從原文問題以及推文的討論，我想分幾個主題來說明

大體上就是定義、符號的不夠完備才導致的困惑

【維度】

維度是個很通俗的概念，也就是因為通俗所以各個領域都可以定義維度

在數學上就有很多種，如：

(1) 向量空間的維度

(2) 幾何圖形的維度

(3) 函數的變數個數也很容易被講成有幾個變數就是幾維

因此，你文中講的：fi= x+2y+3z 這樣不就變四維 到底正確性如何，取決於你要問什麼

(a) φ=x+2y+3z 這個等式是什麼？

Ans: 定義φ：R^3 → R, φ(x,y,z):=x+2y+3z

所以要從各種維度來看的話是：φ是有三個變數(三維)的函數，把三維空間的

點打進一維空間

(b) 四維又是怎麼回事？

Ans: 定義θ：R^3 → R^4, θ(x,y,z):= (x,y,z,φ(x,y,z))

那θ就是一個把三維空間的點打進四維空間的函數

而這樣的函數造法你應該不陌生，就只是把函數圖形化(graph)

舉個低維度的例子來說，f(x) = x是個把一維打到一維的函數

但是為什麼我們很常拿二維平面來說明？

因為我們直接討論了 g(x):=(x, f(x)) 這個函數了

(c) x+2y+3z = 6 又是怎麼回事？

Ans: x+2y+3z = 6 的定義是，那些在R^3空間中符合這個equation所形成的集合

精確的寫法是 S:={(x,y,z)€R^3│x+2y+3z = 6}

那這個集合是幾維？這答案又再度取決於問題本身

(i) 以母空間來看：S坐落在三維空間

(ii) 以微分幾何來看：S本身是二維流形

(可以由兩個變數來描述S，就是z=z(x,y)=(6-x-2y)/3)

(iii) 以線性代數來看：S是二維的仿射空間

【顯函數 VS 隱函數】

顯函數跟隱函數沒有什麼嚴格的定義，大體上顯函數就是人為直接定義的明顯函數

隱函數就是給一個函數等式 f(x_1,...,x_n) = C

如果有函數g，比如g(x_1,x_2)，滿足f(x_1,x_2,g(x_1,x_2)) = C

那就稱g是隱函數

像是 x^2 + y^2 = 1, x = (1-y^2)^0.5

x = -(1-y^2)^0.5

y = (1-x^2)^0.5

y = -(1-x^2)^0.5

這些都是關係等式的隱函數，只是要注意定義域

因此，稍稍回到你的φ(x,y,z) = C，題目有時又說z = z(x,y)，這樣的敘述嚴格如下：

令φ為一個把R^3子集打到R^1的函數，並且存在一個函數f(x,y)使得φ(x,y,f(x,y)) = C

注意到紅色的地方在general case只能是假設，並非所有的關係等式都有隱函數

在高等微積分裡面的隱函數定理就是在探討這個問題：

一個夠好的函數的關係等式才能有夠好的隱函數

當然這邊不講什麼叫作夠好，keyword: implicit function theorem

【全微分 VS 符號定義】

再來就是混淆你的重點，首先看一下這些簡單的微分與積分的例子：

(1) f'(x) = df(x)/dx

=> f'(x)dx = df(x)

Q：dx、df(x)是啥？

如果dx = h，df(x) = f(x+h) - f(x)

那依據平均值定理我們只會得到 f'(c)dx = df(x), c lies between x,x+h

但是，又常聽到，如果h夠小，那f'(c)→f'(x)

到底要多小？所以f'(x)dx = df(x)到底對不對？

如果對，平均值定理不就是錯的？

如果錯，那dx, df(x)又是什麼？

(2) ∫sinx*cosx dx

= ∫sinx dsinx

= (1/2)(sinx)^2

這套流程是對的，這樣 dsinx = cosx dx 確實是對的阿

(3) So, (1)與(2)有疑惑的話，多變數全微分中的 df = f_xdx+f_ydy一定更幹了

而且你之後不只會過微分式，有些還會這樣寫：

因為 df(x,y) = f_x(x,y) dx + f_y(x,y) dy

所以 df(x(t),y(t)) = f_x(x(t), y(t)) dx(t) + f_x(x(t), y(t)) dy(t)

= f_x(x(t), y(t)) x'(t)dt + f_x(x(t), y(t)) y'(t)dt

接著伴隨一堆《把A看成變數、把B看成常數》的說法就夠搞人了

以上這些糾結在一起的例子，到底是怎樣？

(a) 在初等微積分裡，df, dx, dy，全部都是沒有定義

教學時要用"微小變化量+畫圖"去描述微積分的本質很OK，只是沒有定義這些符號

的話，拿來計算或是證明當然行不通，也就是因此才會有一堆混淆

(b) 在高等微積分的積分從黎曼積分拓展到黎曼-斯蒂爾傑斯積分

正式了給予 ∫sinx dsinx 這類積分式的定義

在初微中，∫sinx*cosx dx = ∫sinx dsinx 是不合法的，因為後者沒定義

但記得，這裡也還沒賦予 dx, dsinx定義

(c) 在微分幾何的微分形式中，正式賦予df, dx的嚴格定義(differential form)

