【專欄】高中微積分和大學微積分的 6 個差別‼
　
各位晚安
今天來寫一篇很久之前就想寫的文章
只是一直遲遲沒有動筆
　
「高中微積分和大學微積分有什麼差別？」
　
這個主題一定有其他老師寫過
但一樣地
我從來都不會因為別人做過了自己就不做
因為每個老師的歷練不同
所以講出來的就算有些地方是一樣的
但還是多多少少會有差異之處
　
1⃣
　
首先，絕對會被提到的
就是高中微積分只教多項式函數的微積分
　
也就是說
高中三年級數甲就算認真學完以後
還是不會算 2^x 的微分或 log(x) 的積分
(以上是指普遍的應屆畢業生)
　
當然有些物理老師可能會偷教三角函數的微積分啦
所以我上面故意不提三角函數😅
　
所以有些同學如果覺得高中微積分讀的好
大學微積分就會躺著過的話
那可能就想的太美好了
　
因為大學微積分並不是只有多項式函數的微積分
所以要補足所有基本函數的微積分
還是需要花時間努力一下
　
而各種基本函數的微分我的頻道目前都已經拍好了
想看的同學可以透過這個連結：https://reurl.cc/Kknmln
　
2⃣
　
上面提到唸完高中微積分還是不會 log(x) 的積分
這個除了因為高中的微積分只有多項式的微積分以外
還有一個重點
那就是高中微積分並沒有分部積分
　
大學微積分中的積分技巧有很多種
變數變換、三角置換、分部積分、部分分式...
　
以上這些高中微積分頂多只會教變數變換
但其實多項式的積分也用不太到
所以事實上是沒有教什麼積分技巧的
普遍都是逐項積分
因此到了大學以後還是要花很多時間熟練這些技巧
　
而關於各種積分技巧
剛好我們丈哥有整理
有興趣的話可以參考這部影片：https://reurl.cc/1xadXW
　
如果你是高三應屆畢業生
建議先看過所有基本函數的微分
然後了解微積分基本定理
再來看這個影片
不然可能會看得有些吃力
　
3⃣
　
高中教過許多關於基本函數的公式
　
對了，忘記說明什麼是基本函數
基本函數就是形如常數函數、多項式函數
指對數函數、三角函數、反三角函數
以及以上這些函數在四則運算以下所產生出來的函數
　
對於這些基本函數的公式
到了大學，其實很多都用不到
　
當然現在因為教改的關係
用不到的公式已經越來越少了
　
但到底最後在微積分裡面絕對要記起來的公式到底有哪些呢？
我這邊簡單條列幾個
　
例如：
x^n ± y^n 的因式分解公式
x = a^(log_a (x))
log_a (x_1 + x_2) = (log_a (x_1))．(log_a (x_2))
log_a (x_1 - x_2) = (log_a (x_1)) / (log_a (x_2))
三角函數的和角公式
cos^2 (x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin^2 (x) = (1 - cos(2x)) / 2
　
以上這些都是在學習大學微積分時必備的
當然還有其他的
以後有機會在專門拍一部影片來統整
　
至於其他如同 sin(x/2) 的公式
或是 a^(log_b (x)) = b^(log_a (x)) 這種比較炫技的公式
其實在大學微積分裡面都用不太到
所以大概都可以忘掉沒有關係
　
4⃣
　
提到函數的公式
就不得不提大學微積分多了哪些函數是高中沒講的
　
首先，高斯函數 [x]
這個在高中數學的正規教材裡面並沒有提到
但有些補習班會在寒暑假時拿來當做一個專題
　
另外是反三角函數
這個在以前台灣的高中數學是有講的
(大概民國 100 年以前都有講)
但現在已經刪掉了
所以這對現在的台灣高中生來說
無疑是增添了一份學習上不可避免的負擔
　
最後是形如 sinh(x) 和 cosh(x) 這類型的超越函數
(所謂超越函數就是無法滿足任何多項式方程的函數)
這些看起來跟 sin(x) 還有 cos(x) 的函數
常常會讓本來就快忘光高中數學的大一學生搞得更混亂
　
當然可能還有一些函數
但我目前最有印象的就是這三個
　
5⃣
　
上面提到超越函數
那接下來講講一個特別的超越函數：指對數函數
　
在台灣的高中數學裡面
早就透過描點和指對數運算律建立指對數函數的世界觀
但到了大學
大概會有一半的學校重來一次
　
在大學微積分裡面
會先透過極限定義 e 這個數字
然後再用指數運算律建立 e^x 這個函數
嚴格說起來應該是 exp(x) 這個函數
最後再用反函數的概念定義 log(x) 這個函數
　
講到這邊，不得不強調一點
