為什麼這篇96數甲鄉民發文收入到精華區:因為在96數甲這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者Bluetease (阿武隈四入道!)看板tutor標題[教戰] 96指考數甲賞析時間Thu J...
96指考數甲賞析 文/孟獲
96年數甲考題難度不低,題型傳統,是對學測類重觀念而輕練習的考題的反撲。
這也提醒了所有補教業者,莫因循而輕忽了對學生的基礎功的訓練。
畢竟出題的權利是握在大考中心與出題教授的手上,因此如果太被近年考題趨勢
拉著走,反而會畫虎類犬,得不償失。
單選部分:
第一題是複數平面單位圓上極式z的1±z類型題目,是棣美弗章節常考考題,但是
已經久不見於聯考題中。除了可利用三角函數的倍半角公式求解之外,也可以利用
向量與幾何求解。如下,將z畫在複數平面上,定原點O,z所在點為P,-z所在點為
Q,1-z所在點為R。則△OQR為一等腰三角形,∠Q恰為2π/7且為頂角。將等腰三角
形分割為兩個直角三角形可得OR為2sinπ/7,亦為1-z之長度,即為所求。
要答好這一題最實際的方式就是讓學生好好練熟棣美弗的基本例題,但是如果之前
有把向量跟三角、棣美佛一起教,也會達到一樣好的效果。
第二題是一個很基本的極限問題,不過題目裡有個絕對值,會讓練習不足的學生裹
足不前。如果對絕對值裡的二次函數作分析,就會發現該函數在(-3±√21)/2的區
間內為正,其外則為負。所求極限是在x=1的點,二次函數為負,故拆絕對值加負
號。不只x=1如此,其左右極限亦然,因為讓絕對值變號的點並不在x=1。因此不管
是左右極限還是1的數值極限都是以拆絕對值加負號的方式下去作。
這一題解起來無花無巧,但是想必會難倒不少靠直覺答題的學生。因為題目中隱含
三個點,即1與(-3±√21)/2。作題目不紮實的學生,往往會想不清楚到底絕對值
拆開要不要變號,以及會不會產生左右極限不相等的問題。可見紮實基礎實是致勝
不二關鍵。
第三題題幹較長,但只要能看懂題意就不難分析。不過依直覺答題的學生可能會猜
㏒a=1,然後按照x,y方向列出的式子中,去找出㏒r的大小。所幸出題老師心存厚
道,並沒有提供a=10這樣的解答,否則一堆粗心鬼又要怨聲載道了。
複選部分:
第四題出了「相關係數」,86年與90年聯考各考過一次。題目不特別難,但是觀念
卻要很清楚。首先要注意的是第二小題,相關係數低的情況下,作出來的回歸線不
具代表性。特別在此例中,分數乃是一個有界的數字,如果硬要作出回歸方程式,
只會讓大部分的Y值帶入時,得出不合理的X。
事實上此時如果我們還要分析X-Y關係,一般必須改採其他的回歸方程模型,例如
二次或多項、指對數回歸等。這個觀念,在大多數的課本中都沒有提到,因此這一
小題可說是考得比較難一些。
第五小題也是很有意思。相關係數在X,Y作任何伸縮平移的情況下皆不變動,但是
如果乘除的是X或Y的標準差,平移的是X或Y的平均數,又如何?答案仍然是不會變
動,只因這些標準差與平均數都是「已經算出來的數字」,跟你全部減三除二,並
無任何分別!
