【極限的嚴格定義？大一新生的大難關】【修正筆誤重發】 ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, s.t., ∀ 0 < | x - a | < δ, | f(x) - L | < ε 這一大串看似咒語的數學敘述 是很多大一新生初學大學微積分的難關 而那一大串咒語所代表的意思 就是當 x 趨近 a 時，f(x) 會趨近 L 剛高中畢業的同學或許會覺得奇怪 函數的極限，不是看左右極限就好了？ 其實不然，像下面這個例子： lim_{x→0} sin(x) / x 其函數圖形不好畫 所以不容易直接從圖形看出左右極限 因此數學家才需要發展極限的嚴格定義 就是最前面看到的那串咒語 從該定義出發 先解決基本函數的極限 然後證明函數的極限公式 再搭配一些計算技巧和定理 最終就能靠計算得到大部分函數的極限 像剛剛提到的那個例子也行 知道那個例子的答案是多少嗎？ 知道的同學下面刷一排答案唄～ #數學老師張旭 #張旭微積分 #微積分 #數學 #數學補習 #讀書

【如何背數學公式】 許多同學在遇到數學公式的時候 除了會思考要不要背的問題 還有不知道應該怎麼背 老師這邊提供幾種背數學公式的方法 提供大家做參考 一、諧音法 三角函數有一個很有名的三倍角公式記法 它的記法如下： cos三倍角：四塊三減三塊等於塊三 sin三倍角：三上富士山 二、圖像記憶法 這個方法是利用單位圓 可以一次把所有的廣義角特別角、象限角 以及函數隨角度遞增或遞減 與函數在各象限的正負值一次記起來的方法 有老師考點筆記的同學可以參考詳細敘述 手寫筆記也有把完整的圖畫給大家 用單位圓可以圖像式一次解決很多記憶的問題 三、數字規律法 在背三角函數特別角時 一定要記的角度是30.45.60度 但如果把0.30.45.60.90度的sin值一起記 會發現它們分別會是2分之根號0.1.2.3.4 數學有時候就是這麼奇妙😍 如果臨時忘記就可以用規律推一下～ 四、咒語法 在國中學到一元二次方程式的解 大部分的同學都能記住一段咒語 「2a分之負b加減根號b平方減4ac」 有些公式念很多遍可能就記起來了 例如三角函數的和角公式 sin的和角sin co 加co sin cos的和角 co co 減 sin sin 雖然沒有什麼邏輯 但念順了、就記起來了 五、聯想法 迴歸直線斜率的公式和直線斜率做比較後 可以發現都有x分之y（一個sigma、一個delta） 只是迴歸直線斜率要多乘一個相關係數r 而再觀察迴歸直線的方程式 也可以發現和點斜式結構相同 而點是x.y的平均、斜率則如上所述 六、對照法 等差數列跟等比數列 第n項：aₙ=a₁+(n-1)d 、 aₙ=a₁x r ⁿ⁻¹ 三項成等差、等比的假設 a-d, a ,a+d 、 a/r , a , ar 可以發現 在等差數列的+到等比會變x 在等差數列的 - 到等比會變÷ 而等差數列的x到等比會變次方 如果有發現以上規律 在記公式的時候如果剛好忘記其中一個 就可以用另外一個回推對照 七、類推法 在一元二次、三次方程式的根與係數中 一根的和皆為-b/a 二根相乘的和皆為 c/a 三根相乘的和皆為 -d/a 而分母都是a、分子則是照順序b.c.d 正負號則是負正負.. 這樣同學也可推到四次、五次的根與係數了 （雖然通常只考二次😅） 八、易混比較法 在老師的考點筆記中也有幫大家整理 斜率、根與係數、對稱軸、對稱中心的公式 以前有一位同學問老師 「數學公式那麼多b/a、a/b到底要怎麼分？」 於是老師就整理給他看 把易混淆的觀念放在一起學 對於記憶也會有幫助喔！ 由於版面限制 剩下的方法可以參考老師的筆記 例如要怎麼用推導的方式 從和差角推導到二倍角、半角 或是三角形面積公式 如何用聯想的方式記住全部8個公式 但是還是如前面#公式要背嗎 的文章 建議大家學習時要把公式定理先釐清 再用比較好記的方法記下來 才是「真知」也 #高均數學 #111學測 #112學測 #110指考 #8個背數學公式的方法 #背數學公式的方法 #背公式 #公式要背嗎 #學習方法

換角公式. . 口訣：「換不換？正或負？」 . . 換角公式SOP：. . Step1：變更形式 將角度換成 sin(n x 90°+θ)或cos(n x 90°+θ)形式 例如： sin315°=sin(3x90°+45°) cos135°=cos(2x90°-45°) . . Step2：函數換or不換 若n為奇數則正餘互換； 若n為偶數則原函數不變 例如： sin315°=sin(3x90°+45°) =cos45°(3是奇數，換！正負尚未判斷） cos135°=cos(2x90°-45°) =cos45°(2是偶數，不換！正負尚未判斷） Step3：角度正或負 正負用象限判斷 sinθ在一、二象限為正 cosθ在一、四象限為正 tanθ在一、三象限為正 例如： sin315°=sin(3x90°+45°) =-cos45°(第四象限sinθ為負） cos135°=cos(2x90°-45°) =-cos45°(第二象限cosθ為負） 注意二點： 1. 無論sin(n x 90°+θ)中的θ為何都要視為銳角 例如： sin(90°+110°)=+cos110° 注意是正！ 要用第「二」象限判斷 而不是以200°第三象限判斷 同學可以觀察等式左右應該都是「正」自明其理 2. 須以「原函數」判斷 例如： sin(90°+30°)=+cos30° 注意是正！ 用原函數sin判斷第二象限是正的 不可以用換後的cos判斷 結論： 要做換角公式就問自己兩個問題： 「換不換？正或負？」 . . 1. 90°的奇數倍數要換、偶數則不換 2. 正負則以原函數加減θ後，所在象限之判斷正負 有些老師也會這樣教： 「奇變偶不變、正負看象限」 也提供各位同學參考🙂 #105年第2題 大家可以用上述方法 試一試下面的例子 千萬不要把全部背起來😱 sin(n*360°+θ) = sinθ . cos(n*360°+θ) = cosθ . tan(n*360°+θ) = tanθ . sin(180°+θ) = -sinθ . sin(180°-θ) = sinθ . cos(180°+θ) = -cosθ . cos(180°-θ) = -cosθ . tan(180°+θ) = tanθ . tan(180°-θ) = -tanθ . sin(90°+θ) = cosθ . cos(90°+θ) = -sinθ . tan(90°+θ) = -cotθ . sin(270°-θ) = -cosθ . cos(270°-θ) = -sinθ . tan(270°-θ) = cotθ . sin(-θ) = -sinθ . cos(-θ) = cosθ . tan(-θ) = -tanθ. . #三角函數 #換角公式 #記憶法 #考點筆記 #考點47#105年第2題