รู้จักกับ Logarithm กับโรค COVID-19

ช่วงที่โรค COVID-19 ระบาดนี้ เชื่อว่าหลายๆ คนอาจจะได้เคยเห็นกราฟนี้ผ่านตากันบ้าง เป็นกราฟที่แสดงจำนวนผู้ติดเชื้อที่ได้รับการยืนยันของแต่ละประเทศทั่วโลก เมื่อเทียบกับจำนวนวันนับจากวันที่พบผู้ป่วยสะสมเกิน 100 ราย[1]

แต่หากเราสังเกตดีๆ เราจะพบว่าสเกลของแกนตั้งที่ใช้นั้น ไม่ใช่สเกลปรกติ เพราะตัวเลขกระโดดจาก 100 ไป 1,000 ไป 10,000 ไป 100,000 เลย แม้ว่าระยะห่างจะเท่ากัน

สเกลของกราฟนี้ในทางวิทยาศาสตร์เรียกว่า "Logarithmic scale" ซึ่งหากนำมาพลอตกับอีกแกนที่เป็นสเกลปรกติ เราจะเรียกว่ากราฟนี้ว่าเป็นกราฟ "semilog"

เพราะเหตุใดเราจึงพล๊อตกราฟในลักษณะแปลกๆ นี้? ปรากฏว่าจำนวนหลายๆ ชนิดในธรรมชาตินั้น มีการเติบโตแบบ exponential ซึ่งเนื่องจาก logarithm นั้นเป็นฟังก์ชั่นผกผันกับ exponential ข้อมูลที่มีการกระจายตัวแบบ exponential นั้นจะกลายมาเป็นเส้นตรงที่สวยงามพอดีในสเกลของ log

หากเราพิจารณาดูระยะห่างในสเกลของแกนตั้งดีๆ เราอาจจะรู้สึกว่ามันคุ้นหูคุ้นตาสักเล็กน้อย นั่นก็เพราะว่าเราสามารถพบมันได้ทั่วไป แม้กระทั่งบนเฟรตกีต้าร์นั่นเอง

ที่เป็นเช่นนี้นั้น ก็เพราะว่าจากฟิสิกส์การสั่นของสายกีต้าร์ เมื่อเราลดระยะของสายกีต้าร์ลง 1 ใน 12 เราจะได้ความถี่ของเสียงที่สูงขึ้น half tone พอดี แต่หากเราต้องการจะเพิ่มอีก half tone เราจะต้องทำให้ระยะห่างสั้นลงอีก 1 ใน 12 ของที่เหลือ ซ้ำไปเรื่อยๆ เนื่องจากระยะทางของสายที่เหลือนั้นสั้นลงเรื่อยๆ ระยะห่างระหว่างเฟรตกีต้าร์จึงสั้นลงเรื่อยๆ เมื่อเราเขยิบห่างออกมาจากตรงปลาย

ซึ่งทั้งหมดนี้ เป็นลักษณะเดียวกันกับสเกล logarithm พอดี เป็นเหตุผลว่าทำไมสเกลของกราฟนี้จึงมีลักษณะคลับคล้ายคลับคลากับเฟรตของกีต้าร์ ซึ่งทั้งหมดนี้ เกิดขึ้นมาจากว่าหูและสมองของมนุษย์นั้นไม่ได้ตีความความถี่อย่างสม่ำเสมอกัน แต่เรามีการรับฟังความถี่ของเสียงในลักษณะที่ใกล้เคียงกันกับสเกลของ logarithm อยู่แล้ว เพราะหูของเราไวต่ออัตราการส่วนของความถี่เสียงที่เปลี่ยนแปลงไป มากกว่าตัวเลขความถี่นั่นเอง

นอกไปจากเสียงแล้ว เรายังพบว่าประสาทสัมผัสของมนุษย์อีกหลายอย่าง ก็มีการตอบสนองในลักษณะของฟังก์ชั่น logarithm เช่นเดียวกัน เช่น ความสว่างของแสง ความเข้มข้นของสารละลาย ฯลฯ เป็นต้นเหตุว่าทำไมเราจึงนิยามลำดับความสว่างของดาวฤกษ์เป็น logarithm ของจำนวนอนุภาคแสงที่ตกลงบนนัยน์ตาของเรา และทำไมเราจึงนิยามค่าความเป็นกรดเบสเป็น pH ที่ได้มาจากฟังก์ชั่น logarithm ของปริมาณความเข้มข้นของไอออน H+ ในสารละลาย

นอกไปจากนี้ สมองของเรายังมีการประมาณการตัวเลขในลักษณะ logarithm อีกด้วย เช่น เราจะตื่นเต้นมากกับจำนวนผู้ป่วยที่เพิ่มขึ้น 30 รายในวันเดียว เมื่อมีจำนวนผู้ป่วยทั้งหมดเพียงไม่ถึง 100 แต่เมื่อจำนวนผู้ป่วยเพิ่มขึ้นมาเป็นหลักหมื่น เรากลับได้ความรู้สึกตัวเลข 30 นั้นกลับกลายเป็นตัวเลขที่น้อยนิดเดียว

