รู้จักกับ Logarithm กับโรค COVID-19

ช่วงที่โรค COVID-19 ระบาดนี้ เชื่อว่าหลายๆ คนอาจจะได้เคยเห็นกราฟนี้ผ่านตากันบ้าง เป็นกราฟที่แสดงจำนวนผู้ติดเชื้อที่ได้รับการยืนยันของแต่ละประเทศทั่วโลก เมื่อเทียบกับจำนวนวันนับจากวันที่พบผู้ป่วยสะสมเกิน 100 ราย[1]

แต่หากเราสังเกตดีๆ เราจะพบว่าสเกลของแกนตั้งที่ใช้นั้น ไม่ใช่สเกลปรกติ เพราะตัวเลขกระโดดจาก 100 ไป 1,000 ไป 10,000 ไป 100,000 เลย แม้ว่าระยะห่างจะเท่ากัน

สเกลของกราฟนี้ในทางวิทยาศาสตร์เรียกว่า "Logarithmic scale" ซึ่งหากนำมาพลอตกับอีกแกนที่เป็นสเกลปรกติ เราจะเรียกว่ากราฟนี้ว่าเป็นกราฟ "semilog"

เพราะเหตุใดเราจึงพล๊อตกราฟในลักษณะแปลกๆ นี้? ปรากฏว่าจำนวนหลายๆ ชนิดในธรรมชาตินั้น มีการเติบโตแบบ exponential ซึ่งเนื่องจาก logarithm นั้นเป็นฟังก์ชั่นผกผันกับ exponential ข้อมูลที่มีการกระจายตัวแบบ exponential นั้นจะกลายมาเป็นเส้นตรงที่สวยงามพอดีในสเกลของ log

หากเราพิจารณาดูระยะห่างในสเกลของแกนตั้งดีๆ เราอาจจะรู้สึกว่ามันคุ้นหูคุ้นตาสักเล็กน้อย นั่นก็เพราะว่าเราสามารถพบมันได้ทั่วไป แม้กระทั่งบนเฟรตกีต้าร์นั่นเอง

ที่เป็นเช่นนี้นั้น ก็เพราะว่าจากฟิสิกส์การสั่นของสายกีต้าร์ เมื่อเราลดระยะของสายกีต้าร์ลง 1 ใน 12 เราจะได้ความถี่ของเสียงที่สูงขึ้น half tone พอดี แต่หากเราต้องการจะเพิ่มอีก half tone เราจะต้องทำให้ระยะห่างสั้นลงอีก 1 ใน 12 ของที่เหลือ ซ้ำไปเรื่อยๆ เนื่องจากระยะทางของสายที่เหลือนั้นสั้นลงเรื่อยๆ ระยะห่างระหว่างเฟรตกีต้าร์จึงสั้นลงเรื่อยๆ เมื่อเราเขยิบห่างออกมาจากตรงปลาย

ซึ่งทั้งหมดนี้ เป็นลักษณะเดียวกันกับสเกล logarithm พอดี เป็นเหตุผลว่าทำไมสเกลของกราฟนี้จึงมีลักษณะคลับคล้ายคลับคลากับเฟรตของกีต้าร์ ซึ่งทั้งหมดนี้ เกิดขึ้นมาจากว่าหูและสมองของมนุษย์นั้นไม่ได้ตีความความถี่อย่างสม่ำเสมอกัน แต่เรามีการรับฟังความถี่ของเสียงในลักษณะที่ใกล้เคียงกันกับสเกลของ logarithm อยู่แล้ว เพราะหูของเราไวต่ออัตราการส่วนของความถี่เสียงที่เปลี่ยนแปลงไป มากกว่าตัวเลขความถี่นั่นเอง

นอกไปจากเสียงแล้ว เรายังพบว่าประสาทสัมผัสของมนุษย์อีกหลายอย่าง ก็มีการตอบสนองในลักษณะของฟังก์ชั่น logarithm เช่นเดียวกัน เช่น ความสว่างของแสง ความเข้มข้นของสารละลาย ฯลฯ เป็นต้นเหตุว่าทำไมเราจึงนิยามลำดับความสว่างของดาวฤกษ์เป็น logarithm ของจำนวนอนุภาคแสงที่ตกลงบนนัยน์ตาของเรา และทำไมเราจึงนิยามค่าความเป็นกรดเบสเป็น pH ที่ได้มาจากฟังก์ชั่น logarithm ของปริมาณความเข้มข้นของไอออน H+ ในสารละลาย

