為什麼這篇Sin 2 x鄉民發文收入到精華區：因為在Sin 2 x這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！ 作者 [email protected] (+oo), ...
作者 [email protected] (+oo), 看板 math
標題 Re: [(sin nx)/(sin x)].(n屬於自然數).積分漸化式....謝謝各位大大
時間 咕嚕咕嚕火鍋站 (Sun Apr 6 11:58:29 2003)
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※ 引述《[email protected] (數學好難)》之銘言：
> (sin nx)/(sin x)
> (n屬於自然數)
> 的積分漸化式....謝謝各位大大
> http://home.pchome.com.tw/togo/fattychio/math/p10.jpg
> 該頁最最最下面......
> 這題我老師上課完全沒講....
> 他只淡淡說......這題不會考...有興趣自己玩玩..就跳過囉..
> 這是答案...
> http://home.pchome.com.tw/togo/fattychio/math/p11.jpg
> 位於該頁最最最上面
> 但是我卻不知道過程要如何演變的
I_n = ∫sin(nx)/sin(x) dx
= ∫[sin((n-1)x)cos(x) + sin(x)cos((n-1)x))]/sin(x) dx
= ∫sin((n-1)x) cos(x)/sin(x) dx + ∫cos((n-1)x) dx
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^(#) ^^^^^^^^^^^(##)
(##): ∫cos((n-1)x) dx = sin((n-1)x)/(n-1) + C
(#): ∫sin((n-1)x) cos(x)/sin(x) dx
= ∫sin((n-2)x)cos(x)^2/sin(x) + cos((n-2)x) cos(x) dx
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^(*) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^(**)
因為
cos^2(x) = 1 - sin^2(x), 所以 (*) = I_(n-2) + ∫sin((n-2)x)sin(x) dx
^^^^^^^^^^^^^^^^^^(***)
再把 (**)+(***) = ∫cos((n-2)x) cos(x)+sin((n-2)x)sin(x) dx
= ∫cos((n-1)x) dx = sin((n-1)x)/(n-1) + C
所以 I_n = (#) + (##)
= sin((n-1)x)/(n-1) + C + sin((n-1)x)/(n-1) + C + I_(n-2)
= 2 sin((n-1)x)/(n-1) + I_(n-2)
(把 C 含在 I_(n-2) 裡面.)
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我呀肥阿
↓真 是↑
的真的不
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標題 Re: [(sin nx)/(sin x)].(n屬於自然數).積分漸化式....謝謝各位大大
時間 興大天樞資訊網 (Sun Apr 6 14:44:27 2003)
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因為 sin nx/ sin x =sin((n-2)x +2x) /sin x
=(sin (n-2)x .cos 2x +cos (n-2)x .sin 2x) /sin x
=(sin (n-2)x .(1-2sin^2 x) +2.cos (n-2)x .sin x.cos x) /sin x
=sin (n-2)x /sin x +2.(cos (n-2)x .cos x -sin (n-2)x .sin x)
=sin(n-2)x /sin x +2.cos (n-1)x
積分之,得
∫sin nx/ sin x .dx=∫sin(n-2)x /sin x .dx +2.∫cos (n-1)x .dx
=∫sin(n-2)x /sin x .dx +2.sin (n-1)x/(n-1)
=>此式可以表為
I(n) =I(n-2) +2.sin (n-1)x/(n-1)
I(9) =I(7) +2.sin (8)x/ 8
I(7) =I(5) +2.sin (6)x/ 6
I(5) =I(3) +2.sin (4)x/ 4
I(3) =I(1) +2.sin (2)x/ 2 (I(1) =x)
把上幾式加起來 得
I(9) =x +2(sin (8)x/ 8+sin (6)x/ 6+sin (4)x/ 4 +sin (2)x/ 2)＃
※ 編輯: FATTY2108 來自: 218.184.96.137 (08/04 19:11)
標題 Re: [(sin nx)/(sin x)].(n屬於自然數).積分漸化式....謝謝各位大大
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> (sin nx)/(sin x)
> (n屬於自然數)
> 的積分漸化式....謝謝各位大大
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> 這題我老師上課完全沒講....
> 他只淡淡說......這題不會考...有興趣自己玩玩..就跳過囉..
> 這是答案...
> http://home.pchome.com.tw/togo/fattychio/math/p11.jpg
> 但是我卻不知道過程要如何演變的
I_n = ∫sin(nx)/sin(x) dx
= ∫[sin((n-1)x)cos(x) + sin(x)cos((n-1)x))]/sin(x) dx
= ∫sin((n-1)x) cos(x)/sin(x) dx + ∫cos((n-1)x) dx
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^(#) ^^^^^^^^^^^(##)
(##): ∫cos((n-1)x) dx = sin((n-1)x)/(n-1) + C
(#): ∫sin((n-1)x) cos(x)/sin(x) dx
= ∫sin((n-2)x)cos(x)^2/sin(x) + cos((n-2)x) cos(x) dx
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^(*) ^^^^^^^^^^^^^^^^^^(**)
因為
cos^2(x) = 1 - sin^2(x), 所以 (*) = I_(n-2) + ∫sin((n-2)x)sin(x) dx
^^^^^^^^^^^^^^^^^^(***)
再把 (**)+(***) = ∫cos((n-2)x) cos(x)+sin((n-2)x)sin(x) dx
= ∫cos((n-1)x) dx = sin((n-1)x)/(n-1) + C
所以 I_n = (#) + (##)
= sin((n-1)x)/(n-1) + C + sin((n-1)x)/(n-1) + C + I_(n-2)
= 2 sin((n-1)x)/(n-1) + I_(n-2)
(把 C 含在 I_(n-2) 裡面.)
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標題 Re: [(sin nx)/(sin x)].(n屬於自然數).積分漸化式....謝謝各位大大
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因為 sin nx/ sin x =sin((n-2)x +2x) /sin x
=(sin (n-2)x .cos 2x +cos (n-2)x .sin 2x) /sin x
=(sin (n-2)x .(1-2sin^2 x) +2.cos (n-2)x .sin x.cos x) /sin x
=sin (n-2)x /sin x +2.(cos (n-2)x .cos x -sin (n-2)x .sin x)
=sin(n-2)x /sin x +2.cos (n-1)x
積分之,得
∫sin nx/ sin x .dx=∫sin(n-2)x /sin x .dx +2.∫cos (n-1)x .dx
=∫sin(n-2)x /sin x .dx +2.sin (n-1)x/(n-1)
=>此式可以表為
I(n) =I(n-2) +2.sin (n-1)x/(n-1)
I(9) =I(7) +2.sin (8)x/ 8
I(7) =I(5) +2.sin (6)x/ 6
I(5) =I(3) +2.sin (4)x/ 4
I(3) =I(1) +2.sin (2)x/ 2 (I(1) =x)
把上幾式加起來 得
I(9) =x +2(sin (8)x/ 8+sin (6)x/ 6+sin (4)x/ 4 +sin (2)x/ 2)＃
※ 編輯: FATTY2108 來自: 218.184.96.137 (08/04 19:11)