【陪你看國際新聞】疫苗有國際認證標準嗎？看看跨國物流從業者怎麼說。
　
目前國際物流的狀況很緊繃，其中一個原因，是相關從業者的壓力，包括海運與陸運。
　
以海運來說，這些船員常常靠岸後不被當地政府放行登陸休息，連續在海上工作的時間很長，加上各國非常不一致的檢測政策，被採檢無數次。
　
另外，各國核可不同的疫苗，有些人甚至打了六劑疫苗，或者三種各兩針的疫苗。他們也在抱怨，怎麼沒有國際標準。
　
He knows of at least one seafarer who has received six vaccine doses, or three two-dose regimens. "It's an absolute nightmare. I can't understand why we don't have some sort of global standard," he told CNN Business.
　
👉The workers who keep global supply chains moving are warning of a 'system collapse' / CNN
https://cnn.it/3kT9EVR
　
我想說的是，這才是國際的真相，根本沒有什麼「全球認證」「國際標準」的疫苗。不要聽藍白政治人物發明新名詞的鬼扯。
　
每一支疫苗，都是靠自己做研究、靠自己取得 EUA、靠自己的科學證據去取得每一個國家各自的信任。
　
就像高端最近獲得全世界第四大國家印尼的信任。
　
👉印尼境外接種疫苗驗證網納高端 國籍選項含台灣 / CNA
https://www.cna.com.tw/news/firstnews/202109250212.aspx
　
由於 WHO 的失能，事實上各個國家在這次疫情幾乎都是靠自己，也是因此，日本誤信其建議導致初期疫情失控，臺灣因為被 WHO 拒於門外，反倒處理得很好。
　
真正讀過歷史，了解真實國際狀態的人就知道，真實的國際世界是無政府狀態的，尤其一戰之前。
　
經過失敗的國聯嘗試，二戰後美國終於協助世界建立聯合國以及相關組織，像是世界銀行、國際貨幣基金等，並在經濟、貿易、貨幣等領域建立標準。
　
但在人類那麼多形形色色的活動中，也只有少數關鍵的領域有所謂的國際標準，對於新興的挑戰如 COVID-19，一切仍在學習中。

📜 [專欄新文章] Unirep介紹: 使用ZKP的評價系統

✍️ Ya-Wen Jeng

📥 歡迎投稿： https://medium.com/taipei-ethereum-meetup #徵技術分享文 #使用心得 #教學文 #medium

Unirep是什麼? 怎麼用?

Photo by Raphael Lovaski on Unsplash

UniRep 是一個使用零知識證明(Zero-knowledge Proof)而達到具有隱私保障的評價 (reputation) 系統。使用者有權利享有多個暫時性的身份，但又同時能提出證明，讓其他人可以驗證評價是否符合自己宣稱的數量。此外，使用者也無法拒絕接收對自己不利的評價。

想像一個情境：如果Alice是Airbnb的使用者，Alice常常透過Airbnb租房，且Alice曾經獲得獲得許多Airbnb房東的好評；有一天Alice想透過Booking.com訂房，http://xn--alicebooking-kt4so6lvyab96x7trhi5b54x.com/，所以在Booking.com上沒有任何評價，萬一Booking.com的房東不想把房子租給來路不明的客人，那Alice要如何向Booking.com的房東證明她其實都是用Airbnb租房，且獲得許多好評？

Alice雖然可以透過截圖或公開自己的資訊向Booking.com的房東證明自己擁有這些好評，但這樣Alice的隱私或許會被洩漏，例如Alice不想讓Booking.com的房東知道自己去過哪些地方、住過哪些民宿；或者Alice有可能偽造截圖，或者偽造評價，那Booking.com的房東要如何相信Alice所提供的證明文件是真的來自Airbnb的房東？除此之外有沒有更彈性的方式，Alice可以選擇性地向Booking.com的房東證明，自己至少有10個好評，但不透露自己總共有多少好評？