高中的 log(x) 是以 10 為底數
而大學的 log(x) 則是以 e 為底數
並且常常會把 log(x) 縮寫成 ln(x)
　
所以在定義上的不同
這也是在初學大學微積分時一定要注意的
　
如果想知道 e 這個自然底數如何產生的話
可以參考這個影片：https://reurl.cc/g7jORL
　
6⃣
　
以上講的都是大多數台灣的學生初學大學微積分時所會遭遇到的
和高中微積分不同之處
　
最後我想講一個只有理工學院的同學會遇到的差異之處
那就是「極限的嚴格定義」
　
高中微積分在教極限的時候
通常只教直觀的極限
也就是透過計算和觀察函數的左右極限來求極限
　
但到了大學微積分
特別是理工學院的學生
就絕對逃不掉極限的嚴格定義
　
這邊列一下定義內容：
　
「lim_(x→a) f(x) = L」若且唯若
「對任意 ε > 0 存在 δ > 0 使得凡 0 < |x - a| < δ 均有 |f(x) - L| < ε」
　
噁心吧？
　
這個是絕大數理工學院的學生不可避免的主題
而且會出現在第一次小考或期中考裡面
然後很多學生就送分了
送還給教授分數
　
雖然說就算整個大學微積分都學完了但極限的嚴格定義從未真正了解過也沒差
但如果大學微積分一開始就考差
那是不是表示期末考就得更努力才能把及格分數追回來呢？
　
很多人都講反正十年後也用不到微積分
現在這麼努力幹嘛
　
其實我從來都沒有要所有人都要努力
我只要求想跟我學微積分的學生要努力
　
但說真的
就算十年以後用不到
但如果在學微積分時不努力
導致隔一年又要在重來一次
那不是把自己的人生拖延住了嗎？
　
學生階段的學習老實說很多都不是為了未來是否實用
而是為了當下
為了證明自己是一個能夠安裝任何知識的頭腦
證明自己是能夠撐過各種無聊和困難習題考試的人
然後透過這一次又一次的證明
去證明自己是一個可以理解問題並解決問題的人
如此而已
　
至於講未來會不會用到的那些人
我認為都只是想為自己當下的逃避找一個藉口而已
　
不然我也可以這樣想
反正我總有一天會死
我的教學影片總有一天會因為沒有人推廣而再也沒人看
那我幹嘛拍？
　
有時做一件事情或是學習
真的只是為了解決當下的其他問題而已
　
不用為每一件事情都去思考他的未來
特別是在學生時期
既然到了這間學校這個科系
就好好學習，累積漂亮的 GPA
　
當然不只學業要顧
如果行有餘力，也應該找公司實習累積經驗
不過這都是在大三大四以後才要思考的事
　
在面對「極限的嚴格定義」的當下
我強烈建議學生就是一個想法
不要想太多
試著盡自己最大的努力，在進入下一個章節以前
能把這個學的多透澈就多透澈
　
當然也要考量目前手上所有科目的重量
不能顧此失彼
但就盡最大努力
顧好所有科目
　
以後如果有機會
我會再拍影片或寫文章講講大學生如何取捨目前手上的學科還有大學如何選課比較聰明
　
嗯... 我又離題了
　
總之「極限的嚴格定義」對剛上大學的理工學院學生來說
絕對是大學生涯第一次試煉
　
如果想趁著開學前先偷念一點的同學
可以反覆觀看這部影片：https://reurl.cc/oLonv5
　
///
　
好啦，講了這麼多
不知道認真看完的有幾個
　
但就如同我上面講的一樣
很多事情做下去是不太會去想太多未來會不會怎樣的
當然這是建立在這件事不會傷害到自己且對他人有幫助的情況之下
　
這次大概就分享到這邊
如果迴響還不錯的話應該很快就會有下一篇
所以如果有認真看完的朋友們
覺得認同的話幫我按個讚或分享
覺得有話想對我說的話就在下面留言
有認真看完不知道要講什麼但想表示一下支持的
可以在下面留言「我有看完！」
　
其實我都蠻佩服關注我粉專的朋友們
也佩服有在看我頻道的同學們
因為我的貼文大多都很長
影片也都是超硬核教學影片
　
感謝支持我們的人們
因為有這些支持
我們才能繼續走下去😀
　
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置換積分法（x=asinθ,x=atanθ）のポイントは！
✅ √(a²－x²) の定積分は「 x = a sin θ 」に置換して │ a cos θ │ を作る
✅分母が x²＋a² の積分は「 x = a tan θ 」に置換して cos²θ/a² を作る
✅ tan の区間対応は禁止区域( π/2 , －π/2 等)を通らないように「 －π/2 ＜ θ ＜ －π/2 」の範囲で考える
✅積分区間は計算が楽になるようにとる

