複雜度

假設最終的合成多項式為 f(x)，藉由將原本的1元多項式改成2元多項式，以減少多項式的維度。假設 f(x) = 1744 * x^{185423}，加入第二變數 y，使 y = x^{1000}，所以多項式可改寫為 g(x, y) = 1744*x^{423}*y^{185}。藉由這樣的方式，從本來10萬的維度變成1千，藉由這種技巧大幅降低多項式的維度。在 FRI 目前的實做，是將維度對半降低 y = x²（f(x) = g(x, x²)）。

此外，還有另一個技巧，將一個多項式拆成兩個較小的多項式，把偶數次方跟奇數次方拆開，如下：

f(x)= g(x²) + xh(x²)

假如：

f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + a4x⁴ + a5x⁵
g(x²) = a0 + a2x² + a4x⁴, （g(x) = a0 + a2x + a4x²）
h(x²) = a1x + a3x² + a5x⁴, （h(x) = a1 + a3x + a5x² ）

藉由這兩個方法，可以將高維度的多項式拆解，重複地將維度對半再對半，以此類推到常數項。而 FRI 協議在流程上包含兩階段 — 「提交」跟「查詢」。

提交階段：提交階段就如同上述過程，將多項式拆解後，由驗證者提供一亂數，組成新的多項式，再繼續對多項式拆解，一直重複。

f(x) = f0(x) = g0(x²) + x*h0(x²)
==> f1(x) = g0(x) + α0*h0(x), ← α0（驗證者提供）
==> f2(x) = g1(x) + α1*h1(x), ← α1（驗證者提供）
==> . . .

查詢階段：這個階段要驗證證明者所提交的多項式 f0(x), f1(x), f2(x), … 是否正確，這邊運用一個技巧，帶入任意數 z 及 -z（這代表在選域的時候，需滿足 L²= {x²：x ∊ L}，這邊不多提）。所以可以得

f0(z) = g0(z²) + z*h0(z²)
f0(-z) = g0(z²) -z*h0(z²)

藉由兩者相加、相減，及可得g0(z²)、h0(z²)，則可以計算出f1(z²)，再推導出f1(x)，以此類推驗證證明者傳來的多項式。

Interactive Oracle Proofs (IOPs)

藉由FRI（RS糾刪碼、IOPs），將驗證次數由數百萬降至20–30次（log2(d)），達到了簡潔地驗證。不過，我們解決了複雜度，但還有互動性！

* 與SNARK比較 ：SNARK在驗證方面利用了QAP跟Pinocchio協定。

非互動性

藉由 Micali 建構（Micali construction）這個概念來解釋如何達到非互動的驗證。Micali 建構包括兩部分，PCPs（Probabilistically checkable proof）跟雜湊函數。PCPs 這是一個隨機抽樣檢查的證明系統。簡單來說，證明者產出一個大資料量的證明（long proof），經由隨機抽樣來驗證這個大資料量的證明。過程大約是這樣，證明者產出證明𝚿，而驗證者隨機確認 n 個點是否正確。

在STARK，我們希望達到：1.小的證明量，2.非互動。隨機抽樣可以讓達到小的證明量，那互動性呢? 想法很簡單，就是預先抽樣，把原本 PCPs 要做的事先做完，然後產出只有原本證明 𝚿 抽樣出的幾個區塊當作證明。但想也知道，一定不會是由證明者抽樣，因為這樣就可以作假。這裡是使用 Fiat-Shamir Heuristic 來作預先取樣。

首先，先把證明 𝚿組成 merkle tree，接著把 merkle root 做雜湊可得到一亂數 𝛒，而 𝛒 就是取樣的索引值。將利用𝛒取出來的區塊證明、區塊證明的 merkle tree 路徑跟 merkle root, 組一起，即為STARK 證明 𝛑。

到目前，只使用雜湊函數這個密碼學的輕量演算法。而雜湊函數的選擇是這個證明系統唯一的全域參數（大家都需要知道的），不像是 SNARK 有 KCA 使用的(α, β, 𝛾)等全域的秘密參數，再藉由 HH（同態隱藏）隱藏這些資訊來產生 CRS。因為證明的驗證是靠公開的雜湊函數，並不需要預先產生的秘密，因此 STARK 可以達到透明性，也不用可信任的設置。