Photo by Andrea Davis on Unsplash

使用Unirep協定就可以解決這個問題。UniRep 取名自 Universal Reputation，希望透過區塊鏈上智能合約的可互用性 (interoperable，指智能合約容易被多方呼叫且容易透過智能合約與對方互動)，讓不管是Airbnb的房東、Booking.com的房東或是Alice都能很容易地透過Unirep的智能合約與對方互動，且透過零知識證明的方式，讓Alice的評價具有隱私的保障，Alice不用明確地向Booking.com的房東說這些評價是怎麼獲得、是什麼時候獲得，也可以彈性的證明自己至少有多少好評，或者最多有多少差評。

密碼學

Unirep主要用到的密碼學方法有

雜湊函數 hash：若有一個雜湊函數 f(x) = y 則由x可以很輕易的用f算出y，但從y推回x是幾乎不可能的，且要找到兩個不同的x對應到相同的y也是幾乎不可能的(沒有碰撞問題)。

零知識證明 zero-knowledge proof：可以將複雜的運算邏輯轉成容易驗證且具有隱私保障的驗證問題，使用者只要將變數輸入，這個零知識證明的演算法就會產生對應的證明且計算出對應的結果，使用者只要將此證明和運算結果輸入驗證的程序中，其他人就能驗證使用者是不是提出正確的證明，若驗證成功，則驗證者就能相信提出證明者高機率擁有正確的知識，也就是在計算證明時的輸入變數。

ZKP Proof System

ZKP Verification System

Semaphore：semaphore 是設計為可以用零知識證明驗證的身份認證系統。Unirep 中用來產生私鑰 (identity) 和公鑰的 hash 值(identity commitment)，讓使用者不必公開 identity 仍能透過零知識證明驗證其公私鑰的對應性。

雜湊樹 Merkle trees：Unirep 中大量運用雜湊樹的方式確保評價紀錄，而其中用到的雜湊樹又分兩種：Incremental merkle tree 和 Sparse merkle tree

Incremental merkle tree: 從 index 0 開始依序插入雜湊樹中的樹葉。為了使 ZKP 的 circuit 大小固定， Unirep 中使用固定高度的 Incremental merkle tree。

Sparse merkle tree: 在特定的 index i 插入樹葉

Incremental merkle tree and sparse merkle tree

UniRep中用到的名詞定義

Epoch

指一段特定的時間，例如7天

UniRep 的 Epoch 從 1 開始計算，7天過後Epoch數加一，即 Epoch 變為 2

Epoch Key

每個使用者在每個 Epoch 都能產生 n 把 Epoch key，用來收取評價 epoch_key = hash (id, epoch, nonce)

id: 這裡指用 semaphore 產生的 identity

epoch: 表示這是在第幾個 epoch 產生的 epoch key

nonce: 若 Unirep 規定使用者能在一個 epoch 產生 5 把 epoch key，則使用者可以選從 0 到 4 為此 nonce

因為雜湊函數的性質，算出來的 epoch key 很難推回原本的 id, epoch, nonce， 所以看到 epoch key 並不能推回使用者是誰。

以Alice為例，當Alice住完Airbnb，房東會透過 epoch key 給予 Alice 評價，但房東無法知道 Alice 在同個 epoch 的其他 epoch key 是哪一把，也無法知道 Alice 在別的 epoch 獲得的評價，除非 Alice 在這個 epoch 重複使用同一把 epoch key 收取評價。

User 使用者

用 semaphore 產生 identity 並使用此 identity 註冊的使用者

使用者是接收評價、證明評價、或是花費評價的人，用 epoch key 跟其他人互動，因為 epoch key 會隨著 epoch 增加而改變，所以對使用者來說每個 epoch 能產生的 epoch key 都不同，具有保護隱私的效果。