✅関連動画✅
２乗の根号のはずし方
https://youtu.be/yJXDDncCwfY

半角の公式
https://youtu.be/Jrc40D9-XPg

🎥前の動画🎥
置換積分法❷定積分～演習
https://youtu.be/JTdIxIZu8OI

🎥次の動画🎥
【早稲田】置換積分法❸(x=asinθ,x=atanθ)～演習
https://youtu.be/jTCgsdyPkGA

⏱タイムコード⏱
00:00　xの式→θの式❶
00:33　xの区間→θの区間❶
01:23　dx→dθ❶
01:51　計算❶
02:05　xの式→θの式❷
02:36　xの区間→θの区間❷
03:33　dx→dθ❷
04:02　計算❷
04:13　置換積分法のまとめ
04:57　区間対応のポイント

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ジャスミンメイク
▶︎https://youtu.be/EiS8codD_gE

ジーニーメイク
▶︎https://youtu.be/iDLwFAAhZl8

ジーニーDIY
▶︎https://youtu.be/6XbEpnH9ZEo

アラジンメイク
▶︎https://youtu.be/Tvw44qBnFRk

メイクチャンネルで公開した、実写版アラジンのジャスミンメイクの時に使った衣装アクセサリーのDIYです。
メイク動画を、映画公開日と同時に公開したかったので、こちらのアクセサリーや衣装は映画公開前に作成しました。
なので、作り始めた当初、資料が短い公式トレーラー映像などしかなく、その中からジャスミンのシーンを拡大し、真似して作成したのですが、鮮明な画像がなかったので、細かいデザインが違っているところがあります。申し訳ございません。