นอกไปจากนี้ สมองของเรายังมีการประมาณการตัวเลขในลักษณะ logarithm อีกด้วย เช่น เราจะตื่นเต้นมากกับจำนวนผู้ป่วยที่เพิ่มขึ้น 30 รายในวันเดียว เมื่อมีจำนวนผู้ป่วยทั้งหมดเพียงไม่ถึง 100 แต่เมื่อจำนวนผู้ป่วยเพิ่มขึ้นมาเป็นหลักหมื่น เรากลับได้ความรู้สึกตัวเลข 30 นั้นกลับกลายเป็นตัวเลขที่น้อยนิดเดียว

อีกตัวอย่างที่เราอาจจะคุ้นเคยกันดี ก็คือ หากเราจะถามใครสักคนว่าเงินสิบบาทมีค่าแค่ไหน? เราจะพบว่าคุณค่าของมันนั้นขึ้นอยู่กับจำนวนเงินในกระเป๋า เช่น สำหรับมนุษย์เงินเดือนที่เงินเดือนเพิ่งเข้ามันอาจจะไม่มีค่าเท่าไหร่ แต่เมื่อไหร่ก็ตามที่เข้าสู่ช่วงปลายเดือนและเริ่มขัดสน บางทีสิบบาทอาจจะสามารถแลกมาม่าได้หลายซอง พูดให้ง่ายๆ ก็คือ เราให้ความสำคัญกับตัวเลขหลักหน้าๆ ว่าเป็นกี่หมื่นกี่แสน มากไปกว่าเศษที่ตามมาด้านหลัง ยิ่งตัวเลขเพิ่มขึ้นมากเท่าไหร่ ความสำคัญของตัวเลขหยิบย่อยในหลักหน่วยนั้นก็ลดน้อยลง ซึ่งเป็นสาเหตุว่าทำไมในสเกล logarithm นั้นตัวเลขหลักน้อยๆ นั้นจะถูกแทนด้วยระยะทางที่สั้นลงยิ่งอยู่สูงขึ้นไปในกราฟ และทำไมเราจึงเลือกที่จะแสดงผู้ติดเชื้อในสเกลของ logarithm

ซึ่งในกรณีของโรคติดต่อนั้น เรายังพบว่ากลไกการระบาดของเชื้อในธรรมชาติ ก็ยังมีลักษณะเป็นฟังก์ชั่น exponential อยู่แล้วอีกด้วย

สมมติว่าผู้ป่วยโรคโควิด-19 หนึ่งคนสามารถแพร่เชื่อให้คนอีกสองคน (งานวิจัยปัจจุบันเราพบว่าตัวเลขนี้น่าจะอยู่ที่ประมาณ R0 = 2-2.5) นั่นหมายความว่าจาก 1 คน สามารถไปติดให้อีก 2 คน แต่ละคนจาก 2 คนเอาไปติดได้อีกคนละ 2 กลายเป็น 4 จาก 4 เป็น 8 กลายเป็น 16, 32, 64, 128, ฯลฯ นั่นหมายความว่าการแพร่กระจายของโรคระบาดนั้นมีการแพร่กระจายที่มากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อมีจำนวนที่เยอะขึ้น ซึ่งก็คือฟังก์ชั่น exponential นั่นเอง

จากกราฟ เราจะพบว่าหากเราสมมติให้โรคสามารถเพิ่มจำนวนได้สองเท่า ในเวลาทุกๆ 2, 3, 5 และ 10 วัน การเติบโตเหล่านี้นั้นจะมีลักษณะเป็นเส้นตรงในสเกลของกราฟนี้ การนำข้อมูลผู้ติดต่อมาพล๊อตในกราฟ semilog เช่นนี้จึงมีประโยชน์ตรงที่เราสามารถนำความชันของกราฟมาเทียบได้เลย ว่าแต่ละประเทศกำลังประสบกับสถานการณ์ที่ผู้ติดเชื้อกำลังเพิ่มในอัตราที่จะเพิ่มเป็นสองเท่าภายในระยะเวลาเท่าใด

