【 奇幻遠距蒙特梭利（四）：手動建構數學概念 】

蒙特梭利的數學教育真的是相當的驚人，幾乎在每個微環節都跟我們家長們血淚經歷的傳統數學教育完全相反，也因此為娘的只能不停地撿下巴。

從九個月大就是蒙特梭利北鼻的小札克，今年夏天就要轉九歲了。一方面因為知道蒙特梭利教育是幾十年在實驗室中觀察培養出來的最符合人性的科學教育法，我因此充滿信心，加上學校老師幾次提醒家長千萬不要在家裡教捷徑，導致不想秧苗助長的媽媽拿令箭樂得在家翹腳省事。小札克一路八年蒙特梭利上來，在防疫居家遠距教學之前，我們在家還真的從沒管過他數學的事。小札克從來沒在家裡寫過任何練習題，我從來沒陪他練背過乘法表，學校也從來不給回家作業。

這次難得的遠距教學，終於讓我見識到多年來蒙特梭利教育一點一滴培育出的小札克的數學腦有多奇妙！

幾個蒙特梭利教育的大特色，像使用身體的運作與活動去強化學習、使用教具讓抽象概念具體化、每個小概念都要知其所以然才會前進到下一步等等，在數學教育上仍然是面面俱到。

在最初級的數學概念建構上，串珠教具展現出『1』是一粒珠子，『10』是十粒珠子的一條串珠、『100』是十排十粒串珠的正方型板子、『1000』是十塊100正方型板子合出來的正方體。正方形的板子隱藏了ten squared（十平方）的概念，果真是個square。每一邊長都是十粒珠的正方體也隱藏了ten cubed（十立方）的概念，果真又是個cube。

然後藉著個位數蒐集到十顆就要去換一條十粒的金色串珠，金色串珠蒐集到十排就又要起身去換一塊百粒珠的板子，板子蒐集到十片就要再跑去換一個千粒珠的正方體，孩子們開始建立出進位的概念。

孩子們使用了觸感、視覺、身體的運作等多重感官去細細感受這些抽象的數學概念，有了圖像記憶與肌肉記憶，一千與一的幾何數量差別變成理所當然的事。

等這些『個十百千萬』的基礎數量與加法進位的概念建立好後，又有同樣數字同樣顏色的串珠串在一起的超級長鍊教具。孩子們把長鍊擺出來，一顆顆地去數，再去標註倍數的地方。

舉例來說，如果是「eight chain」（八鍊）的話，孩子們從第一顆珠開始數到8就放上8的標籤，並且記錄8x1=8，數到16顆就放上16的標籤並且記錄8x2=16，就這樣慢慢地一直數一直標到好幾百顆去。乘法的抽象概念與數量感藉此完全具體化。

孩子們專注地數珠子，慢慢地完成一個個的標記，並且用筆記錄下來，常常要花個幾天才會完成這麼大的任務。這工程充滿挑戰性與滿足感，每次兩少爺完工後總是相當興奮驕傲地向我們報告。

把數量感建立好之後，進階一點的數學教具開始用不同顏色去代表不同位數。寫著「1」的個位數小牌子是綠色的，「10」的十位數牌子是藍色的，「100」的百位數是紅色的。「1000」的千位數又回到綠色，然後不同位數就這樣綠藍紅綠藍紅地循環下去。這三個顏色代表的不同位數會一直沿用到之後小學六年更進階的許多數學概念上。

使用這樣的教具，加上「交換」進位的概念（十個『1』的綠牌可以換一個『10』的藍牌，以此類推），從這邊開始孩子已經可以做到千位數的加減乘除。兩少爺五六歲時就已經很熟悉這些技巧了。我之後會放上兩少爺用自己在家製作的同樣『郵票遊戲』（stamp game）教具拍攝的教學影片，敬請期待！

同一時間，老師也介紹了不同顏色代表一到九這些個位數字的串珠。像紅色一顆珠的「1」串珠、綠色兩顆珠的「2」串珠、粉紅色三顆珠的「3」串珠等等。這些代表不同數字的串珠顏色，也會從幼兒班三年開始一直沿用到整個小學六年。

