※ 引述《anson0810 (奇  )》之銘言：
: 標題: [積分] 請問兩題積分的問題...
: 時間: Sat Apr 2 03:22:10 2005
:
: 1. S S exp -(3x^2+4xy+2y^2) dx dy
: 積分範圍從負無限大到無限大
:
: 2.
: ∞
: ∫ sin(x^2) dx
: 0
:
: 麻煩各位高手了
: tkx
:
: --
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: ◆ From: 61.216.83.112
: 推 Acrylates:第二題令u=x^2試試 218.174.160.33 04/02
: 推 anson0810:可是令u=x^2時,du就變成2xdx了..多一個x???? 59.112.82.177 04/02
那我解解看吧

2
令 u = x

du = 2x dx

du 1
dx = ----- = ------ du
2x 2√u

x→0 則u→0
x→∞ 則u→∞


╭∞ 1
原式 = │ sinu． ------ du
╯0 2√u

1 ╭∞ sinu
= ---│ -----du
2 ╯0 √u

╭∞ sinu
接著分兩部份來討論 │ ------du
╯0 √u
2
╭∞ -u √π
(1) 因 │ e du = --- (這部份請你自己算 一般課本參考書上都有的重要經典題)
╯0 2

√u
令 υ = √(ut) dυ = ----du
2√t
2
╭∞ -υ ╭∞ -ut √u √π
故 │ e dυ = │ e ---- dt = ---
╯0 ╯0 2√t 2

-ut
╭∞ e √π
即 │ ---- dt = -----
╯0 √t √u


(2) ╭∞ sinu
│ ------du
╯0 √u

╭∞ 1 ╭∞ -ut 1
= │ sinu．( ---- │ e ----dt) du
╯0 √π ╯0 √t

-ut
1 ╭∞╭∞ e sinu
= --- │ │ ---------- dtdu
√π╯0 ╯0 √t

-ut
1 ╭∞╭∞ e sinu
= --- │ │ ---------- dudt
√π╯0 ╯0 √t


1 ╭∞ 1 ╭∞ -ut
= --- │ ---- {│ e sinu du}dt
√π ╯0 √t ╯0

╭∞ -ut 1
(│ e sinudu用分部積分算 可得 ------ )
╯0 1+t^2


1 ╭∞ 1
= --- │ ------------dt
√π ╯0 √t (1+t^2)


2 1
(令 y = t dt = ------ dy)
2 √y



1 ╭∞ 1 1
= --- │ ------------ ．----- dy
√π ╯0 1/4 2√y
y (1+y)



1 ╭∞ 1
= ----- │ ------------ dy
2√π ╯0 3/4
y (1+y)
1 3
(上式積分為beta函數吧 B(--- , ---) )
4 4

1 1 3
= -----B(---,---)
2√π 4 4

Γ(m)Γ(n)
(beta和gamma有個互換公式 B(m,n) = ------------)
Γ(m+n)

1 3
Γ(---)Γ(---)
1 4 4
= ------ --------------
2√π 1 3
Γ(---+---)
4 4


π
(Γ(1) = 1 , Γ(1/4)Γ(1-1/4) = -----------)
sin(π/4)


1 (√2)π π
= ------ ------------ = √(---)
2√π 1 2



回到本題

1 ╭∞ sinu
原式 = --- │ ------du
2 ╯0 √u

1 π
= --- √(---)
2 2 #



╭∞ sinu
│ ------du 結果最好記一下
╯0 √u

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