作り方の解説は、日本語字幕でもご覧いただけます。

◆作り方◆
-ネックレス・ピアス・衣装のハート部分-
２mmのプラ板に大きくアクセサリーのデザインを書きます。
それを切ります。
それを型紙に、必要な枚数の倍の数複製していきます。
ハートのような形は、ドレス、ピアス２つ、ネックレスの４つ必要なので８枚。
葉っぱのような形はドレスに２箇所なので４枚
ネックレスの量端にある３つの輪は、倍の枚数ではなく２枚作ります。
小さくなってしまうので、多少歪んでいても後で分からなくなります。
ヒートガンをあてて縮ませます。
直後、固くならないうちに、平らなものに挟んで形を整えます。
１２枚全て縮ませて、平らにします。
ハートと葉っぱのような形の半分の枚数に内側に線を書きます。
その線に沿って削ります。
ビットの大きさを変えて、細かいところまで綺麗に削っていきます。
枠の内側にUVレジンを塗って削っていない方と重ねます。
はみ出したレジンや、縮むときの歪みを調整しながら形を整えて削っていきます。
耐水ペーパーに水を乗せて削って形を整えます。
UVレジンに黒い着色料を少し混ぜたものを上に塗って、UVレジンを厚く塗って表面張力でプラ板の角をなくします。
硬化したら、パーツを取り付ける穴を空けます。
ピアス用は下３つ、ネックレス用は５つ、ドレス用は空けないでおきます。
ゴールドの９ピンをハートの枠に収まる長さにカットします。
UVレジンをつけて、先ほど空けた穴に入れて硬化します。
表面をシンナーで綺麗に拭き取ります。
金箔用接着剤を３液混合し、金箔を貼る部分に二度塗りします。
９ピンがついているものは、止血鉗子で摘んで塗ると全体的に塗れて、そのまま乾かせます。
ドレス用は、裏は貼り付けてしまって見えないので表面にだけ塗ります。
接着剤が硬化したら金箔を貼ります。
上から筆で押押して金箔を密着させます。
金箔を払います。
金箔にコーティング剤を塗ります。
水性ペンキをエメラルドグリーンになるように混合して、枠の内側に塗ります。
アウトラインを綺麗な形で書くと仕上がりが綺麗になります。
ゴールドのワイヤーを切って、半円に曲げてピアス２つにだけ上部分にUVレジンで取り付けます。
先ほど塗った部分にUVレジンを流して、ヒートガンで平らになるまで熱します。
ワイヤーを切って、４つ楕円形を作ってUVレジンに浸してつなぎ目を無くします。
その上から金箔を貼ってゴールドにします。
先ほどのハートの中に埋め込みます。
丁度良い大きさと色のガラスストーンが見つけられなかったので、自作することにしました。
UVレジンに、透明着色料を混ぜて型に流します。
その裏にレジンを薄く塗って比較的反射率の高いアルミホイルの上に置きます。
銀箔など、もっと鏡面仕上げなものに貼り付けたほうが輝きます。
一つ一つ切り離していきます。
周りのアルミホイルを綺麗にヤスリで削り落とします。
ドレスとピアス、ネックレスは、中のストーンの位置が違うので、確認しながら、ハートや葉っぱのような形の中に入れます。
次に、ハートのような形の下にある、ゴールドのパーツを作ります。
紙粘土を涙型にします。
下が平らの大きいもの、その下につく小さいものも作ります。
下が平らの大きいもの、その下につく小さいものも作ります。
乾いて濃くなり、レジンを塗って２段階濃くなるので、それを計算して、薄い色で塗ります。
先端に９ピンが入る太さのビットで穴を空けます。
先ほど切っておいた９ピンにレジンをつけて穴に入れて硬化します。
模様があるパーツは、細かい模様を掘っていきます。
これにも９ピンを取り付けます。
紙粘土は、表面がザラザラしているので、薄くUVレジンでコーティングして、表面を滑らかにします。
厚すぎると、先ほど掘った模様が消えてしまうので、薄くのばします。
硬化したら、拭き取り、接着剤を塗布して、金箔を貼ります。
コーティング剤を塗って乾かします。
大きい下が平らのものに、先ほど作ったものを貼り付けて、上からレジンでコーティングします。
パーツを取り付けます。
ネックレスの完成です。
ピアスもパーツを取り付けて、最後にゴールドのスタッズをつけたら完成です。

