為什麼這篇lim公式鄉民發文收入到精華區：因為在lim公式這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者doom8199 (～口卡口卡 修～)看板Math標題[微積] lim sin(x)/x時間Tu...
lim公式 在 鈴木詩織 ?????? ?????? Instagram 的最佳貼文
2021-08-18 14:39:59
原宿のCODE+LIMでトリートメントとスタイリングをしてもらったよ♡ 自分でいつもするスタイリングとはまた違った感じにしてもらえてうれしい😉 髪の毛にもツヤが出たし、美容師さんから私の髪に合うようなシャンコンだったりのアドバイスももらえてとっても参考になりました❣️ サロンの課題解決と業界発展...
#1EY71w0u □ [微積] 有一題證明題 有人可以幫我嗎?
因為看到這篇文章中版主大大的推文
想提出一個看法和一個疑惑點
<1>
『 sin(x)
能不能用 L'Hopital's rule 解 lim ─── ?
x→0 x 』
我認為可以
理由是考慮以下兩個命題 :
『 d
A: ── sin(x) = cos(x)
dx 』
『 sin(x)
B: lim ─── = 1
x→0 x 』
接著
" A→B " 是 true , 因為 L'Hopital's rule + lim 性質
" B→A " 是 true , 因為 三角函數的和角公式 + lim 性質
所以可推論出 A iff B
因此只要利用以上結論之外的其它任何推論
可以論證出 "A 是 true" 或 "B 是 true"
那就代表命題 A 和 B 皆為 true
例如 用了一些方法 (像是 Squeeze thm.) 證明 B 是 true
且 "B→A" 的推論也知道了
那用 L'Hopital's rule 來補 "A→B" 那塊的真偽我認為沒甚麼不行
當然在邏輯上
自己都已經知道 B 為 true
用 A→B 來得到 B 的真偽蠻畫蛇添足的
--------------
<2>
話是這麼說
但有個讓我 confuse 的點
那就是我上網有查到一篇資料:
http://johnmayhk.wordpress.com/2010/02/27/circular-argument-on-sinx-over-x/
sin(x)
上面寫說證明 lim ─── = 1 本身就會犯 循環論證
x→0 x
原因是考慮以下兩命題 :
『 sin(x)
B: lim ─── = 1
x→0 x 』
『 2
C: 半徑為 r 的圓面積 = πr
』
"C→B" 和 "B→C" 可以很簡單就推論出是 true
但問題是怎麼證明 "B 是 true" 或 "C 是 true" ?
或是有沒有辦法不利用圓面積公式
證明出 sin(x) < x < tan(x) if 0<x<π/2 ?
或是有其它方式可以證明命題 B 是對的 ?
因為以前不會想那麼細
所以很想把這一塊的思路整理清楚
麻煩大家解惑一下
多謝～
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.139
→ Sfly :這個lim= sin(x)在 0的微分..你要說是羅必達也行 10/04 08:22
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.139 (10/04 08:24)→ dogy007 :問題的重點是整個體系發展的順序 10/04 09:34
→ dogy007 :首先是你如何定義 sinx 10/04 09:35
→ dogy007 :接下來是如何求得 lim sinx/x 10/04 09:35
→ dogy007 :一般微積分課本並未嚴格定義 sin x 10/04 09:36
→ dogy007 :或者使用直角三角形或單位圓定義 sinx 10/04 09:37
→ dogy007 :然後證明 lim sinx/x = 1 10/04 09:38
→ dogy007 :接著利用這個極限去證明 sinx 的微分 10/04 09:39
→ dogy007 :在這種順序下，不可用 L'Hospital 算 lim sinx/x 10/04 09:40
→ dogy007 :另外一個許多人沒注意到的部分是算 limsinx/x 10/04 09:41
→ dogy007 :如果用圓面積公式，那也要小心 10/04 09:42
→ dogy007 :因為圓面積可能是用三角函數積分得到 10/04 09:42
→ dogy007 :這又是循環論證 10/04 09:43
→ doom8199 :這樣問題來了，若照樓上大大所說 10/04 10:08
→ doom8199 :"B is true", "B→A is true" , 代表 A B 皆 ture 10/04 10:09
→ doom8199 :因此"以這樣的順序下"，做 "A→B" 這件事情 10/04 10:10
→ doom8199 :應該也要是 true, 為何不能做? 10/04 10:11
→ doom8199 :To Sfly大大: 您的意思是 sin'(0) 等價於羅必達嗎@@? 10/04 10:15
推 jacky7987 :可是如果當初sin(x)是用e^{ix}來定義的話 10/04 10:28
→ jacky7987 :這樣的情況是不是就可以解除? 10/04 10:28
→ dogy007 :我記得以前看 Serge Lang 的分析學(?Analysis 1) 10/04 10:34
→ dogy007 :她是直接用泰勒級數來定義 sin x 10/04 10:35
→ dogy007 :這樣的確可以避開循環論證 10/04 10:35
→ dogy007 :不過能這樣教大一微積分嗎? 10/04 10:35
→ jacky7987 :可能得先學到級數和 再用逐項微分來避開? 10/04 10:40
→ jacky7987 :因為sinx的級數和除以一個x是簡單的事情? 10/04 10:41
→ jacky7987 :sinx的微分也可以透過逐項微分? 10/04 10:41
→ jacky7987 :能不能教給大一微積分可能得後面一點了XDDD 10/04 10:41
推 dogy007 :用級數定義 sin x 的麻煩之處在於許多東西要證明 10/04 11:28
→ dogy007 :比如說 sinx 為角 x 對邊除以斜邊也要證 10/04 11:29
→ dogy007 :弧長公式也要證明 10/04 11:30
→ dogy007 :另一個可能定義為用積分定義 arcsinx 10/04 11:32
→ dogy007 :然後定義 sinx 10/04 11:32
→ goshfju :看怎麼定義吧 但大多的書在導 d/dx sinx=cosx 時 10/04 11:35
→ goshfju :都利用這個極限 所以無法使用L'Hospital 10/04 11:35
→ Sfly :當分母恰好是 x, 而x-->0, 則羅必達等同原點微分值 10/04 12:34
→ Sfly : (當然分子微分之後要在原點連續) 10/04 12:37
→ plover :可以證明一下 L'Hopital's rule 嗎? 10/04 14:12
→ yhliu :依 Sfly 的意思, f'(x)=lim_{h→0}(f(x+h)-f(x))/h 10/04 16:56
→ yhliu :不是導數定義, 而是 l'Hopital's rule 的結果? 10/04 16:57