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[爆卦]expansion數學是什麼？優點缺點精華區懶人包

雖然這篇expansion數學鄉民發文沒有被收入到精華區：在expansion數學這個話題中，我們另外找到其它相關的精選爆讚文章

在 expansion數學產品中有3篇Facebook貼文，粉絲數超過4,466的網紅賭Sir（杜氏數學），也在其Facebook貼文中提到， 普及數學界，有一系列叫做《數學女孩》嘅書，出名將數學深入淺出。呢套書嘅日本作者（千祈唔好以為係㗎妹）另外出咗本書，教人寫同數學有關嘅文章，其中提到一個「測試自己理唔理解某個原理」嘅方法——舉例💁🏻‍♂️⁣ ⁣ 「舉例為理解的試金石。」嗰個日本四眼佬（唔係眼鏡娘）咁樣講🤭⁣ ⁣ 如果你舉得出例子，就代...

　同時也有4部Youtube影片，追蹤數超過2萬的網紅數學老師張旭，也在其Youtube影片中提到，【摘要】 本影片說明泰勒展開式的直觀推導方法，然後再證明由直觀方法推導出來的公式是正確的，最後再將泰勒展開式應用再估計 e、π 和根號取值上 【加入會員】 歡迎加入張旭老師頻道會員 付費定閱支持張旭老師，讓張旭老師能夠拍更多的教學影片 https://www.youtube.com/channel...

「expansion數學」的推薦目錄

expansion數學 在 ?賭Sir｜數學考試專家 Instagram 的精選貼文

2021-09-03 14:17:26

普及數學界，有一系列叫做《數學女孩》嘅書，出名將數學深入淺出。呢套書嘅日本作者（千祈唔好以為係㗎妹）另外出咗本書，教人寫同數學有關嘅文章，其中提到一個「測試自己理唔理解某個原理」嘅方法——舉例💁🏻‍♂️⁣ ⁣ 「舉例為理解的試金石。」嗰個日本四眼佬（唔係眼鏡娘）咁樣講🤭⁣ ⁣ 如果你舉得出例子，就代...

expansion數學 在 Herman Yeung Instagram 的最讚貼文

2020-09-07 18:14:27

呢兩個月非常之咁忙，update 一下大家我地各科的進度 學店時代正式終結之 DSE Biology 正式開始出片 https://www.youtube.com/playlist?list=PLzDe9mOi1K8oSnhUSkuaWV9d7FbyJDSPE 連埋明天6:00 PM 會放出的影片...

  • 賭Sir（杜氏數學）

    expansion數學 在 賭Sir（杜氏數學） Facebook 的精選貼文

    2021-07-30 21:30:53
    有 7 人按讚

    普及數學界，有一系列叫做《數學女孩》嘅書，出名將數學深入淺出。呢套書嘅日本作者（千祈唔好以為係㗎妹）另外出咗本書，教人寫同數學有關嘅文章，其中提到一個「測試自己理唔理解某個原理」嘅方法——舉例💁🏻‍♂️⁣
    ⁣
    「舉例為理解的試金石。」嗰個日本四眼佬（唔係眼鏡娘）咁樣講🤭⁣
    ⁣
    如果你舉得出例子，就代表你理解咗😆⁣
    如果你舉唔出例子，就代表你未理解😉⁣
    ⁣
    咁要舉咩例子呢？嗱，如果你熟到熟一熟嘅，乜例子都舉到啦！至怕係半生半熟，唔知熟唔熟嗰啲狀態嘛，明嘅明嘅。日本佬（真係並非女孩）提出咗五款含金量最高嘅例子：⁣
    ⁣
    第一，典型嘅例子。例如，Binomial Expansion爆開 (3x+2y) 嘅5次方；⁣
    第二，極端嘅例子。例如，Integrate x乘(x+1)嘅99999次方；⁣
    第三，唔符合嘅例子。例如，有咩情況唔用得M2嘅Mathematical Induction？⁣
    第四，一般性嘅例子。例如，對於任何事情，M1嘅Bayes’ Theorem點寫出嚟？⁣
    第五，你最關心嘅例子，對我哋嚟講，就係DSE常出題型。⁣
    ⁣
    你想知自己溫熟未，試吓每個 #知識點 都列呢五款例子，自問自答吧！⁣
    ⁣
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    #DSE備試王 會教你實用嘅溫習方法、糾正你學習迷思；保證講嘅 Skillset #即學即用🔥⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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    🎲賭Sir｜高階數學考試專家⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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    頻道 #杜氏數學 2016年創辦，訂閱65,000+，多條教學影片點擊100,000+；2018年獲出版社邀請，撰寫暢銷書《5**數學男人嫁得過》推廣「聰明應試」理念，並鼓勵年青人堅守自信。⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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    🧠以心理學、高效學習融入補習教育當中⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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    從中文大學風險管理學士畢業之後，鑽研超速學習法（Ultralearning）及教育心理學，將高效學方法先行用於自己身上，無間斷學習新知識；四年後重返校園，完成中文大學數學碩士（大數據分析）課程，期間考入門薩學會（Mensa），實證超速學習法。⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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    🏆座右銘⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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    好多人以為自己因為對數學無興趣，所以數學低分；事實剛好相反：因為自己數學低分，所以對數學無興趣。試諗下，若然你有歌神嘅聲線，你仲會對唱歌無興趣嗎？⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣⁣
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  • 台灣物聯網實驗室 IOT Labs

