【 奇幻遠距蒙特梭利（四）：手動建構數學概念 】

蒙特梭利的數學教育真的是相當的驚人，幾乎在每個微環節都跟我們家長們血淚經歷的傳統數學教育完全相反，也因此為娘的只能不停地撿下巴。

從九個月大就是蒙特梭利北鼻的小札克，今年夏天就要轉九歲了。一方面因為知道蒙特梭利教育是幾十年在實驗室中觀察培養出來的最符合人性的科學教育法，我因此充滿信心，加上學校老師幾次提醒家長千萬不要在家裡教捷徑，導致不想秧苗助長的媽媽拿令箭樂得在家翹腳省事。小札克一路八年蒙特梭利上來，在防疫居家遠距教學之前，我們在家還真的從沒管過他數學的事。小札克從來沒在家裡寫過任何練習題，我從來沒陪他練背過乘法表，學校也從來不給回家作業。

這次難得的遠距教學，終於讓我見識到多年來蒙特梭利教育一點一滴培育出的小札克的數學腦有多奇妙！

幾個蒙特梭利教育的大特色，像使用身體的運作與活動去強化學習、使用教具讓抽象概念具體化、每個小概念都要知其所以然才會前進到下一步等等，在數學教育上仍然是面面俱到。

在最初級的數學概念建構上，串珠教具展現出『1』是一粒珠子，『10』是十粒珠子的一條串珠、『100』是十排十粒串珠的正方型板子、『1000』是十塊100正方型板子合出來的正方體。正方形的板子隱藏了ten squared（十平方）的概念，果真是個square。每一邊長都是十粒珠的正方體也隱藏了ten cubed（十立方）的概念，果真又是個cube。

然後藉著個位數蒐集到十顆就要去換一條十粒的金色串珠，金色串珠蒐集到十排就又要起身去換一塊百粒珠的板子，板子蒐集到十片就要再跑去換一個千粒珠的正方體，孩子們開始建立出進位的概念。

孩子們使用了觸感、視覺、身體的運作等多重感官去細細感受這些抽象的數學概念，有了圖像記憶與肌肉記憶，一千與一的幾何數量差別變成理所當然的事。

等這些『個十百千萬』的基礎數量與加法進位的概念建立好後，又有同樣數字同樣顏色的串珠串在一起的超級長鍊教具。孩子們把長鍊擺出來，一顆顆地去數，再去標註倍數的地方。

舉例來說，如果是「eight chain」（八鍊）的話，孩子們從第一顆珠開始數到8就放上8的標籤，並且記錄8x1=8，數到16顆就放上16的標籤並且記錄8x2=16，就這樣慢慢地一直數一直標到好幾百顆去。乘法的抽象概念與數量感藉此完全具體化。

孩子們專注地數珠子，慢慢地完成一個個的標記，並且用筆記錄下來，常常要花個幾天才會完成這麼大的任務。這工程充滿挑戰性與滿足感，每次兩少爺完工後總是相當興奮驕傲地向我們報告。

把數量感建立好之後，進階一點的數學教具開始用不同顏色去代表不同位數。寫著「1」的個位數小牌子是綠色的，「10」的十位數牌子是藍色的，「100」的百位數是紅色的。「1000」的千位數又回到綠色，然後不同位數就這樣綠藍紅綠藍紅地循環下去。這三個顏色代表的不同位數會一直沿用到之後小學六年更進階的許多數學概念上。

使用這樣的教具，加上「交換」進位的概念（十個『1』的綠牌可以換一個『10』的藍牌，以此類推），從這邊開始孩子已經可以做到千位數的加減乘除。兩少爺五六歲時就已經很熟悉這些技巧了。我之後會放上兩少爺用自己在家製作的同樣『郵票遊戲』（stamp game）教具拍攝的教學影片，敬請期待！

同一時間，老師也介紹了不同顏色代表一到九這些個位數字的串珠。像紅色一顆珠的「1」串珠、綠色兩顆珠的「2」串珠、粉紅色三顆珠的「3」串珠等等。這些代表不同數字的串珠顏色，也會從幼兒班三年開始一直沿用到整個小學六年。

北鼻麥在幼兒班開始用彩色串珠練習加法與乘法。兩條咖啡色的「8」串珠，等於一條金色的「10」與一條紫色的「6」串珠。孩子一顆一顆地數，再去交換進位。這個我稍後也會放上北鼻麥示範教學。😆

在這個階段介紹的種種數學概念，都彷彿是在介紹簡單基本的事物道理般。像加法就是把珠子或牌子放在一起，遇到十個就交換成一個『10』串珠或『10』牌子去進位。減法就是把它「拿走」、乘法就是「同樣數字重複加很多次」、除法就是把手上的珠子牌子「分一分」這樣。