因此，你在大學時期有用到全微分來解釋或證明的話，99%的結果是對的，但是只是

概念上的正確以及好想像，因為根本還沒定義那些符號遑論用那些符號證明東西

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終於可以來回答細項的問題了：

※ 引述《handsome0716 (SIGMA)》之銘言：
: https://i.imgur.com/2vJQErn.jpg
: 請問這個
: 知道圖片那行是全微分
: 1.一直不明白dy的部分為什麼是0 第一行式子到第二行明明沒有做對x偏微的動作啊

別理他，直接用有嚴格定義的符號做一次：
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<Lemma>(多變數chain rule)

f(x(t),y(t))'(t) = f_x(x(t),y(t))*x'(t) + f_y(x(t),y(t))*y'(t)

<推廣>

fix any t, 對s取微分，代上面公式上面我們有

f(x(s,t),y(s,t))'(s)

=f_x(x(s,t),y(s,t))*x(s,t)'(s)+f_y(x(s,t),y(s,t))*y(s,t)'(s)

而fix t對s做微分，完全就是對s的偏導數，因此(以p代替偏導數的符號)

f(x(s,t),y(s,t))'(s) 就是 p(f(x(s,t),y(s,t)))/ps

x(s,t)'(s)就是 p(x(s,t))/ps

-----------------------------------------------------

計算題目之前先提一個很容易混淆的符號：偏微分與合成函數

f_x(x(t),y(t))這個符號的意義是，f在(x(t),y(t))這個點的第一個變量偏微分值

也有人說成先偏微完再帶入(x,y)=(x(t),y(t))

因此不少人會把那兩個x搞在一起

為了跟題目符號一致我把<推廣>寫成：

f(a(x,y),b(x,y))'(x)

=f_x(a(x,y),b(x,y))*a(x,y)'(x)+f_y(a(x,y),b(x,y))*b(x,y)'(x)

其中 f(a(x,y),b(x,y))'(x) = p(f(a(x,y),b(x,y)))/px

a(x,y)'(x) = p(a(x,y))/px

b(x,y)'(x) = p(b(x,y))/px

切記f_x只是代表對第一個變量、f_y則是代表第二個


接著實際算φ(x,y,z(x,y)) = C，把它寫成可以套推廣公式的符號：

φ(a(x,y),b(x,y),z(x,y)) = C

其中 a(x,y) = x

b(x,y) = y

接著對x做微分代公式得到

φ_x*(pa/px) + φ_y*(pb/px) + φ_z*(pz/px)
^^^^^^^
0的是這一項，就是圖中的dy所在位置

你說圖中沒有對x做偏微，我們看一下全微分

dφ = φ_x dx + φ_y dy + φ_z dz

圖中直接拿這個式子做，要同除以dx才符合我們要得，即

dφ/dx = φ_x dx/dx + φ_x dy/dx + φ_z dz/dx

其中

dφ/dx = pφ/px

dx/dx = px/px = 1

dy/dx = py/px = 0

dz/dx = pz(x,y)/px = z_x px/px + z_y py/px

= z_x*1 + z_y *0

(再次聲明，全微分的各種等號成立現階段不要嚴格看待他)

說穿了，用全微分來算完全可以寫成上面講的<推廣>所計算的嚴格步驟

: 2.有點弄不清楚這到底是隱還是顯函數 fi(x,y,z)不就代表fi是x y z的函數嗎則此為顯
: 函數
: 可是隨便舉個式子x+2y+3z=6 這樣是隱吧？
: 如果說是fi= x+2y+3z 這樣不就變四維了嗎

顯與隱、維度問題已回答

: https://i.imgur.com/2QgXhV1.jpg
: 例題 只有三個未知數 沒有圖一中說的fi請問是怎麼代法二的
: 圖一中說的fi在圖二是指什麼...

(1) 根本沒有<法一>跟<法二>的區別，法二的公式完全就是由法一的步驟證明來的

(2) e^(xz) + sin(xy) = 6 的φ是自己定義的，而如果要代法二的公式，他的意思就是

φ(x,y,z) := e^(xz) + sin(xy) 並且假設 φ = 6存在隱函數 z(x,y)使得

φ(x,y,z(x,y)) = 6

: 問得有點語無倫次 不知道自己到底哪裡卡住了
: 我覺得我需要互動式的問答...因為是補線上課程 問了老師老師好像也不懂我在說什麼只
: 說了對x偏微y是常數dy是0 但好像不是我的問題點...
: 題外話 讀到卡住的感覺好痛苦啊 一整個很難繼續往下讀 昨晚睡覺也都在想這個想到失
: 眠還是想不通

你失眠可是我現在好想睡QQQQ

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