為什麼這篇laplace equation解鄉民發文收入到精華區：因為在laplace equation解這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者dskphy123 (洨佑)看板Physics標題Re: [問題] 解電磁學Laplace eq...
應該這麼說
Legendre's polynomial是解Legendre's equation時得到的其中一個解
(1-x^2)u''-2xu'+n(n+1)u=0
上式即為Legendre's equation
其實電磁學在球坐標解電位時
變數分離後的其中一個就是解這種方程式
在Griffiths中就是page 138頁的式子(3.60)
有興趣的可以實際操作一下 就可以得到Legendre's equation的式子
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二次微分方程會有兩個解
解Legendre eqn又是線性的
透過複雜的級數計算
可以得到通解u=C Pn + D Qn
Pn就是Legendre's Polynomials
Qn就是Legendre's functions of second kind
C和D是因為原方程式是線性的 兩個解可以疊加得到通解
而且對所有n而言，Pn(1)=1 Pn(-1)=1或-1
Qn(1或-1)則會發散
因此對一般的物理問題來說
只要有邊界條件限制u在x=1或-1是有限的話
都會強迫Qn前面的係數D是零
電磁學中的應用很明顯
絕大部分的物理狀況都是考慮z軸上的解是有限值不會發散
因此不會考慮Qn的部分
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我想這樣也直接解釋了page 139最底下那一行小字的意思了
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→ dskphy123:忘了說 n是正整數還有0 11/07 04:36
推 youmehim:n非整數的話 Pn(-1)會發散 11/07 12:27