在概念建構的很穩固之前，老師並不會把這些任務打上「加減乘除」的標籤。北鼻麥的四位數減法做了這麼久，到這次遠距教學才發現原來那個就是所謂的『subtraction』（減法）。孩子們練習教具的時候，也都有著慢慢處理手上操作的工作、努力完成挑戰的態度，從沒寫過練習題或練習卷。

其實這中間還有好幾個我只聞其名不知其詳的數學教具，都是朝著建立超穩固的基礎數學概念的方向走。因為不知道很多其他教具的仔細用法，所以兩少爺腦中到底裝了什麼高深莫測的東西，我真的都不太清楚。

又因為他們完全不背乘法表也不太熟『加減乘除』的標籤，所以偶遇無聊親友故意來個『考考你』時，他們大部份時候都答不上來，總是會尷尬一番。

一直到這次陪讀小札克近三個月，才發現到他的蒙特梭利數學腦真的好厲害喔！

小札克對乘法挑戰熱愛得很。之前提過在剛開始委靡不振的遠距自學時期，我為了激勵他而在家自製了蒙特梭利小學教具的乘法板與彩色串珠。這個暗藏幾何概念的乘法板上，不同的位數就是從小就很熟的同樣的綠藍紅綠藍紅顏色在循環著。小札克在我們乘法板完工後的第一件事，就是給自己出了個大挑戰25,637,842,349 X 987,654。

雖然小札克從沒背過乘法表，在學校常常做乘法圖型（pattern）的塗畫遊戲，又從小一直數珠子不知道數了幾千串。像在這個十一位數乘六位數的乘法板挑戰上，小札克就必須分別做六十六次個位數的數珠子乘法與進位的練習。

我在一旁沈默觀察著，發現他大概有三四成的乘法表已經因為熟能生巧而能直接記住答案了。其他還沒記住的，有時候他會喊著『I know the pattern！』努力冥想幾秒就想出來了。就算要數珠子，他也很少需要去一顆顆慢慢數，通常會靈活地把手上串珠交換成其他數字以便進位來快速數出答案。

舉例來說若是遇到6x4+9的話，乘法板格子上放著四條紫色的『6』串珠與一條深藍色的『9』串珠。若是北鼻麥應該仍然會一顆顆去數，小札克卻已經會很快地把深藍色的『9』串珠交換成兩條黃色的『4』串珠跟一顆紅色的『1』串珠，再把那兩條黃色『4』與兩條紫色『6』串珠合併成20。又再把一條紫色『6』串珠交換成兩條粉紅色的『3』串珠，然後把一條『3』串珠、一個『1』串珠跟最後一條『6』串珠合併成另一個10，這樣可以很快地看出答案是三個10加一串『3』。

在這樣一個大挑戰上要細細做的練習功夫還真是多到讓人咋舌！不過也因此讓我見識到蒙特梭利數學建構出的靈活性與概念流動性，處處充滿驚喜。

老師得知小札克在家興奮做乘法板大工程，也打蛇隨棍上地馬上跟他來個一對一的Zoom lesson傳授新工夫，教他乘法板用法上更進階的『紀錄部分成果』（record partial products）。

小札克得到新工夫，馬上又來給自己另一個大挑戰785,629,649Ｘ358,754，邊做邊使用直式乘法去紀錄部分成果。

其實在他們學校，正常人使用乘法板頂多都在練習三四位數乘兩三位數吧。等到很熟悉乘法板的基礎運作法之後，老師會介紹另一個進階的幾何乘法教具pegboard（釘板）。這個幾何乘法教具同樣使用綠藍紅三色去代表不同的位數，不過這次是讓孩子拿綠藍紅的珠子放到釘板上，拼出一個像乘法板的格式。

我在遠距教學之前完全沒見過這個功力高深的釘板教具，因此首次陪小札克看老師的教學錄影時，我大呼驚奇不停跟著做筆記，小札克在旁淡定說他早就知道了。所以底下照片裡會有媽媽書僮的筆記。🤣

我們在家直接拿之前用來做彩色串珠的Perler beads的釘板與珠子來做釘板教具的替身。這個Perler beads也未免太好用了吧！之後我們又一起看了老師使用同樣的釘板教具去解平方根的教學影片，使用同樣的綠藍紅珠子搭回一個正方形去找平方根，實在是太奇妙好玩了！！

熟悉這個用手操作的釘板教具與綠藍紅珠子之後，老師又再傳授，原來在紙上也可以做同樣的幾何乘法。

這個綠藍紅的幾何乘法教具，其實暗藏了（a＋b）x（x＋y）＝ax＋ay＋bx＋by的概念。老師從來不明說，對孩子而言這又只不過是個理所當然的概念，數字本來就有著這樣的運作道理。