    expansion數學 在 台灣物聯網實驗室 IOT Labs Facebook 的精選貼文

    2021-01-05 10:44:35
    有 1 人按讚

    用深度神經網路求解「薛丁格方程式」，AI 開啟量子化學新未來

    作者 雷鋒網 | 發布日期 2021 年 01 月 02 日 0:00 |

    19 世紀末，量子力學的提出為解釋微觀物質世界打開了一扇大門，徹底改變了人類對物質結構及相互作用的理解。已有實驗證明，量子力學解釋了許多被預言、無法直接想像的現象。

    由此，人們也形成了一種既定印象，所有難以理解的問題都可以透過求解量子力學方程式來解決。

    但事實上能夠精確求解方程式的體系少之又少。

    薛丁格方程式是量子力學的基本方程式，即便已經提出七十多年，它的氫原子求解還是很困難，超過兩個電子的氫原子便很難保證精確度。

    不過，多年來科學家們一直在努力克服這一難題。

    最近，來自柏林自由大學（Freie Universität Berlin） 的科學團隊取得了突破性進展，他們發表的一篇名為《利用深度神經網路解電子薛丁格方程式》的論文，登上《Nature Chemistry》子刊。

    論文明確指出：利用人工智慧求解薛丁格方程式基態解，達到了前所未有的準確度和運算效率。該人工智慧即為深度神經網路（Deep-neural-network），他們將其命名為 PauliNet。

    在介紹它之前，我們先來簡單了解薛丁格方程式。

    什麼是薛丁格方程式？

    薛丁格方程式（Schrödinger Equation），是量子力學中的一個基本方程式。又稱薛丁格波動方程式（Schrödinger Wave Equation），它的命名來自一位名為埃爾溫·薛丁格（Erwin Schrödinger）的奧地利物理學家。

    Erwin 曾在 1933 年獲得諾貝爾物理學獎，是量子力學奠基人之一。他在 1926 年發表的量子波形開創性論文中，首次提出了薛丁格方程式。它是一個非相對論的波動方程式，反映了描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律。

    具體來說，將物質波的概念和波動方程式相結合建立二階偏微分方程式，以描述微觀粒子的運動，每個微觀系統都有一個相應的薛丁格方程式，透過「解方程式」可得到波函數的具體形式以及對應的能量，從而了解微觀系統的性質。

    薛丁格方程式在量子力學的地位，類似牛頓運動定律在經典力學的地位，在物理、化學、材料科學等多領域都有廣泛應用價值。

    比如，應用量子力學的基本原理和方法研究化學問題已形成「量子化學」基礎學科，研究範圍包括分子的結構、分子結構與性能之間的關係；分子與分子之間的相互碰撞、相互作用等。

    也就是說，在量子化學，透過求解薛丁格方程式可以用來預測出分子的化學和物理性質。

    波函數（Wave Function）是求解薛丁格方程式的關鍵，在每個空間位置和時間都定義一個物理系統，並描述系統隨時間的變化，如波粒二象性。同時還能說明這些波如何受外力或影響發生改變。