在上面的例子中使用者指的是 Alice, Bob, Airbnb 的房東, Booking.com的房東

Attester 證人

用 Ethereum address 或 smart contract address 註冊的用戶

是會被使用者記錄下來的評價給予者

Unirep 會給這些 address 一個 attester ID，而這個 attester ID 不會隨著 epoch 增加而改變，使用者可以知道這個評價是來自哪一個 attester。

在上面的例子中指的是 Airbnb 跟 Booking.com，因為 attester ID 不變，所以使用者可以證明這些評價是來自於 Airbnb 或是 Booking.com

User State Tree (UST)

是一 Sparse merkle tree

每個使用者都有自己的 User State Tree，其中樹葉表示所收到的評價的hash值，而葉子的 index 表示 attester ID，UST 樹葉的定義為

USTLeaf = hash(posRep, negRep, graffiti)

例如 Airbnb 的 ID 是1，Booking.com 的 ID 是 3，那 Alice 的 User State Tree 中 index 為 1 的地方會有自己在 Airbnb 獲得的總評價的 hash 值，而 index 為三的地方則為空的評價。另一個使用者 Bob 的 User State Tree 亦同，在 index 為 1 的地方會有自己在 Airbnb 獲得的評價，在 index 為 3 的地方會有自己在 Booking.com的評價。

Global State Tree (GST)

是一固定樹高的 Incremental merkle tree

Global State Tree 的葉子到樹根都是公開的資訊，當有使用者註冊或者更新 User State Tree 時會在 Global State Tree 裡新增一個新的樹葉，GST 樹葉的定義為：

GSTLeaf = hash(id, USTRoot)

先送出的樹葉先插入到較前面的 index，之後的樹葉依序插入 GST 中。

以 Alice的例子來說，當 Alice跟 Bob註冊 Unirep時，都會產生一個 GST的樹葉，更新 GST的樹根，若 Alice先註冊，則 Alice的 index會較 Bob前面。注意，這邊的 Airbnb 和 Booking.com 等 attester 並不是用這棵 Global State Tree註冊。

Epoch Tree

是一個 Sparse merkle tree

Epoch Tree 跟 Global State Tree 一樣從葉子到樹根都是公開的資訊，Epoch Tree 中樹葉的 index 為 epoch key，而樹葉的值為該 epoch key 的 sealed hash chain

每個 epoch key 都有一個 hash chain，hash chain 的定義為

hashedReputation = hash(attestIdx, attesterID, posRep, negRep, graffiti)hashChain[epochKey] = hash(hashedReputation, hashChain[epochKey])

此 hash chain 是為了防止使用者漏收了哪一筆評價，如果使用者少收了其中一筆評價，則 hash chain 的結果會完全不同。最後驗證時如果其中一個 epoch key 的 hash chain 改變，會造成 epoch tree 樹根跟原本的 epoch tree 的樹根不同。

而 Sealed hash chain 是在每個 epoch 結束後，Unirep 智能合約會再將這條 hash chain 再 hash 一次

sealedHashChain[epochKey] = hash(1, hashChain[epochKey]) isEpochKeyHashChainSealed[epochKey] = true

需要再把這條 hash chain 封起來的用意是，避免這把 epoch key 過了這個 epoch 之後再繼續接收評價，所以 epoch tree 會用這個 epoch key 最後的 sealed hash chain 去計算樹根。

Nullifier

中文翻譯為註銷符，當我們要防止一件事情重複發生時，就可以使用這個 Nullifier

Unirep 中使用到 Epoch key nullifier：此 nullifier 是用來限制使用者不能在不同的 epoch 使用重複的 epoch key 去收取評價，也不能被其他使用者使用；此外也可以用來檢視使用者是否重複執行 UST 的更新

Nullifier 也用 hash 計算，但多使用一個 domain 變數，避免與 epoch key 產生相同的 nullifier 而洩露自己擁有的 epoch key，也可以用不同的 domain 產生不同用途的 nullifier

epochKeyNullifier = hash(EPOCH_KEY_DOMAIN, id, epoch, nonce)