有一次我們在做英公尺寸兌換的活動，遇到一個三位數要乘以12以轉換成英吋的練習問題，小札克馬上跑去把乘法板跟串珠拿過來在地上擺出陣仗。可是連一條串珠都還沒開始放上乘法板，他眼睛仔細盯著乘法板幾秒，竟然就突然喊出了答案。他說因為他光看著板子就已經知道每個幾何區塊的部分答案，在心中加一加就算出來了。

同樣一個練習活動裡，有另一個換算題目要做144Ｘ3。小札克很快地在紙上寫了300、88、120、12，然後當下我真的都還來不及反應，他就肯定地喊說答案是432。我請他仔細分格敘述他腦中的運算步驟給我聽，他才解釋說他先解決了100乘3的簡單部分，然後雖然他不知道44x3，可是他知道44x2是88，所以他只需要算88+44，他再把80拿去加40得到120，再把8加4得到12，所以他知道答案是300＋120＋12＝432。

所以基本上他腦中竟然在幾秒內就很自動靈活地走過了144 x 3＝（100＋44）x 3＝100 x 3＋44 x 3＝100 x 3＋44 x（2＋1）＝300＋88＋44＝300＋80＋40＋8＋4＝300＋120＋12＝432 這樣的步驟耶！

我小時候跟大部分的人一樣，是先很制式地去死背乘法表再學習直式乘除法運算法這樣長大的。這種數字充滿流動性的靈活直覺感，我記得可能是我練到國二國三甚至高中才逐漸開始掌握的事，對二年級的小札克來說卻是這麼的理所當然。

在蒙特梭利教室裡，沒有什麼需要死記的東西。就是像這樣在混齡班的三年內藉著許多不同的時機、使用不同的教具，傳達著類似的訊息，慢慢地一點一滴地建構出很穩固的數學概念，孩子們逐漸能夠牢牢掌握每個數串代表的幾何圖形與延伸意義。

蒙特梭利的數學也從來不是紙上的事，而是相當生活化、相當好玩的充滿樂趣的世界。

像遠距教學活動中學到分析圖的數學課程，小札克依指示到家前門步道上用粉筆畫了一個市調問題『如果你能有一種超能力的話，你會選什麼』。當週內散步路過的鄰居路人紛紛用石頭作答，週五我們搜集答案數據，然後依老師的教學影片畫出長條圖、餅狀圖等等分析圖，超有趣的。

學到圓周與直徑是pi (π) 的關係時，小札克依照老師指示在家裡翻出幾個圓形的東西，用毛線圍著圓周再展開以量出圓周長，然後再在這條毛線上描圓形。

小札克一個個地去畫，果然不管是什麼大小圓形的東西，都可以在展開的圓周上描出三個圓形，然後還都會剩一點點。他就這樣自己得到了圓周是直徑的『三倍加一點點』的結論，也就是π＝3.14的雛形。學校教室裡的正式的π的教具，也不過就是好幾個大小不同的圓板，讓好奇的孩子們去畫去描去自己體驗。

學校裡的分數教具則是同樣大小的好幾個圓板切割成不同的份數，依此可以很清楚地看見不同的分數與 1 的關係，以及分數與分數之間的關係。

我們在家也依照指示剪出了居家分數教具，小札克在幾個小團體的Zoom lesson裡分別上了分數的加法減法還有等值分數的算法。就連這些教學也是孩子們一邊手中做著勞作似的活動一邊學，像指示大家製作『分數的書』、用樂高磚塊去體驗分數等等。

在只有四個學生的小團體Zoom lesson裡，老師也要大家拿出剪好的居家分數教具去親身體驗到同樣大小的1/2與2/4與3/6等是真的『等值』，然後帶著大家畫出天馬行空龐大等值分數的大彩虹。

因為蒙特梭利教學裡沒有什麼「反正這樣去做就對了、記起來就好啦」的事，就連遇到十要進位這種感覺理所當然的事，老師也會特別解說歷史上使用其他進位系統的例子，而最後人類選擇了10去進位，應該是因為我們有十根手指頭腳指頭以方便計算。然後竟然還有讓孩子們練習去算不同進位系統的算數法的教學影片。

聊公英尺寸換算時，也詳細地講述了兩種尺寸來源的有趣歷史故事。因為英尺（foot）其實最早就是國王的一隻腳長，英吋（inch）是成年男人的大拇指寬，我跟小札克跑去量保羅的腳，果然是將近一英尺，他大拇指還剛剛好是一英吋的精準，真是笑死我們了。

