為什麼這篇dy dx介紹鄉民發文收入到精華區：因為在dy dx介紹這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者herstein (暈~~)看板Math標題Re: [微積] 有什麼微積分的資源麼?時間Tue ...
※ 引述《alfadick (悟道修行者)》之銘言：
: 最近念到line integral，覺得有些地方難以理解，
: 不是抽象的問題，而是符號的嚴謹性，有些地方一想深入，就苦惱書上都沒寫。
: 有推薦的資源嗎？書籍、網站，或者什麼pdf之類的，感恩。
: (推薦初微就好，不用高微)
在微積分中:
基本上dx,dy,ds都可以形式上把他當變數來處理。
ds^2=dx^2+dy^2+dz^2
真正的意義是
(ds/dt)^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2
而dy=f'(x)dx只是dy/dx=f'(x)的方便符號。
如果你不嫌麻煩，你可以每次都把dy=f'(x)dx寫成dy/dx=f'(x)。
你那些符號移來移去其實就是一個變數變換的過程而已(或微分連鎖律)。
線積分
∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy (**)
的實際意義是:
假設(x(t),y(t))是你的曲線的參數式，則(**)定義為
∫[P(x(t),y(t))dx/dt+Q(x(t),y(t))dy/dt]dt
所以你事實上可以不厭其煩的把每個變數步驟都寫出來的。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 132.64.25.47
→ BaBi :其實我覺得該篇原po有些鑽牛角尖了... 05/28 20:12
→ alfadick :dy=f'(x)dx <-> dy/dx=f'(x) 這還可以理解 05/28 22:23
→ alfadick :我的理解方式是redefine dx跟dy的意思 05/28 22:23
→ alfadick :(我沒學過非標準分析學, 只能從lim硬幹) 05/28 22:23
→ alfadick :that is, dy/dx=lim (...)/(...) 來看 05/28 22:24
→ alfadick :但因為分子分母極限都是0,不可寫微lim(...)/lim(...) 05/28 22:24
→ alfadick :所以dy/dx=f'(x)不能把dx乘到右邊變成dy=f'(x)dx 05/28 22:24
→ alfadick :但是事實上dy=f'(x)dx還是對的 05/28 22:25
→ alfadick :把dy定義成lim(f(x)-f(a))=f'(a) lim(x-a) 05/28 22:25
並不是這樣定義的dx的正確幾何意義是R上的餘切叢的截面(section of the cotangent bundle)
用一維的看不出來，我用二維來說明。
假設p=(p_1,p_2)是R^2上的點，假設v=(v_1,v_2)是R^2上的向量，我們定義
(v)_p=(v_1+p_1,v_2+p_2)
我們定義
(v)_p+(w)_p=(v+w)_p, a(v)_p=(av)_p
則所有型如(v)_p的集合構成一個二維的向量空間，這個向量空間記為T_p R^2
稱為R^2在p點的切空間。
我們定義dx_p[(v)_p]=v_1, dy_p[(v)_p]=v_2。則dx_p, dy_p是T_pR^2上的線性泛涵。
讓p點去改變，我們就得到dx,dy。換句話說:
dx:就定義為p-> dx_p, dy就定義為p-> dy_p。
如果x->h(x)是一個變數變換，我們可以驗證:利用定義
dh=h'(x)dx
這是因為一般的函數，df被定義為方向導數。同時在利用dx是基底，可以把df=adx
進而證明a=f'(x).
這是嚴謹的dx定義。
但基本上在微積分的程度，不需要這樣的看法，因為作積分時，這樣的規則其實就是
變數變換(or chain rule)
"在微積分中，我們並不需要以上的看法"
→ alfadick :ps: 寫成在x=a的倒數/或者導函數f'(x)都可以 05/28 22:25
→ alfadick :如果dy,dx不用lim去describe, 我認為那要嘛是17世紀 05/28 22:26
→ alfadick :的老古董, 要嘛是20世紀的非標準分析學 05/28 22:26
→ alfadick :要嘛是高等微積分才會講的東西 05/28 22:26
→ alfadick :所以h大這篇文的一起除乘dt等, 是高等微積分? 05/28 22:27
→ alfadick :還是初微允許、合理、能嚴謹詮釋的範圍? 05/28 22:27
→ alfadick :更正: "把dy定義成.."改成把dy=f'(x)dx定義成 05/28 22:31
推 alfadick :初微課本從來沒介紹過ds^2=dx^2+dy^2+dz^2這種 05/28 22:36
→ alfadick :一堆differential出現在同個式子裡是什麼意思 05/28 22:36
→ alfadick :所以為什麼我看到dt,dr,ds就很感冒就是這樣 05/28 22:36
在微積分的階段可以把他當作符號簡化的計算，一切都是合法且合理且嚴謹。→ alfadick :由其用他們乘乘除除，最後還擺進integral裡時... 05/28 22:37
→ yuyumagic424:應該有介紹過 只是他們的介紹在你眼中都很不入流 05/28 23:10
→ harveyhs :不是乘乘除除...是chain rule... 05/28 23:27
推 alfadick :yu大 我真的不是那個意思zzzz 不多解釋了 05/28 23:32
→ alfadick :ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 => 左右同除dt 05/28 23:35
→ alfadick :這跟chain rule的關係是？抱歉初學者真的看不出所以 05/28 23:35
→ alfadick :然。我的chain rule就只有課本上說的那樣而已 05/28 23:35
→ alfadick :這問題不是嚴謹不嚴謹了 是腦袋轉不過來 推不到 05/28 23:47
→ harveyhs :你可以看Courant 05/28 23:55
→ alfadick :所以果然是我那本書書的問題..... 05/28 23:58
→ alfadick :多打一字 05/28 23:58
個人覺得你有點鑽牛角尖了。基本上微積分學會怎麼算比較重要。
其實微積分的書已經很嚴謹了
推 thisday :書書^^ 05/29 00:28
※ 編輯: herstein 來自: 109.67.29.49 (05/29 04:10)
※ 編輯: herstein 來自: 109.67.29.49 (05/29 04:11)
推 alfadick :h大, 你一下說微積分階段dx可以那些都是合法合理且嚴 05/29 09:47
→ alfadick :謹, 一下又說「dx是餘切叢的截面」 05/29 09:47
→ alfadick :是什麼「線性泛涵」,這些都是超過初微的東西 05/29 09:48
→ alfadick :所以當我上面問你說「這是高等微積分?還是初微可以 05/29 09:49
當你使用dx這樣的符號時，dy=f'(x)dx這樣的寫法用微分形去解釋但在初等微積分中，dy=f'(x)dx只是dy/dx=f'(x)的方便符號。因此，
你在處理這樣的方便符號，其實你是在處理變數變換的過程。因為，
在初微中，我們處理的只有積分，並不是真的處理differential form。
例如:
假設y=f(x)是一個變數變換。我們希望處理積分
∫H(y)dy
我們自己在計算的時候，是把它寫成
H(y)dy=H(f(x))f'(x)dx.