Epoch Transition

一個 epoch 結束過後，要透過 epoch transition 的步驟，更新 Unirep 及使用者的狀態

其中要做的事包含將智能合約上的 epoch 數加一，還有將所有 epoch key 的 hash chain 封起來

接著使用者就可以執行 User State Transition 更新自己的 UST

User State Transition

到下一個 epoch 後，使用者可以透過自己的 identity，找出自己在前一個 epoch 所有的 epoch key，並根據每把 epoch key 收到的評價更新到自己的 UST，最後計算出最新的評價狀態，產生一個 GST的樹葉，插入 GST 中 (如同註冊時一樣)。

使用者之後如果要花費評價或者產生下一個 epoch 的 epoch key 時，因為必須確認自己的 UST 在當前的 epoch，所以需要經過 User State Transition 確保自己有一個 GST 的樹葉在 GST 中。

Unirep 協定

有了 Unirep 的名詞定義後，接著介紹 Unirep 是如何運作的。

註冊

Unirep 的 user 和 attester 的註冊方式不同：

User signup and attester signup in Unirep

User

User 透過 semaphore 產生 identity 和 identity commitment，identity 就如同私鑰，identity commitment 就如同公鑰

將 identity commitment 和預設的 UST 樹根經由 hash 計算得 GST 的一個樹葉

若使用者要證明自己在某個 epoch 有註冊或者有更新自己的 UST，則證明自己是 GST 的某一個樹葉，利用零知識證明的方法，輸入 identity、UST 樹根，還有 merkle tree 中要計算 hash 值的相鄰節點，則最後可得到一個 GST 的 root，其他人可以驗證這個 GST 的 root 是否符合這顆公開的 GST。

Attester

Attester 則是用自己的錢包，或者用智能合約的地址註冊，呼叫 attester sign up 的 function 後，Unirep 會指定一個 attester ID 給這個地址，往後 attester 用相同錢包或合約地址給予評價時，Unirep 會檢查此地址是否被註冊，若有註冊則可以給予 epoch key 評價。

以 Alice 和 Bob 為例，Alice、Bob、Airbnb的房東、Booking.com的房東會產生 identity 並且透過 Unirep 合約用 user 的註冊方式獲得一個 GST 的樹葉代表自己；
而 Airbnb 和 Booking.com 會透過 attester 的註冊方式，使用特定的錢包地址或是撰寫智能合約呼叫 Unirep 的 attester sign up function。
當然 Alice 或 Bob 如果想用自己的錢包註冊為 attester 也是可以，這時合約就會紀錄 Alice 和 Bob 的錢包地址，並給予一個新的 attester ID。

給予評價

在 Unirep 中評價的接收者是 epoch key，接著介紹 user 和 attester 是如何互動。

How an attester gives reputation to an epoch key

Alice 在 Unirep 註冊過後，就可以產生 epoch key 接收評價

epochKey = hash(identity, epoch, nonce)

但 Airbnb 的房東看到這把 epoch key，要如何知道 Alice 確實是 Unirep 的合法使用者，且 epoch key 的 是合法的，例如 nonce 小於 5，或者 epoch 是當前的 epoch？

如果 Alice 直接提供 epoch 和 nonce，別人沒有 identity 也無法計算此 epoch key，更不用說如果 Alice 提供 identity 會造成 Alice 完全沒有隱私可言，所有人都可以計算出 Alice 收過哪些評價。

因此我們用一個零知識證明，證明此 epoch key 是合法的。細節請參考 epoch key proof，主要是證明使用者有一個合法的 GST 樹葉在 GST 中，並且 epoch 和 nonce 也都符合。

房東得到 Alice 提供的 epoch key 和 epoch key 的證明，並且透過 Unirep 的合約驗證通過之後，就可以給予評價。

獲得空投評價、使用者可以給予評價的限制可以由各個應用自行定義，例如 Airbnb 可以決定空投 30 個正評給使用者， Booking.com 可以決定空投 20 個正評給使用者。