奇幻遠距教學裡，還有很多其他的有趣數學教學是沒來得及提到的。小札克在幫我拍教學影片時，也不時提醒我其實他教室裡還有很多其他的教具可以去做同樣的問題求出同樣的答案，只是媽媽知識有限而已。畢竟我只是以一個書僮媽媽的角度去分享觀察，我知道我們讀者裡臥虎藏龍了一些專業蒙特梭利人士，若是有誤也請大家多多指教。

因為蒙特梭利教學從來沒有回家作業，也沒有什麼練習卷之類的會帶回家的『成果』，幾次座談會裡老師們總是再三聲明，很可能在家長眼中看起來孩子們就是整天在玩、感覺都沒學到什麼，不過他們真的都有在很深刻地學習著。

這長達三個月笑淚交織的防疫遠距教學在下週終於要進入尾聲，真是讓我跟保羅大鬆一口氣。肩膀上的壓力感覺減輕許多的同時，我卻也抱著極感恩的心情。要不是因為這一生難得莫名其妙的居家防疫遠距共學，我大概到兩少爺小學畢業都無法透徹看清他們流動靈活的蒙特梭利數學腦。

（要用文字敘述清楚種種教具的長相與用法實在不容易，所以我盡量把所有文中提過的教具使用照片都擺上來讓大家看圖說故事了，之後會再放上兩少爺精心拍攝的教學影片🤣）

[必看]
網上一面倒支持朱西伯格，恥笑老人家不懂科技。不，是你不懂政治，被傳媒玩弄了也不知道。薑，還是老的辣。我也佩服部份議員，雖不完全明白科技，也能問出關鍵私隱問題。

我也舉個例，夏威夷的Schatz議員，問了whatsapp 有否algorithm 可以與facebook 溝通，當你用whatsapp講黑豹時，就在你facebook 顯示黑豹廣告。朱西回答，whatsapp對話是加密的，facebook看不到whatsapp內容，網媒該恥笑議員不懂科技。但其實朱西很巧妙地避過問題，因為儘管whatsapp 傳訊已加密，但一來whatsapp 公司有key可隨意解密，二來程序可以在你傳訊之前，將你的興趣關鍵字轉發，再用ip確認你facebook用戶，這些技術上都是可能的，但朱西避而不答。

以下分享兩位台灣網友的意見，總結了聽證會的精華，必讀。

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盲眼的尼安德塔石器匠：

【分享 祖克伯的聽證會，到底講些什麼？】

大家都用臉書這個平台，前兩天的大事是，臉書老闆 Mark Zuckerberg 到美國國會參加聽證會，面對排山倒海的質疑。

《牛津報告(一)：台灣內部的社群網戰，選戰及假新聞》
http://neanderthaldna.pixnet.net/blog/post/217178292

最近幾年，網路安全是很嚴肅的世界性大事，而且科技與事態都不斷變化。你可以開開玩笑，笑老人家不懂網路之類的，但是笑完還是要嚴肅看待相關議題。

然後我嚇死惹，台灣竟然有一家名字有「科技」網路媒體，下這個標題：
「Mark Zuckerberg 贏了聽證會，參議員敗在沒有基本常識」

我的媽呀，除惹自己造假不承認，還想抵賴給學生的中研院生化所前所長陳慶士以外，這裡很少罵人，但是下這種標題......誰敢看你這種沒有知識的網路媒體？

《台灣該學習俄大的調查精神 — 報告說只有陳慶士竄改》
http://newcongress.tw/?p=13176

還好有好心人整理，大家可以一起來看看，到底這場聽證會的內容是什麼。說真的，這些問答沒那麼容易看懂，很多部分也很值得思考。畢竟，我們都是網路重度使用者，深受影響。

笑議員是老人家，不懂網路的小粉紅，應該只看得懂那些人上了年紀，卻不知道人家都是民意代表，背後是一大堆選民，與專業人士的支持吧？

加油好嗎～ 🍎 教主賈伯斯要是還活著，也是 62 歲的老人家惹。

話說回來，台灣要是有類似的場合......不敢多想，好恐怖。

聽證會 Day2 結束一些心得，加上兩天看下來一點自己的總結

Day2 問題平均犀利很多，也冒出更多面向的問題，底下整理些我記得算有趣的對話

有少數幾位議員特別針對 FB 在使用者允許的情況之外或 logoff 的狀況仍蒐集的個人資訊，其中 Castor 議員(https://en.wikipedia.org/wiki/Kathy_Castor) 算是逼問得最犀利的，當然 Zuckerberg 對於這類問題的回答大多中規中矩，譬如說這是安全考量或務實考量，技術上本來就會做這些事，或是登入之後本來就有很多需要 opt-in 或可控的權限，但是 Castor 有明確指出一點，就是「非科技使用者」很難真正意識到我到底有哪些資訊正在被分享、我同意了哪些東西、同意了會有什麼後果。