北鼻麥在幼兒班開始用彩色串珠練習加法與乘法。兩條咖啡色的「8」串珠，等於一條金色的「10」與一條紫色的「6」串珠。孩子一顆一顆地數，再去交換進位。這個我稍後也會放上北鼻麥示範教學。😆

在這個階段介紹的種種數學概念，都彷彿是在介紹簡單基本的事物道理般。像加法就是把珠子或牌子放在一起，遇到十個就交換成一個『10』串珠或『10』牌子去進位。減法就是把它「拿走」、乘法就是「同樣數字重複加很多次」、除法就是把手上的珠子牌子「分一分」這樣。

在概念建構的很穩固之前，老師並不會把這些任務打上「加減乘除」的標籤。北鼻麥的四位數減法做了這麼久，到這次遠距教學才發現原來那個就是所謂的『subtraction』（減法）。孩子們練習教具的時候，也都有著慢慢處理手上操作的工作、努力完成挑戰的態度，從沒寫過練習題或練習卷。

其實這中間還有好幾個我只聞其名不知其詳的數學教具，都是朝著建立超穩固的基礎數學概念的方向走。因為不知道很多其他教具的仔細用法，所以兩少爺腦中到底裝了什麼高深莫測的東西，我真的都不太清楚。

又因為他們完全不背乘法表也不太熟『加減乘除』的標籤，所以偶遇無聊親友故意來個『考考你』時，他們大部份時候都答不上來，總是會尷尬一番。

一直到這次陪讀小札克近三個月，才發現到他的蒙特梭利數學腦真的好厲害喔！

小札克對乘法挑戰熱愛得很。之前提過在剛開始委靡不振的遠距自學時期，我為了激勵他而在家自製了蒙特梭利小學教具的乘法板與彩色串珠。這個暗藏幾何概念的乘法板上，不同的位數就是從小就很熟的同樣的綠藍紅綠藍紅顏色在循環著。小札克在我們乘法板完工後的第一件事，就是給自己出了個大挑戰25,637,842,349 X 987,654。

雖然小札克從沒背過乘法表，在學校常常做乘法圖型（pattern）的塗畫遊戲，又從小一直數珠子不知道數了幾千串。像在這個十一位數乘六位數的乘法板挑戰上，小札克就必須分別做六十六次個位數的數珠子乘法與進位的練習。

我在一旁沈默觀察著，發現他大概有三四成的乘法表已經因為熟能生巧而能直接記住答案了。其他還沒記住的，有時候他會喊著『I know the pattern！』努力冥想幾秒就想出來了。就算要數珠子，他也很少需要去一顆顆慢慢數，通常會靈活地把手上串珠交換成其他數字以便進位來快速數出答案。

舉例來說若是遇到6x4+9的話，乘法板格子上放著四條紫色的『6』串珠與一條深藍色的『9』串珠。若是北鼻麥應該仍然會一顆顆去數，小札克卻已經會很快地把深藍色的『9』串珠交換成兩條黃色的『4』串珠跟一顆紅色的『1』串珠，再把那兩條黃色『4』與兩條紫色『6』串珠合併成20。又再把一條紫色『6』串珠交換成兩條粉紅色的『3』串珠，然後把一條『3』串珠、一個『1』串珠跟最後一條『6』串珠合併成另一個10，這樣可以很快地看出答案是三個10加一串『3』。

在這樣一個大挑戰上要細細做的練習功夫還真是多到讓人咋舌！不過也因此讓我見識到蒙特梭利數學建構出的靈活性與概念流動性，處處充滿驚喜。

老師得知小札克在家興奮做乘法板大工程，也打蛇隨棍上地馬上跟他來個一對一的Zoom lesson傳授新工夫，教他乘法板用法上更進階的『紀錄部分成果』（record partial products）。