另外，為了確認房東也是合法的使用者，也為了防止房東重複花費 (double spending) 自己的評價點數，Unirep 上的應用也可以用 reputation nullifier 及其 proof 去證明使用者合法使用自己的評價。

例如，此 reputation nullifier 可以用下列計算方式取得：

reputationNullifier = hash(REPUTATION_DOMAIN, id, epoch, nonce)

當 reputation nullifier 及 proof 產生後，就會與房東要給的評價一起發送到 Airbnb 的智能合約上，智能合約會驗證 proof 是否合法，nullifier 是否有被發送過，若檢查都通過的話則 Unirep 會紀錄此評價給 epoch key，並將 hash chain 更新。

接收評價

使用者即使可以證明自己擁有哪一把 epoch key 並且大家都知道這把 epoch key 有多少評價，但這有可能造成使用者故意忽略其他把 epoch key 中對自己不好的評價，因此 Unirep 限制使用者只能在每個 epoch 結束，每把 epoch key 都封起來之後，才能用 User State Transition 更新自己的評價。

User State Transition in Unirep

這裏也是用 User State Transition Proof 去保證使用者是根據正確的方式計算出最新的 UST，且用 epoch tree 限制使用者必須處理每一把 epoch key 的結果。

亦即，需要等到 epoch 結束後，Alice 才能透過 User State Transition 獲得 Airbnb 房東的評價，更新自己的使用者狀態。

證明評價

當使用者通過 User State Transition 之後會有最新的 UST 狀態，此時 Alice 就可以透過 reputation proof 向 Booking.com 她有來自 Airbnb 的評價，在reputation proof 中檢查使用者是否有其宣稱的 UST (例如總共有多少好評、多少差評來自哪一個 attester ID)，並且此 UST 的狀態儲存在當前 epoch 的 GST 中。

在生成 reputation proof 時，即使 Alice 總共有 100 個好評，但 Alice 仍可以產生「至少有10個好評」的證明，Booking.com 的房東若驗證成功，則只能知道 Alice 宣稱的「至少有 10 個好評」而不能知道 Alice 總共有 100 個好評。

常見問題

Alice 能不能給 Airbnb 的房東評價？ Alice 能不能給 Bob 評價？

可以。

Airbnb 的房東和 Bob 也都能產生 epoch key，因此如果 Alice 有兩者的 epoch key 及合法的 proof 則可以給予評價。此時 Alice 可以選擇透過 Airbnb、Booking.com、或甚至自己的 Ethereum account 當作證人給予評價 (也必須選擇一個證人)。

Alice 可以透過 Unirep 給 Airbnb 評價嗎？

如果 Airbnb 也透過 Unirep 註冊為使用者，並且產生 epoch key 的話就可以。但如果 Airbnb 只註冊為證人的話不行。

Alice 可以證明評價來自哪一個 Airbnb 房東嗎？

如果 Airbnb 的房東沒有註冊為證人，則 Alice 不能證明評價來自哪個房東。

若 Airbnb 的房東用自己的 Ethereum account 註冊為證人，則 Alice 只能證明評價來自這個 Ethereum account，但無法知道這個 account 是一個 Airbnb 的房東。

從 Airbnb 獲得的評價可以在 Booking.com 花費嗎？

需看 Booking.com 的智能合約如何定義，但一般來說不行，因為 attester ID不同，但未來可能會開發各個應用程式之間的兌換評價功能。

如果遲遲不執行 User State Transition 會發生什麼事？會不會收不到之前的評價？

若 Alice 在第一個 epoch 註冊，並在第一個 epoch 產生 epoch key 接收評價，但 Alice 到第五個 epoch 才執行 User State Transition，那 Alice 會根據第一個 epoch 的 GST、epoch tree 執行 User State Transition，因此仍然可以在第五個 epoch 收到來自第一個 epoch 的評價；而在第二到第四個 epoch 因為 Alice 無法產生出合法的 epoch key proof，因此無法接收評價。

