為什麼這篇96數甲鄉民發文收入到精華區：因為在96數甲這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者Bluetease (阿武隈四入道！)看板tutor標題[教戰] 96指考數甲賞析時間Thu J...
96指考數甲賞析 文/孟獲
96年數甲考題難度不低，題型傳統，是對學測類重觀念而輕練習的考題的反撲。
這也提醒了所有補教業者，莫因循而輕忽了對學生的基礎功的訓練。
畢竟出題的權利是握在大考中心與出題教授的手上，因此如果太被近年考題趨勢
拉著走，反而會畫虎類犬，得不償失。
單選部分：
第一題是複數平面單位圓上極式z的1±z類型題目，是棣美弗章節常考考題，但是
已經久不見於聯考題中。除了可利用三角函數的倍半角公式求解之外，也可以利用
向量與幾何求解。如下，將z畫在複數平面上，定原點O，z所在點為P，-z所在點為
Q，1-z所在點為R。則△OQR為一等腰三角形，∠Q恰為2π/7且為頂角。將等腰三角
形分割為兩個直角三角形可得OR為2sinπ/7，亦為1-z之長度，即為所求。
要答好這一題最實際的方式就是讓學生好好練熟棣美弗的基本例題，但是如果之前
有把向量跟三角、棣美佛一起教，也會達到一樣好的效果。
第二題是一個很基本的極限問題，不過題目裡有個絕對值，會讓練習不足的學生裹
足不前。如果對絕對值裡的二次函數作分析，就會發現該函數在(-3±√21)/2的區
間內為正，其外則為負。所求極限是在x=1的點，二次函數為負，故拆絕對值加負
號。不只x=1如此，其左右極限亦然，因為讓絕對值變號的點並不在x=1。因此不管
是左右極限還是1的數值極限都是以拆絕對值加負號的方式下去作。
這一題解起來無花無巧，但是想必會難倒不少靠直覺答題的學生。因為題目中隱含
三個點，即1與(-3±√21)/2。作題目不紮實的學生，往往會想不清楚到底絕對值
拆開要不要變號，以及會不會產生左右極限不相等的問題。可見紮實基礎實是致勝
不二關鍵。
第三題題幹較長，但只要能看懂題意就不難分析。不過依直覺答題的學生可能會猜
㏒a=1，然後按照x,y方向列出的式子中，去找出㏒r的大小。所幸出題老師心存厚
道，並沒有提供a=10這樣的解答，否則一堆粗心鬼又要怨聲載道了。
複選部分：
第四題出了「相關係數」，86年與90年聯考各考過一次。題目不特別難，但是觀念
卻要很清楚。首先要注意的是第二小題，相關係數低的情況下，作出來的回歸線不
具代表性。特別在此例中，分數乃是一個有界的數字，如果硬要作出回歸方程式，
只會讓大部分的Y值帶入時，得出不合理的X。
事實上此時如果我們還要分析X-Y關係，一般必須改採其他的回歸方程模型，例如
二次或多項、指對數回歸等。這個觀念，在大多數的課本中都沒有提到，因此這一
小題可說是考得比較難一些。
第五小題也是很有意思。相關係數在X,Y作任何伸縮平移的情況下皆不變動，但是
如果乘除的是X或Y的標準差，平移的是X或Y的平均數，又如何？答案仍然是不會變
動，只因這些標準差與平均數都是「已經算出來的數字」，跟你全部減三除二，並
無任何分別！
第五題是一個很傳統的多項式題目，而且幾乎可以說是程度良好的高一學生即可作
。但是要成功答出，仍然要訓練過除法定理，以寫出完整的P(x)。此題端看學生對
多項式的學習深度，會作就是會作，不會作就是不會作。
第六題聯立後可得：
x-3 y-5 z-4 x y+1 z-2
── = ── = ── ── = ── = ──
2 3 1 a 3 1
小心觀察，不難發現將後比例式全部減2可得
x-2a y-5 z-4
── = ── = ──
a 3 1
兩線分別過(3,5,4)與(2a,5,4)，當a=時，兩線必平行，a≠2時，兩線由比例轉參
數式時會共享同一個t以讓Y,Z座標相等。此時若要讓X座標相等，可由
3+2t = 2a+at得t= (2a-3)/(2-a)，此為一實數，亦即除了a=2之外每一個a均可使
兩線相交而不致歪斜，因而有解。但a=2時兩線平行反而無解。依題意，a可為2之
外的任意實數。
如果不使用這個觀察法，就必須使用比例式求解，得交點為
a 1+a 5-2a
── , ── , ──