Sarbanes 議員 (https://en.wikipedia.org/wiki/John_Sarbanes) 特別挑出 16 年大選在 Facebook 上兩黨的廣告刊登數跟廣告方案規模明顯差距的問題，並質疑 Facebook 的廣告銷售團隊在接洽兩方時是否產生差別待遇。

McNerney 議員 (https://en.wikipedia.org/wiki/Jerry_McNerney) 劈頭就講「拎北數學家啦」要 Zuckerberg 不要想呼攏他，他提出問題也很細節，詢問是否 FB 針對個人的下載個資功能真的有包含所有資訊，怎麼沒看到與 FB 相關的網頁瀏覽紀錄，Zuckerberg 這邊答錯，後面還臨時提出修正，跟團隊確認後表示「我們只暫存瀏覽紀錄，它會轉換成對應的廣告偏好資訊，而廣告偏好資訊才能被下載」

McKinley 議員 (https://en.wikipedia.org/wiki/David_McKinley) 是這兩天來第一個用此角度切入的議員：FB 上非法藥品訊息提供與買賣問題嚴重 (而且這不是廣告商，是單純有人就在自己牆上貼文說我要賣藥)。Zuckerberg 在這段是兩天內極少數幾乎無法回話的情況，真的是被釘在板子上打。後面 Carter 議員 (https://en.wikipedia.org/wiki/Buddy_Carter) 也追著這問題打，並把問題延伸到 IP 盜版、動物盜獵團體使用 FB 交換資訊方面。

Luján 議員 (https://en.wikipedia.org/wiki/Ben_Ray_Luj%C3%A1n) 追打個人資訊追蹤議題，這個昨天有另一個議員提到但是問得沒那麼清楚，但是都點到了一個名詞 "shadow profile" (指在未登入 FB 情況下，FB 仍會追蹤你的瀏覽行為來建立一個非正式的 profile)，所有事後評論的科技線記者都一致表示 Zuckerberg 證言表示它不熟悉這個名詞實在太詭異了，這是所有熟悉社群平台的人應該都聽過的東西。而且議員現場 demo 了一個操作流程「未登入情況下，我若叫 FB 幫我打包它所追蹤我的資料，FB 會要求你先註冊一個帳號才能進行打包下載」，而這點被拿出來批 Zuckerberg 這兩天一直強調「所有人都保有他們資料的所有權」，但其實 FB 不但在未經同意情況下紀錄瀏覽資訊 (不論目的)，而且實際上你就是會有部分資料不在你能取得或刪除的範圍裡。

Bucshon 議員 (https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Bucshon) 舉出「日常真人對話中提到的東西，隔天莫名其妙在 FB 廣告上出現了」的案例來質問 Zuckerberg。這邊很難證實到底是什麼情況，雖然絕大部分應該是巧合。但是不可否認，當你看到明明是戴著口罩的人在 FB 人臉辨識中還是能被辨識出來，或者是我只是在 Messenger 對話中提到某個非 FB 朋友的手機號碼，隔天居然就出現朋友推薦，這種經驗應該不少人有過。這議題除了陰謀論地討論「FB 到底收集哪些資訊」之外，更有價值的討論是「就算 FB 能知道這項資訊，它到底該不該對其做出反應」。類似幾個月前被討論到的，性工作者為了生活考量進行身分隔離，但是在 FB 上還是被當作朋友推薦出去的問題。

另外被不少議員提出，有關 FB 簽過 2011 年 FTC Consent Decree 的問題，Ruiz 議員 ( https://en.wikipedia.org/wiki/Raul_Ruiz_(politician) ) 質疑為何 2015 年知道劍橋分析事件後為何沒有向 FTC 回報，認為是否規定太寬鬆，或是沒有明確罰則讓 FB 覺得這件事重要性不在第一順位。

整個兩天會議中，Mullin 議員 (https://en.wikipedia.org/wiki/Markwayne_Mullin) 是唯一一位用「你覺得使用者是否對於把關自己的隱私有部分責任？」來開場的議員，可惜我覺得他後面的問話蠻無聊的。

Walters 議員 (https://en.wikipedia.org/wiki/Mimi_Walters) 是聽證會上少數用實際 screenshot 來質問「這樣的隱私控制 UX 設計好不好」的人；當然這邊提出的問題非常基本，所以似乎不少人在笑說這是議員請 Zuckerberg 做 tech support 嗎，但是不可否認的這種 UX 問題確實存在。