小札克得到新工夫，馬上又來給自己另一個大挑戰785,629,649Ｘ358,754，邊做邊使用直式乘法去紀錄部分成果。

其實在他們學校，正常人使用乘法板頂多都在練習三四位數乘兩三位數吧。等到很熟悉乘法板的基礎運作法之後，老師會介紹另一個進階的幾何乘法教具pegboard（釘板）。這個幾何乘法教具同樣使用綠藍紅三色去代表不同的位數，不過這次是讓孩子拿綠藍紅的珠子放到釘板上，拼出一個像乘法板的格式。

我在遠距教學之前完全沒見過這個功力高深的釘板教具，因此首次陪小札克看老師的教學錄影時，我大呼驚奇不停跟著做筆記，小札克在旁淡定說他早就知道了。所以底下照片裡會有媽媽書僮的筆記。🤣

我們在家直接拿之前用來做彩色串珠的Perler beads的釘板與珠子來做釘板教具的替身。這個Perler beads也未免太好用了吧！之後我們又一起看了老師使用同樣的釘板教具去解平方根的教學影片，使用同樣的綠藍紅珠子搭回一個正方形去找平方根，實在是太奇妙好玩了！！

熟悉這個用手操作的釘板教具與綠藍紅珠子之後，老師又再傳授，原來在紙上也可以做同樣的幾何乘法。

這個綠藍紅的幾何乘法教具，其實暗藏了（a＋b）x（x＋y）＝ax＋ay＋bx＋by的概念。老師從來不明說，對孩子而言這又只不過是個理所當然的概念，數字本來就有著這樣的運作道理。

有一次我們在做英公尺寸兌換的活動，遇到一個三位數要乘以12以轉換成英吋的練習問題，小札克馬上跑去把乘法板跟串珠拿過來在地上擺出陣仗。可是連一條串珠都還沒開始放上乘法板，他眼睛仔細盯著乘法板幾秒，竟然就突然喊出了答案。他說因為他光看著板子就已經知道每個幾何區塊的部分答案，在心中加一加就算出來了。

同樣一個練習活動裡，有另一個換算題目要做144Ｘ3。小札克很快地在紙上寫了300、88、120、12，然後當下我真的都還來不及反應，他就肯定地喊說答案是432。我請他仔細分格敘述他腦中的運算步驟給我聽，他才解釋說他先解決了100乘3的簡單部分，然後雖然他不知道44x3，可是他知道44x2是88，所以他只需要算88+44，他再把80拿去加40得到120，再把8加4得到12，所以他知道答案是300＋120＋12＝432。

所以基本上他腦中竟然在幾秒內就很自動靈活地走過了144 x 3＝（100＋44）x 3＝100 x 3＋44 x 3＝100 x 3＋44 x（2＋1）＝300＋88＋44＝300＋80＋40＋8＋4＝300＋120＋12＝432 這樣的步驟耶！

我小時候跟大部分的人一樣，是先很制式地去死背乘法表再學習直式乘除法運算法這樣長大的。這種數字充滿流動性的靈活直覺感，我記得可能是我練到國二國三甚至高中才逐漸開始掌握的事，對二年級的小札克來說卻是這麼的理所當然。

在蒙特梭利教室裡，沒有什麼需要死記的東西。就是像這樣在混齡班的三年內藉著許多不同的時機、使用不同的教具，傳達著類似的訊息，慢慢地一點一滴地建構出很穩固的數學概念，孩子們逐漸能夠牢牢掌握每個數串代表的幾何圖形與延伸意義。

蒙特梭利的數學也從來不是紙上的事，而是相當生活化、相當好玩的充滿樂趣的世界。

像遠距教學活動中學到分析圖的數學課程，小札克依指示到家前門步道上用粉筆畫了一個市調問題『如果你能有一種超能力的話，你會選什麼』。當週內散步路過的鄰居路人紛紛用石頭作答，週五我們搜集答案數據，然後依老師的教學影片畫出長條圖、餅狀圖等等分析圖，超有趣的。