อีกตัวอย่างที่เราอาจจะคุ้นเคยกันดี ก็คือ หากเราจะถามใครสักคนว่าเงินสิบบาทมีค่าแค่ไหน? เราจะพบว่าคุณค่าของมันนั้นขึ้นอยู่กับจำนวนเงินในกระเป๋า เช่น สำหรับมนุษย์เงินเดือนที่เงินเดือนเพิ่งเข้ามันอาจจะไม่มีค่าเท่าไหร่ แต่เมื่อไหร่ก็ตามที่เข้าสู่ช่วงปลายเดือนและเริ่มขัดสน บางทีสิบบาทอาจจะสามารถแลกมาม่าได้หลายซอง พูดให้ง่ายๆ ก็คือ เราให้ความสำคัญกับตัวเลขหลักหน้าๆ ว่าเป็นกี่หมื่นกี่แสน มากไปกว่าเศษที่ตามมาด้านหลัง ยิ่งตัวเลขเพิ่มขึ้นมากเท่าไหร่ ความสำคัญของตัวเลขหยิบย่อยในหลักหน่วยนั้นก็ลดน้อยลง ซึ่งเป็นสาเหตุว่าทำไมในสเกล logarithm นั้นตัวเลขหลักน้อยๆ นั้นจะถูกแทนด้วยระยะทางที่สั้นลงยิ่งอยู่สูงขึ้นไปในกราฟ และทำไมเราจึงเลือกที่จะแสดงผู้ติดเชื้อในสเกลของ logarithm

ซึ่งในกรณีของโรคติดต่อนั้น เรายังพบว่ากลไกการระบาดของเชื้อในธรรมชาติ ก็ยังมีลักษณะเป็นฟังก์ชั่น exponential อยู่แล้วอีกด้วย

สมมติว่าผู้ป่วยโรคโควิด-19 หนึ่งคนสามารถแพร่เชื่อให้คนอีกสองคน (งานวิจัยปัจจุบันเราพบว่าตัวเลขนี้น่าจะอยู่ที่ประมาณ R0 = 2-2.5) นั่นหมายความว่าจาก 1 คน สามารถไปติดให้อีก 2 คน แต่ละคนจาก 2 คนเอาไปติดได้อีกคนละ 2 กลายเป็น 4 จาก 4 เป็น 8 กลายเป็น 16, 32, 64, 128, ฯลฯ นั่นหมายความว่าการแพร่กระจายของโรคระบาดนั้นมีการแพร่กระจายที่มากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อมีจำนวนที่เยอะขึ้น ซึ่งก็คือฟังก์ชั่น exponential นั่นเอง

จากกราฟ เราจะพบว่าหากเราสมมติให้โรคสามารถเพิ่มจำนวนได้สองเท่า ในเวลาทุกๆ 2, 3, 5 และ 10 วัน การเติบโตเหล่านี้นั้นจะมีลักษณะเป็นเส้นตรงในสเกลของกราฟนี้ การนำข้อมูลผู้ติดต่อมาพล๊อตในกราฟ semilog เช่นนี้จึงมีประโยชน์ตรงที่เราสามารถนำความชันของกราฟมาเทียบได้เลย ว่าแต่ละประเทศกำลังประสบกับสถานการณ์ที่ผู้ติดเชื้อกำลังเพิ่มในอัตราที่จะเพิ่มเป็นสองเท่าภายในระยะเวลาเท่าใด

เราจะพบว่าประเทศทางฝั่งยุโรป เช่น อิตาลี อังกฤษ เยอรมันนี และประเทศสหรัฐอเมริกานั้นกำลังแพร่กระจายอย่างรวดเร็ว และเพิ่มจำนวนสองเท่าในอัตราทุกๆ 2 ถึง 3 วัน ในขณะที่ประเทศจีน เกาหลีใต้ ญี่ปุ่น และสิงคโปร์ เริ่มมีอัตราการเพิ่มที่ลดลงจนต่ำกว่าอัตราการเพิ่มสองเท่าทุกๆ 10 วันแล้ว และการติดเชื้อกำลังอยู่ในขาลงที่เชื้อกำลังจะถูกกำจัดไปในไม่ช้า

สำหรับประเทศไทยนั้น แม้ว่าเราจะประคับประคองกันมาได้ดีตลอดแม้ว่าเราจะเป็นจุดหมายปลายทางหลักของนักท่องเที่ยวชาวจีน แต่ในช่วงที่ผ่านมาไม่กี่วันนั้นได้มีการแพร่กระจายของไวรัสอย่างรวดเร็ว และหากเราเทียบกับอัตราความชันของกราฟล่าสุด เราจะพบว่าเรากำลังอยู่ในอัตราที่มีจำนวนผู้ติดเชื้อเพิ่มขึ้น 2 เท่าทุกๆ 2 วัน นั่นหมายความจากตัวเลขปัจจุบันจำนวนผู้ติดเชื้อ 599 ราย (วันอาทิตย์ที่ 22 มีนาคม 2563) เราจะมีจำนวนผู้ติดเชื้อเกิน 1 พันคนภายในเวลาอีก 2 วัน และอีก 2 วันต่อมาจะกลายเป็น 2 พัน และ 4 พันภายในหนึ่งอาทิตย์ หากอัตรายังคงเดิมต่อไป

เราไม่สามารถเปลี่ยนแปลงการแพร่ระบาดแบบ exponential ของไวรัสได้ แต่เราสามารถชะลออัตราการเติบโต และลดอัตราที่มันจะเติบโตได้ เช่นเดียวกับที่ประเทศจีน ญี่ปุ่น เกาหลีใต้ และสิงคโปร์ได้พิสูจน์ให้เห็นมาแล้ว นโยบาย social distancing การหลีกเลี่ยงไปในที่สาธารณะ และการรักษาสุขอนามัย เป็นวิธีหนึ่งที่ทำให้เราสามารถชะลอการระบาดของโรคติดต่อได้

อ้างอิง:
[1] ourworldindata.org/grapher/covid-confirmed-cases-since-100th-case