劈頭就幾乎想對著 Zuckerberg 開罵的 Dingell 議員(https://en.wikipedia.org/wiki/Debbie_Dingell)，質問 Zuckerberg 怎麼可能連 shadow profile 都不知道，過去幾件 FB 被人告過的隱私爭議事件 Zuckerberg 大多也含糊帶過，FTC 能不能罰錢也不知道。然後接著丟出一些她自己團隊大概估計出的一些統計數據（在 FB 外的 Like 按鈕被掛出去了總共多少個？），弄得像機智搶答一樣，Zuckerberg 全部以「我會請我的團隊告訴你」回答。

* * *

兩天下來大體上除了少數來亂的議員，主體當然是在追問劍橋分析事件的後續處理結果、使用者權限控管、言論與廣告審查（特別是政治性誤判與仇恨言論誤判問題）、各種隱私或網路平台監管法令設立與否或設立方式的問題。其實很多重複的問答，Zuckerberg 有時基本上是用接近播錄音帶的方式在反覆回答雷同問題。

可以看見的是法令規範的跟進似乎是大部分議員的看法（少數右派議員仍認為不應監管），蠻有趣的是 Washington Post 科技線記者的反應似乎覺得立法聲量還是不集中或不夠力。受到歐盟個資法 GDPR 影響，感覺上不太可能在未來美國什麼相關的法令都不跟進，而其實就算不跟進，如 FB 這樣的跨國平台仍會因為 GDPR 影響而把相關功能 roll out 到全球。

能觀察到的輿論風向趨勢有一點我覺得值得注意，就是以前平台經營者最喜歡用的一招「我們只提供通路跟平台，內容有問題不是我們的錯」實際上可能會漸漸演變為平台商會被要求連帶責任，而且可能不會只有協助處理或道歉的責任，在相關法令設令後，這個責任將會擴及民事賠償甚至刑事責任的可能性也是存在的。

而昨天分享過的文章提到 GDPR 影響下，網路平台對待 one-time user / logged-off user / partial user 能做的事情只會減少不可能增加，新興服務或既有服務的商業模式衝擊應該是必然，只是依照營運模式衝擊大小的差別不同而已。各類社群平台或是依賴廣告資訊、使用者資訊間接營利的產品都會受到更高的標準要求。

【畢打街閒人】跟張五常大教授學叫雞和市場學（渾水）

跟友欄徐家健教授亦師亦友，從他身上，我學到很多高階概念思考。徐教授亦是經濟學大師張五常教授的高足，得他邀請我這小小經濟系畢業生當面聽張大教授及一眾芝加哥學派名宿講學，講他的博士論文之作《佃農理論》五十年的研討會，真是平生快慰。我就好像小粉絲一樣，靜靜地聽張五常教授講自己的理論有幾巴閉。

張大教授老當益壯，一上場就開一個他寫過在《經濟解釋》的玩笑。他說過：「錢不小心跌在地下，會馬上不見。生物學、化學、物理學都解釋不了這個行為，經濟學卻可以。」他在課堂上也常以此例，去解釋經濟學如何針對人類行為做演繹推理。同場的著名變性學者，亦是芝大名宿Prof. McCloskey很配合，馬上拿出紙幣拋在地下，做實體示範。徐家健教授更配合，馬上離席拾掉地上的紙幣，成為學術研討會一個小小的有趣插曲。

另一段有趣插曲則是來自雷鼎鳴教授，張大教授見雷教授，馬上調侃他最近「很紅」，當然骨子裡是暗諷雷教授最近講內地支付叫雞的「偉論」。晚宴後，雷教授跟寫《壹》仔網上情色版的欄友前輩周顯先生同桌，同樣也是互相交流叫雞經濟學。

雷教授講支付叫雞，是為了論證中國經濟無礙，論點和內容都粗疏。張教授早在約十五年前，就曾經借用過歡場生態去建築理論，解釋經濟行為，是為「類聚定律」，見解新奇，概念精闢。同一套歡場作興的橋段，張大教授用起上來，的確高幾十班。

張大教授最出名最常用的概念叫「交易成本」，其中訊息成本就是交易成本的其中一種。「類聚定律」就是由訊息成本引發出來。張大教授有一項觀察：歡場女子的質素很平均，沒有國色天香，也沒有貌醜如豬。這是因為定價的訊息費用太高，因為歡場女子不是商品，不會有標價，價格的釐定都是由買與賣之間互相協定，這是歡場生態的行規，女子不會明碼實價地標出來。如果歡場女子可以標價，那麼高價超級美女和低價超級豬扒會放在同一市場讓恩客選擇。因為質量難以量度，標價的訊息成本太高，所以只能找質素平均的女子放在一列，方便定價，這就是「類聚第一定律」。