    以下透過氫原子求解可得到正確的波函數。

    不過，波函數是高維實體，使捕獲特定編碼電子相互影響的頻譜變得異常困難。

    目前在量子化學領域，很多方法都證實無法解決這難題。如利用數學方法獲得特定分子的能量，會限制預測的精確度；使用大量簡單的數學構造塊表示波函數，無法使用少數原子進行計算等。

    在此背景下，柏林自由大學科學團隊提出了一種有效的應對方案。團隊成員簡‧赫爾曼（Jan Hermann）稱，到目前為止，離群值（Outlier）是最經濟有效的密度泛函理論（Density functional theory ，一種研究多電子體系電子結構的方法）。相比之下，他們的方法可能更成功，因在可接受計算成本下提供前所未有的精確度。

    PauliNet：物理屬性引入 AI 神經網路
    Hermann 所說的方法稱為量子蒙地卡羅法。

    論文顯示，量子蒙地卡羅（Quantum Monte Carlo）法提供可能的解決方案：對大分子來說，可縮放和並行化，且波函數的精確性只受 Ansatz 靈活性的限制。

    具體來說，團隊設計一個深層神經網路表示電子波函數，這是一種全新方法。PauliNet 有當成基準內建的多參考 Hartree-Fock 解決方案，結合有效波函數的物理特性，並使用變分量子蒙地卡洛訓練。

    弗蘭克‧諾（Frank Noé）教授解釋：「不同於簡單標準的數學公式求解波函數，我們設計的人工神經網路能夠學習電子如何圍繞原子核定位的複雜模式。」

    電子波函數的獨特特徵是反對稱性。當兩個電子交換時，波函數必須改變符號。我們必須將這種特性構建到神經網路體系結構才能工作。

    這類似包立不相容原理（Pauli’s Exclusion Principle），因此研究人員將該神經網路體系命名為「PauliNet」。

    除了包立不相容原理，電子波函數還具有其他基本物理特性。PauliNet 成功之處不僅在於利用 AI 訓練數據，還在將這些物理屬性全部整合到深度神經網路。

    對此，FrankNoé 還特意強調說：

    「將基本物理學納入 AI 至關重要，因為它能夠做出有意義的預測，這是科學家可以為 AI 做出有實質性貢獻的地方，也是我們關注的重點。」

    實驗結果：高精確度、高效率

    PauliNet 對電子薛丁格方程式深入學習的核心方法是波函數 Ansatz，它結合了電子波函數斯萊特行列式（Slater Determinants），多行列式展開（Multi-Determinant Expansion），Jastro 因子（Jastrow Factor），回流變換（backflow transformation,），尖點條件（Cusp Conditions）以及能夠編碼異質分子系統中電子運動複雜特徵的深層神經網路。如下圖：

    論文中，研究人員將 PauliNet 與 SD-VMC（singledeterminant variational，標準單行列式變分蒙地卡羅）、SD-DMC（singledeterminant diffusion，標準單行列式擴散蒙地卡羅）和 DeepWF 進行比較。

    實驗結果顯示，在氫分子（H_2）、氫化鋰（LiH）、鈹（Be）以及硼（B）和線性氫鏈 H_10 五種基態能量的對比下，PauliNe 相較於 SD-VMC、SD-DMC 以及 DeepWF 均表現出更高的精準度。

    同時論文中還表示，與專業的量子化學方法相比──處理環丁二烯過渡態能量，其準確性達到一致性的同時，也能夠保持較高的計算效率。

    開啟「量子化學」新未來

    需要說明的是，該項研究屬於一項基礎性研究。

    也就是說，它在真正應用到工業場景之前，還有很多挑戰需要克服。不過研究人員也表示，它為長久以來困擾分子和材料科學的難題提供了一種新的可能性和解決思路。

    此外，求解薛丁格方程式在量子化學領域的應用非常廣泛。從電腦視覺到材料科學，它將會帶來人類無法想像的科學進步。雖然這項革命性創新方法離落地應用還有很長的一段路要走，但它出現並活躍在科學世界已足以令人興奮。

    如 Frank Noé 教授所說：「相信它可以極大地影響量子化學的未來。」

    附圖：▲ Ψ 表示波函數。

    資料來源：https://technews.tw/2021/01/02/schrodinger-equation-ai/?fbclid=IwAR340MNmOkOxUQERLf4u3SK0Um6VQVBpvEkV_DxyxIIcUv8IP88btuXNJ6U