2-a 2-a 2-a
然後向下求解。
此題考的是空間向量，將未知數鑲在兩面式中，是聯考首見的考法，但在各校段考
中都已出現多次。此題依然favour博學多聞，刻苦用功的學生，但如果學生觀察能
力好，也會因此吃香。
第七題的矩陣，A矩陣可視為 1 0 0 k型，其n次方必為 1 0 0 k^n，由此可知A矩
陣的平方乃是單位矩陣。或是將A視為對y=0直線〈即x軸〉作鏡射之鏡射矩陣，連
續兩次鏡射可回原點，故必為單位矩陣。B矩陣則是一個很標準的60度旋轉矩陣。
各小題均甚簡單，最後一小題則是很古典的ABA的n次方的連鎖題。一樣，用功的學
生就會，不用功就不會。
這個題目跟上一題在數甲題目多的情況下，難免會造成學生的負擔。但是上一題是
學生只要多練過幾題空間向量，解題速度可獲提昇，這一題則是能夠看出這是哪種
矩陣，就大佔便宜。這是對用功學生的照顧，大考中心的用意不言可諭也。
第八題為導數與函數的古典考題。只要作出導數，順利畫圖，並不難解。唯一的爭
議是最後一小題是否要用積分求解。個人認為，雖然此題可用黎曼和求解，但如果
在之前教過基本積分，則會勢如破竹。由此可見大考中心其實在暗示所有補教業者
，如果學生程度良好，可教積分。舊教材還有最後一屆考生，各位可自行斟酌。
選填部分：
A小題考的是貝式定律，是送分題。當然可以假設工廠中只有300個產品，可用整數
速解解出。
B小題考圓，比較好的解法是從切點走直線法向量(4,3)假設出圓心座標為
(-1+4t , 6+3t)，並且讓此點跟(-2,7)的距離成為5t即可。這也是考向量的基本功
。
C小題是有名的克寧奶粉罐題目，此題可使用微分或算幾不等式求解，以微分為快
速解法〈但是速度相差不多〉。是送分題。
非選部分：
一、１
考一次因式檢驗法。因為數字甚小，所以解題不難。題型仍然十分古典。
一、２
考三角測量，余弦定理。如果之前有背過3,5,7三角形內藏120度即可很快解出。因
此一樣是對用功學生較為有利的題目。
二、１
考外積求平面！送分題，有唸書就會，不唸書或考前粗疏不練習，就是不會。
二、２
此題數字不美，需實牙實齒計算，對愛鬼混的學生而言也是會算錯的，因此不失為有
鑑別力的一個好題目。
近幾年因為學測名額漸增，考生日有怠惰之貌，徒務虛而不務實，卻不知從務實之
中領悟出來的虛才是大虛。或者是利用圓錐曲線與平面變換考題日增的趨勢，來將
一些固定解法熟記，不在向量、幾何、三角的融合中下苦工。
以大學教育的立場來看，許多高中題目確實沒有必要出到這麼難。但是這些難題卻
間接刺激了高中生的思考想像力，並且培養了苦幹實幹的精神。從這個層面來看，
這些難題實有存在的必要。
今年的考題對於平常不肯苦練的學生無異是一記暮鼓晨鐘，應該會喚醒他們，領悟
自身的鬼混與不足。希望他們能夠在挫敗之後好好思考自己心智上的缺點漏洞，在
將來學習的路上補足。
唐朝杜弓步有云「讀書破萬劍」〈按：杜弓步為唐朝知名武術高手，據傳是弓箭步
的發明人，又稱「屍剩」，也就是他經過的地方只剩下屍體〉，連一介武夫都知道
唸書的重要性，我們這些正在學習中的人可不慎乎？
〈原文作者為三國第一猛將〉
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推 handicap:噗~ 推〈原文作者為三國第一猛將〉 07/05 12:27
推 pobm:高中教材明明沒有什麼ABA連鎖率的~~ 07/05 14:58
→ pobm:第七題出題者是希望你看出他在旋轉和鏡射上的意義吧 07/05 14:59
→ pobm:鏡射兩次會變回來~~然後旋轉幾度等等~~ 07/05 15:00
推 pobm:最後那一小題稍微想一下就出來了~~高中數學範圍又沒有ABA 07/05 15:02
※ 編輯: Bluetease 來自: 61.228.176.44 (07/05 15:18)推 principeiii:您是 劉琦 大人嗎? 07/05 21:28
推 potoser:報紙說的積分那題一次為分後為遞增函數 用梯形面積解就OK 07/06 00:09
推 wind2:困難的考題是吸引不了中低程度的學生想唸書的 -- 07/09 15:13