我來補充一下好了。

※ 引述《cmlrdg (心之語)》之銘言：
: ※ 引述《Jer1983 (stanley)》之銘言：
: : 各位好, 小弟最近在研讀Mendelson的introduction to mathematical logic.

Mendelson這本是本經典的好書,
不過真的要讀完它也不是很容易,
加油 ^^

: : 目前看到第一章第四節, 在談formal axiomatic thoery L.
: : 其中有一段說 If A,B and C are any wfs(well-formed formulas) of L,
: : then the following are axioms of L:
: : (A1) ( A => (B => A) )
: : (A2) ( (A => (B => C)) => ((A => B) => (A => C)) )
: : (A3) ( ((┐B) => (┐A)) => (((┐B) => A) => B) )
: : 實在不懂作者想表達的意思...這裡的axiom指的是公理嗎? 比方說實數系的公理那種?
: ^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^
: 是的...
: 簡單來說, 他的公理有A1, A2, 和A3三種型式
: 每一個型式都有(可數)無限多個邏輯句子.
: 你可以發現若將上述的A, B, C看成Boolean variables,
: 則A1, A2, A3都是tautologies, 因此被列為axioms.
: 其他tautologies都可以藉由這些axioms透過inference rules(如modus ponens)
: 來"證明."
用 tautology來說明axiom是什麼, 可以幫助理解,
不過還是必須小心:
(1) tautology 本身並不是一個很清楚的概念 (except in something like TLP)
而且多半預設了 true in all models 之類的 semantic notions.

(2) axioms 如你所言, 是透過infernece rules可以推導出這理論中的所有定理
的一些命題。這裡純粹是syntactic notions.

(3) 為何設定 A1 A2 A3這三個命題為axiom, 嚴格說並不是因為它們是tautology,
而是因為這三條配合此系統的推論規則可以推導出所有的定理。

: 值得一提的是:
: 這個系統探討的邏輯句子應該只有Boolean logic而已,
: 跟real number system的axioms不太相同,
: (real number system的某些axioms寫成Boolean型態並非tautologies,
: 因此這些axioms更像是人規定的...XD)
: 邏輯句子也不同,
: 不過意義是一樣的.
: (都是作為證明之前的基本事實...也就是規定是對的, 不需要證明)

應該這麼說, 一般設定實數系統包含了PA (Peano Arithmetics),
而PA又包含了述詞邏輯系統(predicate logic), 再包含了命題邏輯系統,
因此命題邏輯系統通常是被其它系統「預設」。

不過選哪些命題作為公理, 通常是看你的系統有哪些primitives,
然後選一些足夠推導出所有定理的最小集合為公理。
這其實沒有什麼原因, 像是自然演譯法中, 你可以完全沒有公理。
而這裡的這三條, 主要是因為這個系統把 material implication 與 negation
當成惟一的兩個primitives.

實數系統當然需要多一些公理, 畢竟它有更多的primitives,
像是大小就是最重要的一個要去characterise的東西。
我們不太能說實數系統的公理不是tautologies,
如果你tautology 指的是necessary truth的話,
實數系統裡的命題也都是necessary truth.
當然如果你的tautology指的是true in all models,
你當然可以construct 非實數系統的model使其公理為假,
但這似乎不是證明這些不是tautology。

: : 還有就是well-formed formulas, 請問版上有人可以用數學的例子說明嗎?
: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
: 這個版上之前有人討論過, 你可以按z進入精華區查一下
: 大致上來說, well-formed formulas是用recursive方式定義:
: 1) Boolean variable (如p)是wff
: 2) 若p和q都是wffs, 則 p and q, p or q, not p都是wffs
: 上述所說是Boolean logic的wffs.
: 因此像 (p and q) => p 是一個wff.
: 希望有解決你的問題^^
: 各位板大有錯請指正<(_ _)>

如果要了解什麼是 wff,
或許也要舉個不是wff 的例子, 下面三個都不是:
1. p xxx q not
2. p q ( not
3. (p and q) and r)

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