「類聚第二定律」則解釋：為什麼歡場會類聚地集在一處。例如著名香檳大廈，是全幢典型按鐘叫雞的大廈。由於起了朵，聚在一齊也方便客人摸上門，減低恩客找性服務的機會成本。類似的例子，是賣電腦的高登。「類聚第三定律」是用來解釋為什麼砵蘭街、尖東一帶、寶勒巷是多元的架步色情場所集中地，這是為了吸引漫無目的散客，因為恩客可能有需求，但他未必能確認自己想按門鐘叫雞、揼邪骨、夜總會還是其他別的，所以乾脆就以區域劃分，成塊都是做黃色架步，滿足各類恩客。同樣也方便家長帶年幼子女避開架步，各取所需，這定律對城市規劃都可能有重大含意。

類聚定律也可以用來解釋拍賣行的行為，欄友徐教授愛寫拍賣藝術品的話題，我就不班門弄斧了，看看讀者能否舉一反三了。高手就是在於去歡場作興，都可以套用研發新的學術理論。比起雷鼎鳴的叫雞論，張五常真係高幾十班。跟張五常學叫雞，比起學《佃農理論》的確有趣得多。

同場我也遇到中大經濟系的老師Prof. Travis Ng，他「小覷」我，問我有無睇開張五常。坦白講近年真係少睇，但可能熟過他帶來的年輕中大m.phil同學。張五常的概念是當年高考經濟學的重中之重，影響幾代人，家中那本舊版《經濟解釋》、《賣桔者言》、《新賣桔者言》已因考試要求，揭到紙頁紛飛，重看多遍。現在的新高中課程把張的內容大部分刪掉，換上標準的經濟學教程，引致概念思維不連貫。論數理工具，年輕同學比我高出甚多，但論概念運轉，我未必輸。不過，張教授對數學的鄙視，也根深地影響了幾代人，讓他們以為經濟學不必用數學工具。十年前我唸中七時，都有這個膚淺想法，當時我揭張五常教授的《佃農理論》，內裡有數式表達，也有partial differentiation等入門calculus，他自己本來就不是放棄數學的人。

張五常的經濟學，看他的書已可掌握得到，但看他做marketing吹噓自己，也是另一個值得學習的地方。他沒有得過諾獎，理論上學問難傳世，但因為他功力深厚，又有染指香港高考課程和早入大陸講學，所以他的學問思想還是非常廣傳。他跟芝加哥大學名宿相熟，常有其加持和credit，已非常人做得到，加上佛利民、艾智仁、戴維德、奈特等名宿本身已經超一班，我輩聽到這些大名自然如沐春風。他講華盛頓學派的興起，才最厲害。華盛頓學派跟芝加哥學派本來就沒有太大分別，同是一源，華盛頓學派的核心概念都是來自芝大。只是因為諾獎得主Douglass North引用過一句，然後有記者問過張五常，他就加埋Barzel等人，三幾丁友就創了一個學派。原理就像金庸小說的逍遙派與星宿派的分離，我聽完張大教授的吹噓真有幾個「黑人問號」在腦中。

《佃農理論》的引用不算多，impact factor也不算高，但張的概念推敲是高級的，而且他有政治影響力，例如中國的《新勞力合同法》跟他研究有相似的地方，中國的官員是有部分參考過他的意見。無可否認，他的確是一位學術巨人。

http://nextplus.nextmedia.com/news/latest/20171201/561237

電子書 (手稿e-book) (共261頁) (HK$199)
https://play.google.com/store/books/details?id=Fw_6DwAAQBAJ