เราจะพบว่าประเทศทางฝั่งยุโรป เช่น อิตาลี อังกฤษ เยอรมันนี และประเทศสหรัฐอเมริกานั้นกำลังแพร่กระจายอย่างรวดเร็ว และเพิ่มจำนวนสองเท่าในอัตราทุกๆ 2 ถึง 3 วัน ในขณะที่ประเทศจีน เกาหลีใต้ ญี่ปุ่น และสิงคโปร์ เริ่มมีอัตราการเพิ่มที่ลดลงจนต่ำกว่าอัตราการเพิ่มสองเท่าทุกๆ 10 วันแล้ว และการติดเชื้อกำลังอยู่ในขาลงที่เชื้อกำลังจะถูกกำจัดไปในไม่ช้า

สำหรับประเทศไทยนั้น แม้ว่าเราจะประคับประคองกันมาได้ดีตลอดแม้ว่าเราจะเป็นจุดหมายปลายทางหลักของนักท่องเที่ยวชาวจีน แต่ในช่วงที่ผ่านมาไม่กี่วันนั้นได้มีการแพร่กระจายของไวรัสอย่างรวดเร็ว และหากเราเทียบกับอัตราความชันของกราฟล่าสุด เราจะพบว่าเรากำลังอยู่ในอัตราที่มีจำนวนผู้ติดเชื้อเพิ่มขึ้น 2 เท่าทุกๆ 2 วัน นั่นหมายความจากตัวเลขปัจจุบันจำนวนผู้ติดเชื้อ 599 ราย (วันอาทิตย์ที่ 22 มีนาคม 2563) เราจะมีจำนวนผู้ติดเชื้อเกิน 1 พันคนภายในเวลาอีก 2 วัน และอีก 2 วันต่อมาจะกลายเป็น 2 พัน และ 4 พันภายในหนึ่งอาทิตย์ หากอัตรายังคงเดิมต่อไป

เราไม่สามารถเปลี่ยนแปลงการแพร่ระบาดแบบ exponential ของไวรัสได้ แต่เราสามารถชะลออัตราการเติบโต และลดอัตราที่มันจะเติบโตได้ เช่นเดียวกับที่ประเทศจีน ญี่ปุ่น เกาหลีใต้ และสิงคโปร์ได้พิสูจน์ให้เห็นมาแล้ว นโยบาย social distancing การหลีกเลี่ยงไปในที่สาธารณะ และการรักษาสุขอนามัย เป็นวิธีหนึ่งที่ทำให้เราสามารถชะลอการระบาดของโรคติดต่อได้

อ้างอิง:
[1] ourworldindata.org/grapher/covid-confirmed-cases-since-100th-case

感謝筠昕，提供了一個俐媽一輩子也不可能涉足的大餐—「數學專有名詞」🔢🆙
除了圖片中的老師，台大補習班•李傑數學還有很多很專業、十分願意為學生付出的老師，請大家多多支持哦🙏🏼
—————————————
➕➖昕姊+俐媽英文教室✖️➗
1️⃣ 數與式
1.有理數 rational number
2.封閉性 closure property
3.算幾不等式 Arithmetic and Geometric Mean Inequality
2️⃣ 多項式
1.除法原理 Division Principle
2.餘式定理 Remainder Thm
3.因式定理 Factor Thm
4.牛頓定理 Newton Rational Root Thm
5.插值多項式 Interpolation Polynomial
6.標準式 standard form
7.共軛複數 conjugate complex number
8.一元二次方程式 quadratic equation
9.根與係數(韋達定理) Vi`ete Thm
10.虛根定理 Complex Conjugate Root Thm
11.勘根定理 Intermediate Value Thm
12.二次函數 quadratic function
13.奇函數 odd function 偶函數 even function
14.分式不等式 fractional inequality
3️⃣ 指數對數
1.指數律 law of exponent
2.指數函數 exponential function
3.凹凸性 concavity
4.對數律 law of logarithm
5.對數函數 logarithmic function
6.真數 antilogarithm
7.尾數 mantissa
8.首數 characteristic
9.線性內插 linear interpolation
10.單利 simple interest 複利 compound interest
4️⃣ 數列級數
1.等差(A.P) Arithmetic Progression Sequence
2.等比(G.P) geometric progression or geometric sequence /geometric series
3.遞迴 recursion
4.數學歸納法 Mathematical Induction
5️⃣ 排列組合
1.樹狀圖 tree diagram
2.加法原理 addition principle
3.乘法原理 multiplication principle
4.取捨原理 inclusion and exclusion principle
5.直線排列 permutation
6.組合 combination
7.二項式定理 Binomial Theorem
6️⃣ 機率與數據分析
1.古典機率 classic probability
2.統計機率 statistic probability
3.條件機率 conditional probability
4.貝氏定理 Bayes Theorem
5.獨立事件 independent event
6.標準差 Standard Deviation
7.眾數 Mode
8.中位數 Median
9.平均數 Mean
10.線性變換 Linear Transfer
11.數據標準化 standardization
12.相關 linear correlation
13.散布圖 scatter plot
14.相關係數 correlation coefficient
15.迴歸直線 regression line
7️⃣ 三角函數trigonometric function
1.斜邊 hypotenuse
2.對邊 opposite side
3.臨邊 adjacent side
4.始邊 initial side
5.終邊 terminal side
6.同界角 coterminal angle
7.廣義角 generalized angle
8.極座標 Polar coordinates
9.正弦定律 Law of Sine
10.餘弦定律 Law of Cosine
11.和角公式 angle addition formula
謝謝筠昕，其他數學達人請接棒🏹
————————————
#辣媽英文天后林俐carol #俐媽英文教室 #俐媽英文教室徵稿中 #mathematics #jackmath #李傑數學 #品質保證