它是一個變數變換的過程(變數變換是來自於微分連鎖律)
在微積分中，我們這麼寫只是為了方便。完整的寫是
∫H(y)dy=∫H(f(x))f'(x)dx
我們希望計算積分
∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy
我們常常直接在P(x,y)dx+Q(x,y)dy上處理。如果使用弧長參數
s(t)=∫√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt,
積分可以改寫為
∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫(F˙n)ds
其中n=(dx/ds,dy/ds), F=(P,Q).
而ds^2=dx^2+dy^2只是以下積分表示的簡寫。
參數s(t)=∫√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt
所以你在處理微積分時，你並不需要真的處理dx,dy，當你在處理這些differential
form時，你這些都可以實際的寫成積分形式。
→ alfadick :允許、合理、能嚴謹詮釋的範圍？」時, 05/29 09:49
→ alfadick :「可以當作變數變換(or chain rule), 一切合法嚴謹」 05/29 09:50
→ alfadick :然後當我問你，既然初微嚴謹(或大概能給出神韻)， 05/29 09:51
→ alfadick :你說用chain rule可以證，是怎麼證的？ 05/29 09:51
→ alfadick :你又說我鑽牛角尖，然後一方面又說微積分的書很嚴謹 05/29 09:51
→ alfadick :了........ 05/29 09:51
→ alfadick :ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 => ... 05/29 09:53
→ alfadick :來推論下去. 05/29 09:53
推 alfadick :後面有點為辯而辯了,只是要闡述我一開始po文原意 05/29 10:13
→ alfadick :當然我真正一開始po文原意是 05/29 10:13
→ alfadick :微積分課本就算用變數代換去解釋 05/29 10:13
→ alfadick :也是有怪怪的地方 05/29 10:14
沒有怪怪的地方，只是你需要時間去理解。→ harveyhs :藉機問herstein大XD, 05/29 16:44
→ harveyhs :我看的書常是先透過df/ds, (s為曲線參數) 05/29 16:45
→ harveyhs :定義切平面的基底V[f]=V^i\partial_i f 05/29 16:45
→ harveyhs :然後透過f=x^i, 去identify, dx是daul basis, 05/29 16:46
→ harveyhs :這樣跟你直接定linear functional 有層次上的差異嗎 05/29 16:46
→ harveyhs :還是這樣想是比較去連結我們舊有的直覺 05/29 16:47
基本上differential form並不是linear functional,它是每個點p都指定一個linearfunctional。假如f是定義在R^n上的一個可微分函數，那麼，任給一點p,與切向量v
我們可以定義方向導數
v_p[f]=df_p(v)=d/dt (f(p+tv))|_t=0.
所以df_p就成為T_pR^n上的linear functional。這個linear functional df_p
隨著p點改變。當f=x^i是座標函數時，dx^i_p:T_p R^n-> R剛好就是座標投影。
我們可以驗證{dx^1_p,...,dx^n_p}是(T_pR^n)*的基底。
※ 編輯: herstein 來自: 109.65.4.153 (05/29 16:57)
→ Vulpix :linear functional field XDD 05/29 17:52
→ alfadick :h大最後的白字補充寫的很好!!!! 跟我猜的一樣 05/29 18:59
→ alfadick :(非馬後炮XD), 有老師說積分的代換法 05/29 19:00
→ alfadick :du=g'(x)dx 就‧是‧嚴‧謹‧的‧理‧由‧了 05/29 19:00
→ alfadick :他媽的我看了很火 05/29 19:00
→ alfadick :「它是一個變數變換的過程(變數變換是來自於微分 05/29 19:01
→ alfadick :分連鎖律)在微積分中，我們這麼寫只是為了方便。 05/29 19:02
→ alfadick :完整的寫是..」完全同意啊!!!!!! 05/29 19:02
推 alfadick :我上面說錯了, 變數變換我完全agree 05/29 19:06
→ alfadick :這個不接受就說不過去了XD 05/29 19:07
→ alfadick :只是ds那邊太複雜 不像是那麼plain的u-substituion 05/29 19:07
→ alfadick :↑但h大上面有補充ds那了 我理解完再來發言！！ 05/29 19:07
→ alfadick :感謝h大熱心回覆 :p 05/29 19:07
→ alfadick :我上面說錯了, 變數變換我完全agree => 10:14 的地方 05/29 19:13
→ harveyhs :謝herstein大～ 05/29 21:02