學到圓周與直徑是pi (π) 的關係時，小札克依照老師指示在家裡翻出幾個圓形的東西，用毛線圍著圓周再展開以量出圓周長，然後再在這條毛線上描圓形。

小札克一個個地去畫，果然不管是什麼大小圓形的東西，都可以在展開的圓周上描出三個圓形，然後還都會剩一點點。他就這樣自己得到了圓周是直徑的『三倍加一點點』的結論，也就是π＝3.14的雛形。學校教室裡的正式的π的教具，也不過就是好幾個大小不同的圓板，讓好奇的孩子們去畫去描去自己體驗。

學校裡的分數教具則是同樣大小的好幾個圓板切割成不同的份數，依此可以很清楚地看見不同的分數與 1 的關係，以及分數與分數之間的關係。

我們在家也依照指示剪出了居家分數教具，小札克在幾個小團體的Zoom lesson裡分別上了分數的加法減法還有等值分數的算法。就連這些教學也是孩子們一邊手中做著勞作似的活動一邊學，像指示大家製作『分數的書』、用樂高磚塊去體驗分數等等。

在只有四個學生的小團體Zoom lesson裡，老師也要大家拿出剪好的居家分數教具去親身體驗到同樣大小的1/2與2/4與3/6等是真的『等值』，然後帶著大家畫出天馬行空龐大等值分數的大彩虹。

因為蒙特梭利教學裡沒有什麼「反正這樣去做就對了、記起來就好啦」的事，就連遇到十要進位這種感覺理所當然的事，老師也會特別解說歷史上使用其他進位系統的例子，而最後人類選擇了10去進位，應該是因為我們有十根手指頭腳指頭以方便計算。然後竟然還有讓孩子們練習去算不同進位系統的算數法的教學影片。

聊公英尺寸換算時，也詳細地講述了兩種尺寸來源的有趣歷史故事。因為英尺（foot）其實最早就是國王的一隻腳長，英吋（inch）是成年男人的大拇指寬，我跟小札克跑去量保羅的腳，果然是將近一英尺，他大拇指還剛剛好是一英吋的精準，真是笑死我們了。

奇幻遠距教學裡，還有很多其他的有趣數學教學是沒來得及提到的。小札克在幫我拍教學影片時，也不時提醒我其實他教室裡還有很多其他的教具可以去做同樣的問題求出同樣的答案，只是媽媽知識有限而已。畢竟我只是以一個書僮媽媽的角度去分享觀察，我知道我們讀者裡臥虎藏龍了一些專業蒙特梭利人士，若是有誤也請大家多多指教。

因為蒙特梭利教學從來沒有回家作業，也沒有什麼練習卷之類的會帶回家的『成果』，幾次座談會裡老師們總是再三聲明，很可能在家長眼中看起來孩子們就是整天在玩、感覺都沒學到什麼，不過他們真的都有在很深刻地學習著。

這長達三個月笑淚交織的防疫遠距教學在下週終於要進入尾聲，真是讓我跟保羅大鬆一口氣。肩膀上的壓力感覺減輕許多的同時，我卻也抱著極感恩的心情。要不是因為這一生難得莫名其妙的居家防疫遠距共學，我大概到兩少爺小學畢業都無法透徹看清他們流動靈活的蒙特梭利數學腦。

（要用文字敘述清楚種種教具的長相與用法實在不容易，所以我盡量把所有文中提過的教具使用照片都擺上來讓大家看圖說故事了，之後會再放上兩少爺精心拍攝的教學影片🤣）

【 奇幻遠距蒙特梭利（三）：一步一腳印 】

加州發佈禁足令時，柳丁學校剛好在放春假。沒有人預想得到春假前師生們的歡樂道別，竟然變成本學年最後一次的實體見面機會。

春假結束後頭兩週的遠距教學裡，我看得出學校很努力地想延續蒙特梭利教學秉持的尊重孩子學習步調、讓孩子們享有極高的學習自由度與選擇掌控度以保護孩子內在學習欲求等大方向。於是每天發送給大家的教學活動內容都是一長串的「如果你有興趣的話可以這麼做」、「如果你想的話可以這樣嘗試唷」等等超軟的建議，希望孩子仍然能夠自己自由選擇想做的學習活動。