  • 余海峯 David . 物理喵 phycat

    expansion數學 在 余海峯 David . 物理喵 phycat Facebook 的最佳貼文

    2016-08-03 00:04:16
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    【科普文分享】是非物理 —世上真的有窮人冷氣機嗎？／湯博士的物理空間

    ／／世上沒有免費午餐。很多新奇想法聽起來都很有趣，但創意歸創意，總不能無視科學事實。如果只是用了汽水空樽就能夠製造冷氣，恐怕人人都會把空樽放在風扇前面享受涼快，所有冷氣機製造商都要關門了！在這個年代，網上的美麗故事很多，有些人更會借做善事為名而賺錢。這些故事是真是假，還是必須要小心判斷。／／

    【是非物理 —世上真的有窮人冷氣機嗎？】

    六月中的時候有很多朋友和記者詢問我關於孟加拉一個所謂「窮人冷氣機」的原理。因為這新聞被廣泛報導，問的人實在很多，中學老師亦想利用這個例子教學。我不想在其他媒體過份簡化地討論這問題，怕斷章取義會引起公眾誤會，所以避開了所有訪問，到了現在才在這裡解釋一下。我的結論很簡單：這個所謂「窮人冷氣機」根本不合乎物理原理，是沒有可能做到的。

    我在這裡會盡可能用簡單的語言，未必能滿足有數理底子的讀者，所以我之前寫了一篇涉及數學的推導的文章，詳細解釋這現象，有興趣的朋友可以在這個網址下載：
    www.phy.cuhk.edu.hk/sstong/drtongsharing/cooler.pdf

    新聞說在孟加拉有一間科技公司為居住在鐵皮屋的貧民設計了一個土法冷氣機，方法是把很多空汽水膠樽沿中間剪斷，然很把這些膠樽的瓶口插在一塊有很多洞的木板上，再把木板安上鐵皮屋的牆上 (圖一)。據說空氣進入室內時通過狹窄的瓶口時會降溫，產生冷氣的效果 [1]，據稱可以把室內溫度降低五度之多。

    氣體膨脹為何會變冷？我看見不少朋友嘗試用中學物理的理想氣體定律解釋這問題。但須知 PV=nRT 涉及的是三個物理量，氣體膨脹時體積V 增加，但氣壓 P也有可能減少，並不能得出溫度 T 必定會改變的結論。通常氣體膨脹變冷，是因為氣體的膨脹過程很快，沒有足夠時間讓周圍環境的熱流入。氣體膨脹時推開周圍的氣體 (即「作功」)，失去能量，內能減少，如果這時外界沒有熱流入補充，溫度便會下降 [2]。

    當空氣被「擠進」汽水樽的狹窄樽頸時 (圖二)，氣體流速增加。根據伯努利原理 (Bernoulli's principle) [3]，流速增加會使氣壓下降，於是氣體就膨脹了一點。如前所述，與周圍環境沒有熱交換的情況下，氣體膨脹，溫度便下降。

    可惜這原理並不能用來造「窮人冷氣機」。問題出自以下幾點：(1) 絕熱膨脹的「降溫」過程只出現在空氣經過樽頸的時侯，過了樽頸，流速自然會慢下來，壓力和溫度都會回復正常，因此噴出來的氣體溫度不會有大改變，不可能是「冷氣」，(2) 除非樽頸的風速接近空氣中的聲速，否則風速變化的所造成的壓力一般遠小於大氣壓，所造成的溫度變化微乎其微，(3) 利用狹窄的樽頸的確可以增加空氣的流速，但除非在屋內有電泵或其他設施降低室內的氣壓，否則只有很少空氣會被抽進膠樽頸而被加速，所以實際上樽頸的流速不會很快，造成的溫度改變也很小。

    給大家一些數字概念。如果以風速13 m/s 計算，涉及的氣壓改變只有約 100 Pa，是大氣壓力約千分之一 [4]，所造成溫度變化非常小。如果要流過樽頸的空氣溫度改變攝氏一度，樽頸中的風速需要接近 45 m/s，但這已是超越颱風級數的風速，除非屋內有電泵抽氣，否則你不可能迫使大量空氣進入狹窄的樽頸並加速至這個程度 [5]。這麼高的風速違反日常生活經驗。你總不會以為只要把膠樽放在牆上，就會有颱風級數的冷風從另一邊噴出來吧！？