-ドレス-
次にドレスの中央部分を作ります。
エメラルドグリーンの細く切った布にゴールドのリボンを貼り付けます。
その上から、黄色の細いリボンも貼り付けます。
先ほどアクセサリーと一緒に作ったパーツを乗せます。
紐からゴールドの丸を切り離して、パーツとして使うことにしました。
たくさん貼り付けます。
次に、エメラルドグリーンのオーガンジーをブラジャーに縫い付けます。
形を確認したら、中央を縫って糸を引っ張って、シワを寄せます。
ブラに縫い付けたら、下の布を用意します。
形を整えて、縫い付けます。
袖は、上の部分が透けない布で、その下はバスト部分から繋がっているオーガンジーを使います。
バスト中央についているパーツとリボンを貼り付けます。
その下に３色のリボンを貼り付けます。
その下に、丸のパーツのついた紐を貼り付けます。
中央部分は切って、立体的にしてゴールドの板を貼り付けます。
斜めに黄色いリボンを貼ります。
その下のリボンは、ゴールドの上に黄色のラインが入っているように見えるので、まずは、それを作ってから、衣装に貼り付けます。
先ほど作った中央部分も貼り付けます。
ウエスト部分は、少し透けるような肌色の布を使います。
ドレスの下に縫い付けて、カットします。
袖の淵にも、丸いパーツのついた紐を取り付けて、その上に、捻ってあるゴールドの紐を貼り付けるために、
２本のゴールドのリボンを捻っていきます。
それを、先ほどの上に貼り付けます。
ドレスに付いているストーンを作ります。
レジンを黄色に着色して、シリコン型に流します。
硬化したら型から外します。
裏にレジンを塗ります。
ひっくり返して、アルミホイルにくっつけて、一つずつヤスリで削り落として形を整えます。
これをドレスに貼り付けます。
次に頭につけているベールを作ります。
ゴールドの工作用紙に穴あけパンチでたくさん穴を空けていきます。
その丸い切れ端に、レジンを垂らして、ゴールドのスタッズのようなものを作ります。
レジンがついている部分を下にして、等間隔に並べてその上からエメラルドグリーンのオーガンジーを被せます。
その上からレジンを垂らします。
その上に、レジンがついている部分を上にした残りのものを乗せて硬化すると、
両面スタッズかついているように見えるベールの完成です。

-ティアラ-
次にティアラを作ります。
ゴールドの工作用紙を切っていきます。
COSボードを切って厚みを出します。
COSボードを貼り付けます。
淵にゴールドの塗料を塗ります。
裏から厚紙を貼り付けます。
穴の中をエメラルドグリーンで塗ってから、レジンを流します。
その上からラインストーンを貼り付けます。
中央のハートが逆さになったようなものは、COSボードを切って、その枠も切って３枚貼り付けます。
それを金の塗料で塗って、内側をエメラルドグリーンで塗って、その中にレジンを流して、その上にラインストーンを貼り付けます。
ジャスミンを見ながら、真似をして、いろいろなストーンやスタッズを貼り付けていきます。
ティアラの完成です。

-指輪-
次に、ジャスミンが人差し指につけていた指輪を作ります。
リングゲージで、指の太さを測ります。
そのサイズの棒を取り出します。
プラ板切って、熱します。
縮んで柔らかくなったら、火傷に気をつけながらサイズ棒に巻きつけます。
金箔用接着剤を塗って、金箔を貼ります。
セロハンテープで小さな楕円形を作って、青く着色したレジンを流します。
硬化したら形を整えます。
レジンを上から薄く塗って硬化させて、上から銀箔を貼ります。
青いレジンの底の銀箔が光を反射して綺麗な宝石に見えます。
その上にまたレジンを薄く塗って金箔を貼ります。
先ほど作ったリングに接着剤を垂らして貼り付けます。
形を整えながら削っていきます。
上からコーティング剤を薄く塗ったら完成です。


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メイクシーンは、メイクチャンネルのジャスミンメイクをご覧ください。
▶︎https://youtu.be/EiS8codD_gE

作成中の衣装は、何を着ようか迷いましたが、アニメ版で、ジーニーの魔法の演出の時に登場する、赤いベリーダンス衣装のような女の人が好きで、映画の中で、衣装を作るシーンがあったら、あの女の人が作っていて欲しいな。という私の勝手な理想像ですが、あの女の人の衣装を真似てみました。アニメではポニーテールですが、アラビアンな雰囲気を出したかったので、少しアレンジして、赤い布をかぶってみました。


BGM作曲 編曲 / 山口一郎
撮影、編集 / AmaterasuEVE


▼YouTube
天照EVE Makeup Channel≫ https://www.youtube.com/channel/UC5xtPacH_bYTrtTW_aG0vlw
Mr.&Miss Maya≫ https://www.youtube.com/channel/UCnhcuJRb_F0_YZKuHta4ZbA

▼SNS
INSTAGRAM ≫ https://www.instagram.com/amaterasueve/