Calculus 微積分系列︰ https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8o2lveHTSM04WAhaGEZE7xB
適合 DSE 無讀 M1, M2，
但上左 U 之後要讀 Calculus 的同學收睇
由最 basic (中三的 level) 教到 pure maths 的 level，
現大致已有以下內容︰
(1) Concept of Differentiation 微分概念
(2) First Principle 基本原理
(3) Rule development 法則證明
(4) Trigonometric skills 三角學技術
(5) Limit 極限
(6) Sandwiches Theorem 迫近定理
(7) Leibniz Theorem 萊布尼茲定理
(8) Logarithmic differentiation 對數求導法
(9) Implicit differentiation 隱函數微分
(10) Differentiation of more than 2 variables 超過2個變數之微分
(11) Differentiation by Calculator 微分計數機功能
(12) Application of Differentiation - curve sketching 微分應用之曲線描繪
(13) Meaning of Integration 積分意義
(14) Rule of Integration 積分法則
(15) Trigonometric rule of Integration 三角積分法則
(16) Exponential, Logarithmic rule of integration 指數、對數積分法則
(17) Integration by Substitution 代換積分法
(18) Integration by Part 分部積分法
(19) Integration Skill : Partial Fraction 積分技術︰部分分式
(20) Integration by Trigonometric Substitution 三角代換積分法
(21) t-formula
(22) Reduction formula 歸約公式
(23) Limit + Summation = Integration 極限 + 連加 = 積分
(24) Application of Integration – Area 積分應用之求面積
(25) Application of Integration – Volume 積分應用之求體積
(26) Application of Integration – Length of curve 積分應用之求曲線長度
(27) Application of Integration – Surface area 積分應用之求表面積
(28) L’ Hospital rule 洛必達定理
(29) Fundamental Theorem of Integral Calculus 微積分基礎原理
(30) Calculus on Physics 微積分於物理上的應用
(31) Calculus on Economics 微積分於經濟上的應用
(32) Calculus on Archeology 微積分於考古學上的應用
之後不斷 updated，大家密切留意
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Pure Maths 再現系列 Playlist： https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8os36AdSf64ouFT_iKbQfSZ
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【摘要】
本影片幫大家統整的積分技巧，包含變數變換、三角置換、分部積分、部分分式以及一些其他積分技巧，都在這二個小時的影片中一次統整完畢

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【勘誤】
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【習題】
無

【講義】
無

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你好，我是張旭老師
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【學習地圖】
EP01：向量微積分重點整理 (https://youtu.be/x9Z23o_Z5sQ)
EP02：泰勒展開式說明與應用 (https://youtu.be/SByv7fMtMTY)
EP03：級數審斂法統整與習題 (https://youtu.be/qXCdZF8CV7o)
EP04：積分技巧統整 👈 目前在這裡
EP05：極座標統整與應用 (https://youtu.be/ksy3siNDzH0)
EP06：極限嚴格定義題型 + 讀書方法分享 (https://youtu.be/9ItI09GTtNQ)
EP07：常見的一階微分方程題型及解法 (https://youtu.be/I8CJhA6COjk)
EP08：重製中
EP09：反函數定理與隱函數定理 (https://youtu.be/9CPpcIVLz7c)
EP10：多變數求極值與 Lagrange 乘子法 (https://youtu.be/XsOmQOTzdSA)
EP11：Laplace 轉換 (https://youtu.be/GZRWgcY5i6Y)
EP12：Fourier 級數與 Fourier 轉換 (https://youtu.be/85q-2nInw7Y)
EP13：換變數定理與 Jacobian 行列式 (https://youtu.be/7z4ad1I0b7o)
EP14：Cayley-Hamilton 定理 & 極小多項式 (https://youtu.be/9c-lCLV4F0M)
EP15：極限、微分和積分次序交換的條件 (https://youtu.be/QRkGLK7Iw4c)
EP16：機率密度函數 (上) (https://youtu.be/PR1NSAOP_Z0)
EP17：機率密度函數 (下) (https://youtu.be/tDQ3o8uQ_Ks)

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【版權宣告】
本影片版權為張旭 (張舜為) 老師所有
嚴禁用於任何商業用途⛔
如果有學校老師在課堂使用我的影片的話
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#積分技巧 #解題技巧 #經驗法則

【摘要】
這個主題主要說明在域 (domain) 上複變函數，在滿足某些條件以後可推得該函數為常數函數

【勘誤】
無，有任何錯誤歡迎留言告知

【習題】
無

【講義】
本系列影片配合 Stewart & Tall 的 Complex Analysis
(https://www.amazon.com/Complex-Analysis-Stewart-Tall/dp/0521287634)
如果想知道這部影片是對應到哪一個章節，可以參考封面灰色字樣

【附註】
本影片專門為數學系的學生拍攝，證明較多
非數學系學生可跳過大部分證明部分

【張旭的話】
你好，我是張旭老師
這是我為數學系學生拍攝的複變教學影片
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【學習地圖】
【複數平面的拓樸】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXiAL3UZOvdKr7FUQ2dS2E25)
【冪級數】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXhOIe5AU0jHE-anBxu0rS5m)

【微分】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXgNc7FMA0WatOTlZmRdHbCZ)
重點一：定義與性質 (https://youtu.be/I0rD0ppXmAs)
重點二：柯西黎曼方程式 (https://youtu.be/8lfL5XmRUXk)
重點三：連通與微分 👈 目前在這裡
重點四：冪級數的微分 (https://youtu.be/5UF4iLlPcFA)

持續更新中...

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特別感謝丈哥 (王重臻) 協助我討論課程內容和錄影
還有昆霖熱心幫助我剪輯影片和上傳整理
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另外，丈哥是我主要的合作夥伴
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