※ 引述《MathWang (5000+)》之銘言：
: 99課綱中有這一段(P53)
: 生活周遭與自然界中有許多呈指數成長或衰退的現象，
: 如人口成長、細胞分裂、放射性元素衰變、藥物代謝、複利等，
: 或以指數方式度量的音量、音階、地震強度、酸鹼值等。
: 透過這些實例引領學生學習以指數方程式或不等式建立數學模型。
: 純人工化指對數方程式與指對數不等式問題則不宜過度延伸。
: 除了音階，其他的問題高中數學我都有見過
: 但是查詢資料的結果
: 與指數有關的只查到 2^x=3^y(下列P3)
: 反而比較漂亮的是連分數的部分(下列P5)
: http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d331/33102.pdf
: 請問有關於音階，適合高中99課綱內容的題目範例嗎?

歷史上曾經出現過非常多調律系統，其中「純律」與「十二平均律」是今天較常
被提起的兩種極端的調律法。不過在實務上所使用的調律法多介於兩者之間，有
所取捨。而只有「十二平均律」才使用指數定義音階。以下簡單比較兩者原理。

「純律」早在畢達哥拉斯時期即被提出。畢氏純律是使用最簡整數比來定義重要
的音程，再由音程來定義每一個音的音高。比方說，先固定一個音的音高，例如
固定中央A 為440Hz。再來，定義相差完全八度的兩音振動頻率比為1:2。因此與
中央A 相差完全八度的音的振動頻率，它們的比值全部都是 2的整數次方，由高
而低分別是：1760、880、440、220、110。當然可以再低，只是人耳聽不太到。

再來，定義相差完全五度的兩音振動頻率比值為2:3。所以，比220Hz這顆A 還要
高完全五度的那顆E ，它的振動頻率就是330Hz。比440Hz這顆A 還要高五度的那
顆E ，它的振動頻率就是660Hz。

再來，定義相差完全四度的兩音振動頻率比值為3:4。所以，比220Hz這顆A 還要
高完全四度的那個D ，它的振動頻率就是……我們有請小算盤來為我們回答，這
個值大約是293.33Hz。而比440Hz那顆A 還要高完全四度的那顆D ，其頻率就是
586.67Hz。

再來，定義相差大三度的兩音振動頻率比值為4:5……

再來，定義相差小三度的兩音振動頻率比值為5:6……

接下去我就不提了。我只是大概講解純律的調律原理。只是！按這種調律法調下
去，你大概在定義小三度的時候，連一個自然音階都還沒定義完，就開始出現奇
妙的不協和音，或稱「狼音」。狼音的問題一天不解決，悅耳的旋律就只能在非
常非常受限的音程裡跑來跑去。不過這是純律本身的問題。在一系列平均律出現
以前，已有許多學者提出不同的調律法，讓狼音減少或至少不影響兩條以上旋律
線的對位法。不過這非本文重點。

但還是要補充，即使純律有很多缺點，但因為音程的振動頻率比是如此單純，因
此完八、完五、完四度的音色比其他任何調律法都還要協和。即使到了平均律盛
行的時代，也保留了完全八度1:2的這個特性。

一直到十七世紀以後，許多種平均律已漸漸流行起來。所謂平均律的意思，就是
說雖然每個半音（小二度）之間的振動頻率比都不太相同，可是也差不了太多，
狼音也不太明顯，讓樂器可以自由轉調和移調。這樣一來音樂的自由性就得到大
大的提高！除了少數對音程關係特別敏感的人會覺得怪怪，否則絕大多數人都能
享受使用平均律演奏出來的音樂。而這一系列的平均律之中，以「十二平均律」
最負盛名，也是當代最流行的調律法（雖然調音師仍會做一點小調整，但原則上
仍是半音振動頻率比最平均的一種調律法）。

怎麼個平均法呢？在歐洲古典音樂的發展脈絡中，作曲家漸漸希望一個八度可以
被細分為十二等分。也就是說，在220Hz到440Hz之間，具有十一個節點；並且把
#C無毫差別地理解成bD（同音異名）。在前平均律時期，這是無法令人接受的事。
從A到#C是大三度，從A到bD是減四度，兩者是用不同的比值算出來的。但是，如
果有種調律法可以把兩者視為等同，那鍵盤樂器就可以在更多調上演奏。平均律
的提出使得作曲家的理想逐漸實現。

那麼，接下來簡單介紹在十二平均律中，這十一個節點，該怎麼找出來。其實原
理並不困難。

以220Hz到440Hz之間的十一個節點為例。我們可以定義一個數列，它的第一項為
a_1 = 220。而，因為我們希望每個半音之間的振動頻率比相同，因此會形成一個
等比數列：
a_2 = 220r,
a_3 = 220(r^2),
a_4 = 220(r^3),
...
a_12 = 220(r^11),
a_13 = 220(r^12) = 440。

其中a_1與a_13是完全八度的兩個端點，a_2至a_12是兩音之間的十一個節點。

這樣一來，r的精確數值就呼之欲出了。它就是2的1/12次方！


因此在十二平均律中，完五度高低音的頻率比為2^(7/12) = 1.4982，
完四度 2^(5/12) = 1.3348，
大三度 2^(4/12) = 1.2599，
小三度 2^(3/12) = 1.1892，
其實已經跟純律當中的完五度高低音頻率比 3/2 = 1.5 ，
完四度 4/3 = 1.3333，
大三度 5/4 = 1.25 ，
小三度 6/5 = 1.2 很接近了。

一般人的耳朵其實聽不太出來。不過，像完全音程這種極為純淨的聲響，一般還
是會覺得純律比較好聽。除非為了其他音程而犧牲完五完四。而且各位應可看出，
音程越小，純律與十二平均律的差距會越明顯。但那是題外話了。

==

回到正題。關於「音階」，我所想到的，也許可以跟等比數列一起出。跟指數一
起出的話，可能會有2^(1/12)難以用紙筆計算的困難吧？

不過我已盡量簡短介紹純律與十二平均律這兩種調律方式。希望能幫助您可以從
中找到出題的靈感，也順便釐清並不是所有調律法都是使用指數來定義音高的！

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.240.140.63
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1420614993.A.27D.html
※ 編輯: calvin4 (111.240.140.63), 01/07/2015 15:23:38