可是孩子們放了兩週哪都不能去的懶洋洋春假，放著放著就突然變成要在家上學，當然是個登愣適應不良。

另外，精心設計過的教室校園環境與專業老師是蒙特梭利孩子們能掌控學習自由的重點癥結。遠距在家既沒有用教具佈置好的教室環境，更沒有受訓深研過如何尊重孩子學習步調的陪讀爸媽。

於是遠距教學頭兩週，很多家庭似乎都常發生「孩子瞄過所有建議活動後，朕批一句我啥都不想做，陪讀老書僮立馬翻桌」的畫面。

我們家也不例外，尤其是剛開始時我跟保羅整個執行策略錯誤，更是造成讓人抓狂的大混亂。

因為我們只有每天早晨兩三個小時的時間陪讀，保羅又想插個半小時的西班牙文時間，讓剩下的學習活動時間更短了。本來想說北鼻麥遠距幾個月後竟然就直接要送上小學，需要積極準備他閱讀跟數學的程度，那就交給我拍胸膛全權負責吧！至於小札克都八歲半了，想必陪讀應該輕鬆很多，就讓保羅去上任這個肥缺好了。

結果遠距才沒幾天，興趣缺缺的小札克每天朕批啥都不想做，讓保羅幾度翻桌，抓狂到直接傳訊給老師抱怨求救。

我這兒雖然每天陪北鼻麥做閱讀與數學練習還算順利，可是他閱讀速度仍然龜速超級霹靂慢，每五個字就又要分心飄走一下。這個書僮當得超無聊又超沒成就感，也讓我幾近抓狂。

收到保羅求救訊號，老師秒速與我們Zoom親師會談，給予我們許多修正方向的建議，也立馬與小札克一對一地Zoom談心，在老師的協助下讓他自己心甘情願地排出一個學習作息表。

然後我跟保羅也互換職位，由我負責小札克，保羅負責北鼻麥。

沒想到這些改變即時生效，一下子讓我們全家到位，從雞犬不寧轉為歌舞昇平。

保羅他懶散沒時間感又一直想下課五分鐘去後院玩的步調超適合北鼻麥。幼稚園程度的遠距步調也超輕鬆緩慢，很適合保羅。

我對蒙特梭利小學課程的無知與好奇心，讓小札克有他娘莫名其妙變同學的共同作戰感，於是他也變得積極許多。讓人一直掉下巴的蒙特梭利小學lessons超有趣的，步驟也相當明快，每天都覺得學到好多，整個讓我成就感大增。

同一時間學校傾聽家長建議，每週不停微調遠距走向，在兩三週後終於穩定下來，找到平衡點。雖然所有的活動作業本質上仍是可有可無的隨意，每天寄來給孩子讀的email語氣沒再這麼軟，直接在文末有著「今日活動」的幾項實驗或教學影片連結，然後再要求孩子從本週菜單裡自己選三樣活動去完成。

剛開始在抓狂遠距教學中，我為了創造比較蒙特梭利的硬體環境，希望讓兩少爺保有一些教室裡學習的熟悉感，我和北鼻麥先依他老師的指示，用彩紙剪出數學教具stamp game（郵票遊戲），讓北鼻麥得以練習加減乘除。

接著我想到喜愛數學的小札克曾在學校用他最愛的數學教具checker board乘法板給自己出了十六位數乘四位數的大挑戰，跟朋友一起花了兩天時間完成壯舉。於是當週週末我又吆喝兩少爺，花了一整個週日的時間，一起用Perler Beads拼豆完成一盤蒙特梭利彩色串珠，再剪舊桌布直接用油彩塗畫製作出checker board乘法板。

果然一把教具製作完成後，小札克整個人大振奮，馬上給自己出挑戰題25,637,842,349 X 987,654。從此開始連下課時間都要掌握每分每秒很振奮地在解題，卡住還會自動上網敲老師遠距辦公室門去求教。

