[爆卦]高中 指數律 題目是什麼?優點缺點精華區懶人包

為什麼這篇高中 指數律 題目鄉民發文收入到精華區:因為在高中 指數律 題目這個討論話題中,有許多相關的文章在討論,這篇最有參考價值!作者ERT312 (312)看板tutor標題Re: [求助] 高中指數時間Fri Nov 8 0...

高中 指數律 題目 在 papaya. 108 讀書帳 Instagram 的最佳貼文

2021-02-03 19:16:27

數學算是我少數比較擅長的科目 當然我沒有到非常好 只能稱得上還可以 北一還是有不少人比我強很多 我應該算是不差而已啦 可是我覺得在學數學的過程中 我有摸索出一點點心得可以分享 首先我覺得應該要先建立一個觀念👀 國中數學好不代表高中一定好😭 國中數學真的很簡單 甚至我看過很多人是「背數學」 題目算久...


※ 引述《PROQC (跑步去)》之銘言:
: 1.年級:高一
: 2.科目:數學
: 3.章節:指數率
: 4.題目: 是非題 [ (-2)^1/2次方 ] 12次方 > 0
: 答案是(錯)
爭點應該是 (-2)^(1/2) 有沒有超出範圍
而不是有沒有定義

因為只要 z≠0, z^w 都可以定義,其中 z,w 是複數
Def: If z≠0, we define z^w = e^(w Log z)
其中 Log z = log|z| + i arg(z), -π< arg(z)≦π
例如: i^i = e^(i (log1 + iπ/2)) = e^(-π/2)
(-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i
(-1)^(1/3) = e^{(1/3)(log 1 + iπ)} = e^(iπ/3) = 1/2 + i Sqrt[3]/2

如果今天有個國中生學過複數,而且會解 x^2 + 1 = 0
當他跟你說 x = ± i時,你應該不會跟他說錯吧

同樣道理,[ (-2)^(1/2) ]^12 > 0,沒有錯的理由
你可以說它超出高中範圍,但不能說它錯

但是否真的超出範圍仍然可以爭議
因為即使不用上述的定義 (-2)^(1/2) = e^{(1/2)(log 2 + iπ)} = Sqrt[2] i
以高中能理解的方式來看待 (-2)^(1/2) 也是可以的
(如果是問 i^i > 0 ,那超出範圍就沒有爭議)
把 (-2)^(1/2) 視為 x^2 + 2 = 0 的二根
是高中就能理解,也合情合理的事
事實上在推廣指數到有理數時就有這樣的經驗了
只不過 a<0 時沒辦法再規定 a^(1/n) 是代表 x^n = a 的唯一正根

若把 (-2)^(1/2) 視為 x^2 + 2 = 0 的二根
(-2)^(1/2) = ± Sqrt[2] i
(-2)^(1/2) 即使多值,但 [ (-2)^(1/2) ]^12 > 0 仍然成立

另外一個爭點
如果複數運算後的結果是一個實數,那當然可以比較大小
事實上這種例子高中就有了
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z z ≧ 0 就是一例,其中 z 是複數, z 是它的共軛複數

內積 < x,x > > 0 , if x≠0 也是一例

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 218.164.180.82
jollic:終於看到有人以正式的定義方式來說複數指數。而不是google 11/08 01:53
jollic:出答案就很直接略過中間推論過程。只是中間的 (-2)^(1/2) 11/08 01:54
jollic:視為 x^2 + 2 = 0 的二根,這的確可以直觀看懂,只是這或許 11/08 01:55
jollic:還是會回到課本不定義底數小於零的主因,因為它的指數律無 11/08 01:58
jollic:法成立。當指數律無法成立的話,也就失去創造指數的動機了 11/08 01:59
指數律有的必須修改
例如: (xy)^w = x^w y^w e^(2πiw n(x,y))

其中 n(x,y) = 0 , if -π < arg(x) + arg(y)≦ π
1 , if -2π < arg(x) + arg(y)≦ -π
-1 , if π < arg(x) + arg(y)≦ 2π

以維基那個錯誤證明 1+1 = 0 為例
http://ppt.cc/99pj

正確應該是

(-1*-1)^(1/2) = (-1)^(1/2)*(-1)^(1/2)*e^(2πi*(1/2)*(-1))

= i*i*e^(-πi) = 1

但是像指數律 z^x * z^y = z^(x+y) 就仍然成立
z≠0,x,y,x 是複數

其實原 po 問的這題,不必用到指數律
但我覺得這種題目還是盡量避免出現在高中
若不得已已經出來,最節省時間的方法
就是告訴學生超出範圍,不計分或送分
但剛好這題就真的大於 0
所以不能說它錯
※ 編輯: ERT312 來自: 218.164.180.82 (11/08 02:39)
quark:題目沒錯 是你錯了 11/08 06:54
diego99:為什麼又一個說別人錯又不肯說明的?還請樓上發表高見喔! 11/08 08:45
nomorethings:因為推文空間不夠所以不能寫下他完美的說明吧 11/08 08:53
diego99:回文按個r就有了 11/08 08:54
diego99:至於有個人,哪邊有問題到現在也還沒說明 11/08 08:54
condensed:定義的確有差別,因為在複數域裡,可以不定義排序 11/08 09:02
vvbird:quark: 要說別人錯, 能否請說明, 只丟這樣一句話, 很不負責 11/08 09:18
vvbird:nomorethings: 又不是費馬, 你說是吧...XD 11/08 09:19
marra:又不是費馬+1 XD 11/08 10:30
YHank:其實費馬梗在ptt還蠻常看到的阿,表示ptt有多看點書的人 11/08 10:42
YHank:還不少...XD 11/08 10:43
diego99:喔對了, (ab)^n = (a^n)(b^n) 似乎沒被放在指數律中 11/08 11:15
diego99:sorry,我剛少看了 11/08 11:19

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