: Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
: Results may be inaccurate. RCOND = 3.502134e-017.


我是做數值分析與計算流體力學的，嘗試回答你的問題。

我想你可能要先瞭解一下，不是每一個矩陣都有反矩陣的。
一般線性代數的書在談論到矩陣時，都會特別說明，若是一個矩陣沒有反矩陣，
它就被稱做singular matrix。
一般來說，只要是該矩陣的determinant等於或非常非常接近0，它就不存在或很
難用一般的方法求出反矩陣。


就實際應用面而言，一般會想求反矩陣，並不是真的對那個矩陣的反矩陣有興趣
，通常都是為了解之後的問題，必須在過程中先求得反矩陣。
舉例來說，最常遇到的就是解聯立方程式。

[A]{X} = {B}

先講一般程式語言的作法。如果你是用C或是Fortran的話，就得先用數值方法求
得[A]的反矩陣，再用反推法求得{X}。光是要求得[A]的反矩陣，就有很多種數
值方法可以用，詳細的就不在這裡談了。

那，如果你是用MATLAB的內建函數，就不必這麼麻煩了。想解上式，可以直接打
X=B/A 或是 X=B\A，都可以得到答案。
如果我沒記錯的話，「右除」只能用在當A是方陣且不是singular時，但「左除」
可以用在A是任意矩陣時（不管是不是singular，不管是不是未知數的數目大於方
程式的數目或小於方程式的數目）。所以，即使A是singular matrix，你也不必
擔心，MATLAB會直接「黑箱作業」，幫你得到答案。

那MATLAB是怎麼「黑箱作業」的呢？這可能就要去翻數值分析的書，裡面都會談
到一個方法，叫做singular value decomposition，簡稱SVD。這是專門對付
singular matrix而發展出來的數值方法。同樣地，我無法在這裡細談，那個牽
扯到太多的數學技巧。

一般SVD，會將[A]分解成三個矩陣相乘，以便之後求解聯立方程式時使用。但不
幸的是，分解出來的這三個矩陣，都不是[A]的反矩陣，因為根據定義，[A]是
singular matrix，它本來就不會有反矩陣。

MATLAB也有一個指令是SVD()，()裡面直接打矩陣的名稱就可以將改矩陣做
singular value decomposition。回想前面提過的，當你使用「左除」這個指令
時，MATLAB本身就會去計算該矩陣是否為singular，如果是的話，它就會自動使
用SVD來求解。


很多數學統計和工程問題都會遇到singular matrix，數學統計上常用到的最小
平方法(least-square method)也會遇到。

回到你本身的問題，你會發現，你得到的矩陣前面，有乘上一個很大很大的值，
大的不像話，那就已經說明，得到的答案有99%是錯的......

總結一下：
如果你有一個矩陣，是singular matrix，你單純想要求他的反矩陣，MATLAB解
出來的有很大的機率是錯誤的。即使你用別的程式語言加上數值分析的方法，
也只能求得很近似的值而已。因為在數學理論上，它其實是不存在的。
但如果你在整個演算法中，無論如何都必須要先求得它的反矩陣，再加以應用
的話，那就必須要訴諸其他的數值分法，避免「正面」去求它的反矩陣，走別
條路，去得到最後的答案。

--
年 輕 是 什 麼 ？
是 風 ，是 雲 彩 ，
也 是 天 空 ，
是 一 種 心 情，
閃 爍 在 生 命 的
每 一 個 轉 折 裡。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.187.195