花了三個早晨的時間，他終於算出連google都嫌太長而直接四捨五入的正確答案25,321,317,547,359,246，小札克整個人超有成就感到尾巴都翹起來了！

用Perler Beads拼豆自製出的蒙特梭利串珠，使用效果比想像中好很多耶！北鼻麥竟然也立刻開始做起串珠乘法，讓我只好連夜趕工端出第二盤。

本來做勞作累暈到不停暗罵你們不給我好好用就知死，很快地看到在這不正常的遠距教學狀況中，兩少爺得到珍貴的熟悉感與掌控感後眼中閃耀的光芒，讓我感覺好感動好值得。

看來美好的奇幻蒙特梭利遠距，其實是一步一腳印全校師生家長都在含淚邊走邊學。本來這篇打算是要小吐苦水然後介紹我學到的神奇蒙特梭利數學教具算法的，結果一不小心娘娘苦水就吐了一大篇（噗），那數學就只好繼續拖延到下回見了。😆

好有創意！

This video will probably lighten up your day...
🤩👾🤩
Check out the incredible Perler beads artworks by Wix user Pappasparlor>>

Trải nghiệm một ngày đi EDM Festival cùng Bống II Ravolution 2019 || Lê Bống Channel
? Chào mừng đến với thế giới của Bống?
? Chanel này mình sẽ dành riêng để chia sẻ những bài tập, những clip của bản thân, hướng dẫn handmade và các tips nhỏ trong cuộc sống hàng ngày của mình. Hi vọng những video của mình sẽ giúp các bạn có thêm năng lượng, giảm stress, đặc biệt là một body khỏe đẹp để có một cuộc sống tích cực hơn, ý nghĩa hơn.
? Ngoài tập luyện, mình còn rất thích vẽ, mình thường hay làm những gì liên quan đến mỹ thuật, nghệ thuật.
? Nếu các bạn thấy những video này thú vị thì đừng quên LIKE, SHARE và SUBSCRIBE ủng hộ mình để mình có thêm động lực làm những video tiếp theo nhé? À, nếu bạn nào muốn cập nhật ngay những video mới nhất của mình thì đừng quên nhấn nút CHUÔNG nhé ?

CẢM ƠN MỌI NGƯỜI RẤT NHIỀU Ạ ?
?Facebook: https://www.facebook.com/bong.le.756
? Fanpage FB: https://www.facebook.com/leboong95/
? Insta : https://www.instagram.com/lebong95/
?TikTok : http://vt.tiktok.com/J5nwYM/
© Minet Asia Corp
For work: academy@minet.asia

‼️ Lưu ý: Không re-upload video dưới mọi hình thức.

? Chào mừng đến với thế giới của Bống?
? Chanel này mình sẽ dành riêng để chia sẻ những bài tập, những clip của bản thân, hướng dẫn handmade và các tips nhỏ trong cuộc sống hàng ngày của mình. Hi vọng những video của mình sẽ giúp các bạn có thêm năng lượng, giảm stress, đặc biệt là một body khỏe đẹp để có một cuộc sống tích cực hơn, ý nghĩa hơn.
? Ngoài tập luyện, mình còn rất thích vẽ, mình thường hay làm những gì liên quan đến mỹ thuật, nghệ thuật.
? Nếu các bạn thấy những video này thú vị thì đừng quên LIKE, SHARE và SUBSCRIBE ủng hộ mình để mình có thêm động lực làm những video tiếp theo nhé? À, nếu bạn nào muốn cập nhật ngay những video mới nhất của mình thì đừng quên nhấn nút CHUÔNG nhé ?

CẢM ƠN MỌI NGƯỜI RẤT NHIỀU Ạ ?
?Facebook: https://www.facebook.com/bong.le.756
? Fanpage FB: https://www.facebook.com/leboong95/
? Insta : https://www.instagram.com/lebong95/
?TikTok : http://vt.tiktok.com/J5nwYM/
© Minet Asia Corp
For work: ducnv@minet.asia

‼️ Lưu ý: Không re-upload video dưới mọi hình thức.