為什麼這篇n階導函數鄉民發文收入到精華區：因為在n階導函數這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者arthurduh1 (arthurduh1)看板Math標題Re: [微積] 可微分函數圖形的...
n階導函數 在 辣媽英文天后 林俐 Carol Instagram 的最佳貼文
2021-08-03 12:32:11
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※ 引述《F00L (愚者)》之銘言：
: http://imgur.com/kKT7KGD
: 我和朋友討論到高三數學中：
: 「三次函數圖形上的極值點，第一階導函數值為０」，
: 但「三次函數圖形上第一階導函數值為０的點，不一定是極值點」。
: 例如：f(x)＝x^3， f'(0)＝0， 但(0,0)並非是極值點。
: （恰好是反曲點）
: 「四次函數圖形上的反曲點，第二階導函數值為０」，
: 但「四次函數圖形上第二階導函數值為０的點，不一定是反曲點」。
: 例如：f(x)＝x^4， f"(0)＝0， 但(0,0)並非是反曲點。
: （恰好是極值點）
: 朋友就突發奇想說把條件寫成圖片中的敘述（http://imgur.com/kKT7KGD），
: 我也不確定他那樣寫對不對，於是幫他在板上向各位先進請益，煩請賜教，萬分感謝。
:
首先 f(x) 應該要是 n 階可微, 這除了讓題目本身的多次微分有意義外,
你應該也不會希望 x^b sin (1/x^c) 之類的函數來攪局,
這類函數可能造成 n 階導數不存在.
不失一般性假設 f(a)=0.
在考慮範圍內的函數 f(x), 因為 x=a 的某階導數非 0 (且存在),
故 f(x) 在夠小的 (a-ε, a+ε) 區間內僅有 x=a 一處的零點,
同理可假設 f(x) 在 x=a 點的 n-1 階以內的導函數都在此區間內有同樣性質.
以下處理的函數 g(x) 會是 f(x) 的 n-2 階以內的導函數,
因此都有 g(a)=g'(a)=0.
首先, g(x) 在 x=a 有反曲點的定義為: g'(x) 在 x=a 點有局部極值.
(且此局部極值須是孤立的, 但我們已經事先排除非孤立的情形了.)
另外,
(A) 若是反曲點, 由於 g'(a)=0, 故 g'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 區間皆同號或為 0,
也就是 g(x) 在 (a-ε,a+ε) 為單調函數(遞增或遞減),
搭配上 g'(x) 在此區間僅有一零點, 可得 g(x) 在 x=a 點沒有局部極值.
(B) 若 g'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 內單調, 搭配上 g'(x) 在此區間僅有一零點,
知 g(x) 在 x=a 點非反曲點; 但因 g'(a)=0 以及 g'(x) 的單調性,
g(x) 在 x=a 點必有局部極值.
正式來處理題目.
n=2 的情形顯然有 f'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 單調, 符合 (B) 條件 (當 g=f 時).
今假設 n<N 時皆已證得.
若某一函數 f(x) 在 x=a 點的 1 ~ N-1 階導數皆為 0, 但 N 階導數非 0.
考慮 f'(x), 其 1 ~ N-2 階導數皆為 0, 但 N-1 階導數非 0, 滿足歸納法假設.
若 N-1 為奇數:
則 f'(x) 在 x=a 點有反曲點, 沒有局部極值.
由 (A) 知 f'(x) 在某 (a-ε,a+ε) 內單調 (令 g=f'),
再由 (B) 得所求 (令 g=f).
若 N-1 為偶數:
則 f'(x) 在 x=a 點有局部極值, 沒有反曲點.
這代表 f(x) 在 x=a 點有反曲點(by 定義), 沒有局部極值(by (A)).
由歸納法得證.#
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推 goshfju : 猛 04/04 16:21
※ 編輯: arthurduh1 (1.173.18.134), 04/04/2017 18:24:21後來爬梳一下發現弄得太複雜了. 以下化簡:
f^{(n)}(a) ≠ 0 (存在) 代表 f^{(n)}(x) 在 x=a 附近皆是同號.
令 L=(a-ε,a), R=(a,a+ε), 使得 f^{(n)}(x) 在此兩區間同號.
由微積分基本定理, 或直接由函數單調性, 搭配上 f^{(n-1)}(a)=0, 得知
f^{(n-1)}(x) 在 L 上面與在 R 上面異號.
同理, 搭配上 f^{(n-2)}(a)=0, 得知
f^{(n-2)}(x) 在 L 上面與在 R 上面同號.
依次推論,
若 n 為奇數, 則 f'(x) 在 L 與在 R 上面同號,
f(x) 在 L 與在 R 上面異號, 因此 x=a 為 f(x) 的反曲點, 但非局部極值;
n 為偶數時類似.
※ 編輯: arthurduh1 (101.15.165.24), 04/04/2017 20:14:12
推 F00L : 好厲害，謝謝您～ ^^ 04/04 21:32