第五題是一個很傳統的多項式題目,而且幾乎可以說是程度良好的高一學生即可作
。但是要成功答出,仍然要訓練過除法定理,以寫出完整的P(x)。此題端看學生對
多項式的學習深度,會作就是會作,不會作就是不會作。
第六題聯立後可得:
x-3 y-5 z-4 x y+1 z-2
── = ── = ── ── = ── = ──
2 3 1 a 3 1
小心觀察,不難發現將後比例式全部減2可得
x-2a y-5 z-4
── = ── = ──
a 3 1
兩線分別過(3,5,4)與(2a,5,4),當a=時,兩線必平行,a≠2時,兩線由比例轉參
數式時會共享同一個t以讓Y,Z座標相等。此時若要讓X座標相等,可由
3+2t = 2a+at得t= (2a-3)/(2-a),此為一實數,亦即除了a=2之外每一個a均可使
兩線相交而不致歪斜,因而有解。但a=2時兩線平行反而無解。依題意,a可為2之
外的任意實數。
如果不使用這個觀察法,就必須使用比例式求解,得交點為
a 1+a 5-2a
── , ── , ──
2-a 2-a 2-a
然後向下求解。
此題考的是空間向量,將未知數鑲在兩面式中,是聯考首見的考法,但在各校段考
中都已出現多次。此題依然favour博學多聞,刻苦用功的學生,但如果學生觀察能
力好,也會因此吃香。
第七題的矩陣,A矩陣可視為 1 0 0 k型,其n次方必為 1 0 0 k^n,由此可知A矩
陣的平方乃是單位矩陣。或是將A視為對y=0直線〈即x軸〉作鏡射之鏡射矩陣,連
續兩次鏡射可回原點,故必為單位矩陣。B矩陣則是一個很標準的60度旋轉矩陣。
各小題均甚簡單,最後一小題則是很古典的ABA的n次方的連鎖題。一樣,用功的學
生就會,不用功就不會。
這個題目跟上一題在數甲題目多的情況下,難免會造成學生的負擔。但是上一題是
學生只要多練過幾題空間向量,解題速度可獲提昇,這一題則是能夠看出這是哪種
矩陣,就大佔便宜。這是對用功學生的照顧,大考中心的用意不言可諭也。
第八題為導數與函數的古典考題。只要作出導數,順利畫圖,並不難解。唯一的爭
議是最後一小題是否要用積分求解。個人認為,雖然此題可用黎曼和求解,但如果
在之前教過基本積分,則會勢如破竹。由此可見大考中心其實在暗示所有補教業者
,如果學生程度良好,可教積分。舊教材還有最後一屆考生,各位可自行斟酌。
選填部分:
A小題考的是貝式定律,是送分題。當然可以假設工廠中只有300個產品,可用整數
速解解出。
B小題考圓,比較好的解法是從切點走直線法向量(4,3)假設出圓心座標為
(-1+4t , 6+3t),並且讓此點跟(-2,7)的距離成為5t即可。這也是考向量的基本功
。
C小題是有名的克寧奶粉罐題目,此題可使用微分或算幾不等式求解,以微分為快
速解法〈但是速度相差不多〉。是送分題。
非選部分:
一、1
考一次因式檢驗法。因為數字甚小,所以解題不難。題型仍然十分古典。
一、2
考三角測量,余弦定理。如果之前有背過3,5,7三角形內藏120度即可很快解出。因
此一樣是對用功學生較為有利的題目。
二、1
考外積求平面!送分題,有唸書就會,不唸書或考前粗疏不練習,就是不會。
二、2
此題數字不美,需實牙實齒計算,對愛鬼混的學生而言也是會算錯的,因此不失為有
鑑別力的一個好題目。
近幾年因為學測名額漸增,考生日有怠惰之貌,徒務虛而不務實,卻不知從務實之
中領悟出來的虛才是大虛。或者是利用圓錐曲線與平面變換考題日增的趨勢,來將
一些固定解法熟記,不在向量、幾何、三角的融合中下苦工。
以大學教育的立場來看,許多高中題目確實沒有必要出到這麼難。但是這些難題卻
間接刺激了高中生的思考想像力,並且培養了苦幹實幹的精神。從這個層面來看,
這些難題實有存在的必要。
今年的考題對於平常不肯苦練的學生無異是一記暮鼓晨鐘,應該會喚醒他們,領悟
自身的鬼混與不足。希望他們能夠在挫敗之後好好思考自己心智上的缺點漏洞,在
將來學習的路上補足。
唐朝杜弓步有云「讀書破萬劍」〈按:杜弓步為唐朝知名武術高手,據傳是弓箭步
的發明人,又稱「屍剩」,也就是他經過的地方只剩下屍體〉,連一介武夫都知道
唸書的重要性,我們這些正在學習中的人可不慎乎?
〈原文作者為三國第一猛將〉
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