User State Transition 可以自動執行嗎？

不行。

只有使用者主動給出私鑰，即 semaphore 的 identity，才可以產生合法的 User State Transition proof，若將私鑰交給第三方幫忙執行可能會侵害使用者的隱私。

結論

Unirep 是一個具有隱私保障的評價系統，透過 ZKP 的保護使用者可以在匿名的情況下收取評價、給予評價、並且向他人證明自己的評價。Unirep 可以用於跨應用程式間的評價證明，可以在 A 應用程式中獲得評價，並向 B 應用程式證明在 A 應用程式中獲得多少評價。若想了解更多有關 Unirep ，可以參考 Github、文件或加入 telegram 群組討論。

本文感謝 CC, Nic, Kevin, Doris 協助審稿。

Unirep介紹: 使用ZKP的評價系統 was originally published in Taipei Ethereum Meetup on Medium, where people are continuing the conversation by highlighting and responding to this story.

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這篇是昨晚直播的目錄，很重要，也很有趣，請多多分享喔～

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3:50 PArt One 疫情摘要
-一樣，只談新冠死亡人數，不提疫苗總死亡人數，誤導大眾
-7/12準備微鬆綁；倫敦也不敢延期
-說吧，病毒超長眼，只要你們肯鬧，就不會感染
-1％施打率，台中殘劑搶破頭，典型用恐慌製造需求
-北農等批發市場，也要搞疫苗護照；圈住食物

11:06 PArt Two 大家一起來溯源
-蝦米，說是中共病毒，其實起源來自華府啊！
24:30 2013年五角大廈就資助3,900萬美元於北卡教堂山大學生化武器基因工程
25:04 根據美軍事化學戰上校塞林博士，佛奇與Baric博士早在武漢病患住院前，就簽訂莫德納疫苗協議！
-難道有Do拉A夢時光機，知道未來會有新冠病毒？
-2015年進行世上首次類SARS冠狀病毒跨物種感染的研究
-Baric美國研究團隊又參與2016年重組冠狀病毒感染人的研究。
27:35 2018年說「 Global Catastrophe: Opportunities Exist 」（全球災難來、大家發大財！）
37:13 2020年大選前夕川普服用吉利德的藥物瑞德西韋
-這藥廠董事長為前國防部長倫斯斐，也在疫情尚未問世前神奇參與解藥研發，Baric又「剛好」擔任負責人，這水之深難以想像
42:15 川普倒底是否為DS?
49:55 總結：這病毒為生化戰；但藍綠政客都不敢說，只敢玩「奶頭議題」（titty-issue)
50:19 扣扣vs館長；兩邊撈的朱學恆被告、賈女跑去國外等

57:33 PArt Three 疫苗政客等著坐牢吧！
-口連，mRNA技術發明人Rober Malone也被查禁
-linkedin被刪，30年履歷毀於一旦；被美國醫療體系拉黑
1:04:18 他說，最近的疫苗根本是實驗用藥，已違反紐倫堡公約、赫爾辛基宣言、美國通用規則等聯邦法條
-台灣我查過，藍綠政客名嘴唆使大眾打「實驗性質藥物」，觸犯國內的《人體試驗管理辦法》、《藥品優良臨床試驗準則》、《人體生物資料庫管理條例》及《人體研究法》；慢慢坐牢吧！

進入你斗內、我回答：

1:11:14 感謝斗內大德STanely Chang 大師有入台股嗎?
1:12:29 感謝斗內大德Andy Han說:本来我住的城市要封锁到7月底的，结果市民立马就在网上搞个pention，市政府就back off 了。今天解封。根本不用像伦敦一样上街。 以后不用讲华府病毒了，干脆叫高人病毒。