M1 (Binomial Theorem 二項式定理)
https://goo.gl/rlbmEB
M1 (Exponential & Logarithmic functions 指數對數函數) 未拍
https://goo.gl/FZotov
M1 (Differentiation & its application 微分及其應用) 未revise
https://goo.gl/bx9Gp9
M1 (Integration & its application 積分及其應用) 未revise
https://goo.gl/8qEBQ0
M1 (Bayes' Theorem貝葉斯定理)
https://goo.gl/LEyZVD
M1 (Normal Distribution 正態分佈)
https://goo.gl/BAXGWk
M1 (4 Distributions 四大分佈)
https://goo.gl/sEgQx9
M1 (Point & Interval Estimation 點與間距估計)
https://goo.gl/PAuvHb
------------------------------------------
HKDSE Mathematics 數學天書 訂購表格及方法︰
http://goo.gl/forms/NgqVAfMVB9
------------------------------------------
YouTube 網上教學平台 : http://www.youtube.com/HermanYeung
Herman Yeung Blogger : https://goo.gl/SBmVOO
Herman Yeung Instagram : https://www.instagram.com/hermanyeung_hy

購買此 e-book (HK$199.00) 的連結︰
https://play.google.com/store/books/details/Herman_Yeung_Herman_Yeung_F_3_Maths_%E4%B8%AD%E4%B8%89%E6%95%B8%E5%AD%B8_Exercise?id=K6AREAAAQBAJ

部分教學影片︰
https://youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8pOMLw0MItoo8uCoKpeHKMv

Herman Yeung F.3 Maths 中三數學 (Exercise 3C) (500題)
適合中三下學期至中三升中四暑期的同學學習
500 條題目，內容包括：
1. Probability 概率
2. Statistics 統計學
3. Polynomial 多項式
4. Quadratic Equation 二次方程式
5. Logarithmic Function 對數函數
的 "初中版"

購買此 e-book (HK$199.00) 的連結︰
https://play.google.com/store/books/details/Herman_Yeung_Herman_Yeung_F_3_Maths_%E4%B8%AD%E4%B8%89%E6%95%B8%E5%AD%B8_Exercise?id=K6AREAAAQBAJ

部分教學影片︰
https://youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8pOMLw0MItoo8uCoKpeHKMv

Herman Yeung F.3 Maths 中三數學 (Exercise 3C) (500題)
適合中三下學期至中三升中四暑期的同學學習
500 條題目，內容包括：
1. Probability 概率
2. Statistics 統計學
3. Polynomial 多項式
4. Quadratic Equation 二次方程式
5. Logarithmic Function 對數函數
的 "初中版"

購買此 e-book (HK$199.00) 的連結︰
https://play.google.com/store/books/details/Herman_Yeung_Herman_Yeung_F_3_Maths_%E4%B8%AD%E4%B8%89%E6%95%B8%E5%AD%B8_Exercise?id=K6AREAAAQBAJ

部分教學影片︰
https://youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8pOMLw0MItoo8uCoKpeHKMv

Herman Yeung F.3 Maths 中三數學 (Exercise 3C) (500題)
適合中三下學期至中三升中四暑期的同學學習
500 條題目，內容包括：
1. Probability 概率
2. Statistics 統計學
3. Polynomial 多項式
4. Quadratic Equation 二次方程式
5. Logarithmic Function 對數函數
的 "初中版"