    宣傳這個所謂「窮人冷氣機」的影片中還出現了一個常見的物理謬誤 [1]：很多人以為，張開口「呵氣」噴出來的空氣感覺較熱，合上口吹出來的空氣就感覺較冷 (圖三)，是因為閉口吹出來的空氣經過口唇的細縫時速度提高，空氣出來以後急速向外膨脹，使溫度降低。但實際的情況是，從口中吹出來的空氣速度最多只有每秒鐘數米 [6]，所產生的氣壓改變僅相當於大氣壓的萬分之一，又怎可能導致空氣膨脹從而改變溫度？要解釋空氣吹到手上的冷熱感覺，倒不如嘗試考慮口中吹出的熱空氣如何和周圍的冷空氣混合，較快的風速是否能更有效地帶走手上的水份和吹散周圍熱空氣等問題。這些解釋可能更實際、更接近事實。

    即使是讀過物理的人，也未必了解現實環境中物理量的大小，可能是因為這些了解對於讀書考試並沒有幫助。但一旦要利用物理解釋日常生活現象，種種謬誤就由此而來。在一般日常生活情況下，風只是空氣的整體運動 (bulk motion)，涉及的膨脹和溫度改變微乎其微。當然，在日常生活中也有很多例子顯示了氣體膨脹或收縮時，溫度的而且確會改變。例如用氣泵為足球打氣，最終氣壓可能是大氣壓力的兩倍，泵氣時不斷作功把氣體壓縮，泵內空氣的溫度就自然明顯提高。汽車輪胎內的氣壓是大氣壓力的數倍，爆胎時氣體湧出並大幅膨脹，冷卻效應便很明顯了。

    那麼這個「窮人冷氣機」有沒有可能降低室內的溫度？比較合理的解釋是它增加了空氣的對流。鐵皮屋受到日照，溫度變得很高，而且傳熱很快，屋內被加熱後，發出的紅外線會也被金屬反彈，導致散熱很慢，產生很強的溫室效應。在這種情況下，室內的溫度會比室外的高，所以只要增加通風口，加強空氣對流，就能降低屋內溫度。

    世上沒有免費午餐。很多新奇想法聽起來都很有趣，但創意歸創意，總不能無視科學事實。如果只是用了汽水空樽就能夠製造冷氣，恐怕人人都會把空樽放在風扇前面享受涼快，所有冷氣機製造商都要關門了！在這個年代，網上的美麗故事很多，有些人更會借做善事為名而賺錢。這些故事是真是假，還是必須要小心判斷。

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    給進階讀者的參考

    [1] 類似的報導很多，例如：
    https://www.youtube.com/watch?v=i2NWr6bRKWU
    [2] 氣體在膨脹過程中沒有足夠時間與周圍環境進行熱交換 (heat exchange)，這就是所謂絕熱膨脹 (adiabatic expansion)。氣體膨脹時向外作功 (do work)，失去能量，因此氣體的內能 (internal energy) 減少，如果外界沒有熱流入補充，氣體的溫度便會隨內能下降。這是熱力學第一定律的結果。
    [3] 伯努利方程說在穩流 (steady flow) 中以下物理量沿流線 (streamline) 守恆：
    P + ½ρv² = 常數
    其中 P是流體壓強，ρ是密度，v 是流速。
    [4] 我們可以利用根據伯努利方程大概估算一下風速與氣壓改變的關係：
    P₁ + ½ρv₁² = P₂ + ½ρv₂²
    ΔP = P₂ - P₁ = ½ρ(v₁² - v₂²)
    簡單地設 v₂ = 0, v₁ =13 m/s, 空氣密度為 ρ = 1.2 kg/m³，ΔP = 101 Pa，只是大氣壓力的千分之一。注意伯努利方程兩項的比例約是P/ρ和v²，但 c² = P/ρ 大約就是空氣中聲速的平方。所以兩項的比例是 v²/c²，即除非風速接近聲速，否則氣壓的改變必遠小於大氣壓。
    [5] 有數理底子的朋友可以看看我在這篇文章的推導：
    www.phy.cuhk.edu.hk/sstong/drtongsharing/cooler.pdf
    [6] 你可以找一個電子風速計量度一下。也有人試過利用伯努利原理，估計出一個人用力吹氣入狹窄的飲管時，風速最多也不過是25 m/s左右，從狹窄的飲管換算成開闊的空間，也就是每秒鐘數米左右。

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