感謝斗內大德Jesse說：純斗，感謝大師分享！

1:17:29 感謝斗內大德小瑞說：大師您好新冠肺炎疫情是否可視為老共對內團結民心的措施，似乎老共抗疫成功後，人民對共產黨的支持度達到高峰；另外這波疫情台灣人民損失慘重，中產階級被消滅殆盡，是否已給老共吞併台灣創造有利的機會呢
-是！
-比較像，沒有武統、只有暗統
-將兩岸用大監控社會連在一起，變社會信用連體嬰

1:22:50 感謝斗內大德鰻魚說：請問台灣強調英文環境強調文法，在國外這樣英文文法行的通嗎？為何台灣英文程度無法提升？
-文法不是重點，而是可否說自己的Style
-老外一對錯文法、double negative，什麼是關係代名詞都不知
-但講的很順，語言是種flow，不能光用大腦講
-沒環境，沒自信，誰說台灣人一定要說英文的，
-有這自信，就能講出風格，看看法國人

感謝斗內大德Verna Liu

1:34:26 感謝斗內大德小道姊說：請問大師封面不遜言行電影片名？請大師回顧2015年認真接受拆台網友挑戰翻譯外交家網站review美國對台政策，美國是唯一有幫台灣機率的國家，並請比較rent+a+mob租用暴民與IPO寄生蟲吸取養分。
-the Trial of the Chicago 7
-外交家那段太久，記不起來，談談rent a mob與IPo吧
-跟現在的Fack-checker很像

感謝斗內大德周小清說:純斗內，感謝您的付出
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1:42:50 感謝斗內大德uU說:大師好!如果公司強迫打疫苗，有什麼辦法解決嗎?全公司幾乎都打了，公司說有感染的風險，現在主管不強迫我，但他告訴我老闆有可能規定要打。跟你之前說的一樣，之後可能沒打疫苗就不能幹嘛，剝奪工作權...

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重點一：均值定理 (https://youtu.be/isNK9d84w9M)
重點二：微分與極限的聯手 (羅必達法則) (https://youtu.be/hlxqEekNp6U)
重點三：極值分析相關名詞介紹 (https://youtu.be/2yhgGjBklyc)

重點四：微分求極值法 👈 目前在這裡
├ 精選範例 4-1 (https://youtu.be/lLKom0DqeLA)
├ 精選範例 4-2 (https://youtu.be/FGFPRqU9cHQ)
└ 精選範例 4-3 (https://youtu.be/J_gbxchkrp4)

重點五：漸近線 (https://youtu.be/OsSzTSmP2Io)
重點六：微分作圖法 (https://youtu.be/wJgwmAyfCek)
重點七：微分量 (https://youtu.be/6IlPFdXRv7o)
重點八：牛頓法 (https://youtu.be/CoJnSuq75ac)

【積分前篇】(https://www.youtube.com/playlist?list=PLKJhYfqCgNXikxrvbQAnPa_l3nFh5m9XK)
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祝天下的爸爸們父親節快樂OwO
預告8/14(五)~8/17(一)這4天小美接到了高雄加盟展的工作，南部的朋友們想探班可以趁這次機會唷~
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今天開始掛雙語台了！繼續努力練習英文吧~
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08/05(三)PM23:30 聊聊天、吃宵夜、看小美台讓你好入睡~
08/06(四)PM23:30 星期四正式變成固定開台的日子囉 ！
08/07(五)PM23:30 祝天下的爸爸們父親節快樂OwO
08/09(日)PM23:30 鋼鐵+審判地下城農好農滿，傳說魔礦有沒有那麼難掉？
這星期實況一樣開好開滿，大家記得要注意看每次小美PO的內文啊~不然很容易漏掉消息的。
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‼️重要公告‼️
目前固定實況魔靈的時間為每週三、四、五、日的PM23:30開始，如果有多的時間就會增加天數。
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公開徵求剪片師or想成為剪片師的你~
小美想要開始剪一些實況精華但實在沒有時間做這件事情+自己的後製能力不是非常專業，
所以想徵求剪片師或是有想往這方面走的人來做這件事，有興趣的人請私訊小美詳談唷！
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