接著，將FRI中需要互動的部分（驗證者提供 α 變數），使用上述的 PCP + Fiat-Shamir Heuristic， 即可達到非互動性。

* 與SNARK比較： SANRK 的非互動性是將所需的全域參數放到CRS中，因為全域參數是公開的，所以CRS裡的值使用了 HH 做隱藏。

MIMC

大部分證明系統，會使用算數電路來實作，此時，電路的複雜程度就關係到證明產生的速度。 STARK 的雜湊函數選用了電路複雜度較簡單的 MIMC，計算過程如下：

https://vitalik.ca/general/2018/07/21/starks_part_3.html

這樣的計算有另一個特性，就是無法平行運算，但卻又很好驗證，因此也很適合 VDF 的運算。Vitalik有一個使用 MIMIC 作為 VDF 的提案。

ps. 反向運算比正向慢百倍，所以會是反向計算，正向驗證

從上面的解釋，可以理解為什麼 STARK 不需要可信任設置，至於為什麼能抗量子？因為 SNARK 中使用了 HH 來隱藏秘密，而 HH 是依靠橢圓曲線的特性，但橢圓曲線沒有抗量子的特性（也就是可以從公鑰回推私鑰）。而STARK在整個過程中只使用了雜湊函數，而目前還沒有有效的演算法能破解雜湊函數，因此可以抵抗抗量子攻擊。

有錯誤或是不同看法，歡迎指教

參考：
StarkDEX Deep Dive: the STARK Core Engine
STARK 系列文：
STARK Math: The Journey Begins
Arithmetization I
Arithmetization II
Low Degree Testing
A Framework for Efficient STARKs
Vitalik 系列文：
STARKs, Part I: Proofs with Polynomials
STARKs, Part II: Thank Goodness It’s FRI-day
STARKs, Part 3: Into the Weeds
ZK-STARKs — Create Verifiable Trust, even against Quantum Computers
https://ethereum.stackexchange.com/questions/59145/zk-snarks-vs-zk-starks-vs-bulletproofs-updated

Originally published at http://kimiwublog.blogspot.com on November 12, 2019.

瞭解神秘的 ZK-STARKs was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

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我是JC老師
電腦相關課程授課超過6000小時的一位AutoCAD課程講師
由於實在太多同學向JC老師反映，希望可以有線上課程學習，所以就決定錄製一系列的AutoCAD線上影片教學
而且不加密、不設限、不販售，就是純分享，希望可以幫助到有需要的朋友們
如果這部AutoCAD教學影片對你有幫助的話，請幫我按個讚，給我點鼓勵，也多分享給需要的朋友們喔~

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編輯雲形線 SPLINEDIT
● 修改雲形線的參數，或將雲形線擬合聚合線轉換成雲形線。
● 封閉(C)：封閉雲形線
● 開放(O)：開啟封閉的雲形線
● 接合(J)：使選取的雲形線於重合端點和其他雲形線、線、聚合線及弧線結合，以形成較大的雲形線。
● 轉換為聚合線(P)：將雲形線轉換為聚合線。精確度值可決定產生之聚合線和雲形線相符的程度。有效值是任意介於 0 到 99 之間的整數。
● 反轉(R)：反轉雲形線的方向。
● 退回(U)：取消最後一個動作。
● 結束(X)：結束指令。
● 擬合資料(F)：
　◆ 加入(A)：將擬合點加入雲形線。
　◆ 封閉/開放
　◆ 封閉(C)：封閉雲形線
　◆ 開放(O)：開啟封閉的雲形線
　◆ 刪除(D)：移除雲形線上選取的擬合點。
　◆ 移動(M)：將擬合點移動到新的位置。
　◆ 清除(P)：將雲形線上的擬合資料取代為控制頂點。
　◆ 相切(T)：變更雲形線的起始切向或結束切向。請指定一個點以建立切線方向。
　◆ 公差(L)：使用新的公差值將雲形線重新擬合至既有的擬合點。
　◆ 結束(X)：返回先前的提示。
● 編輯頂點(E)：
　◆ 加入(A)：將新的控制頂點加入兩既有控制頂點間某個位置的指定點。
　◆ 刪除(D)：移除選取的控制頂點。
　◆ 提升階數(E)：增加雲形線的多項式順序 (次數加一)。如此可增加整條雲形線的控制頂點數量。最大值為 26。
　◆ 移動(M)：重新定位選取的控制頂點。
　◆ 權值(W)：變更指定控制頂點的權值。
　◆ 結束(X)：返回先前的提示。
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