【意想不到的國小數學】

除了＋－ × ÷，小學算術能設計出什麼有趣的活動嗎？
看看「數學作家」#賴以威 怎麼說

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【數感好書推薦(與購書小福利)——《小學算術教什麼，怎麼教》】

跟大家推薦一本剛上市的數學好書：以下是　賴以威 （I-Wei Lai）老師的推薦全文

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「國小數學不外乎加減乘除，能設計出什麼有趣的活動嗎？」
約莫兩年前，我開始規劃「動手做」的數學實驗課，請教幾位國中老師，他們建議我從國小著手，一方面國中課業壓力大，一方面國中生對數學的好惡相對定型，不如從小學做起。

開頭的那句話，就是我聽完建議後的第一反應。

當時我認為越深奧的數學，越能展現出有趣、特殊的應用，例如用微分方程表示男女的戀愛關係，用機率求找到理想情人的可能性。小學數學的基礎運算、多邊形、單位、時間、分數、小數，說得好聽點是「少數買菜會用上的數學」，但換個角度，好像還真只有買菜這類單調普通的生活應用。

兩年後回首，只覺得以前見識真淺。國小數學雖然簡單，卻是「大巧不工」，如同作者阿哈羅尼教授講起他重新走入小學的心得
我學習到的很大一部分並非新的事實，而是全然不同的東西，也就是那些細微的層次。這有點像欣賞一片布料，遠觀好似平順均勻，但是拿到眼前就會察覺是由精細交織的線所構成︰我原先當成是一體的概念，卻是由精細的觀念編織出來的。

我對這段話感同深受。

§ 相似概念的細微差異

舉個切身的例子，我以前覺得比就是兩個數字中間加個「：」，比值的另一種表示法。百分比、最簡單整數比大同小異，考試注意不要寫錯就好。

當我為了教小學生，強迫自己思考它們的差異時，才體會到原來，比是從生活中找到的2組數字，最簡單整數比是為了看出那些「比」相等，比值、百分比，引用本書說法是「比的共同語言」。以電視螢幕為例，走進3C賣場，挑一台螢幕量它的長與寬，你會得到兩個數字，建立出一個比，以40吋螢幕來說，這個比約是34.9:19.6(吋，四捨五入到小數點下第一位)，如果是50吋就是43.6:24.5。不同大小的螢幕有不同的比，看似不一樣，但當它們都化簡成最簡單整數比——16:9，你就知道所有螢幕的長寬比相同。

如果旁邊有一台傳統的4:3螢幕，你想知道哪種螢幕比較寬，就要進一步用比值：

4/3<16/9

原來每一種「比」都有不一樣的意義與用途(我相信許多國小國中老師深知這點，在此請允許我野人獻曝一下)。然而，在(至少我)過去學習的歷程中，我們比較不常強調這個細微的差異，比較多著重在

「如何從比化簡成最簡單整數比，求比值、或表示成百分比。」

概念之間機械性的連結固然重要，卻不是唯一重要的事。

§ 串聯理解不同的知識

本書的作者阿哈羅尼教授與譯者李國偉老師都是非常傑出的數學家，對數學的了解相當深刻，不僅釐清了小學許多相似數學概念的差異，還能跨越不同概念，解釋它們的共同之處。我對一段「單位與分數」的類比印象深刻：
3根香蕉與4顆柳橙共多少？

有些大人（包括老師）認為單位不同，無法相加。但若是退一步用「水果」這個單位涵蓋香蕉跟柳橙，把問題變成
3個水果與4個水果共多少？
答案無庸置疑是7。再來看分數的加法

1/2+1/3

大家都清楚第一步是通分，找公分母。對照水果的例子，你會發現兩者有著一樣的邏輯。我們可以把分母看成一個「單位」，1/2和1/3的分母不同，表示單位不一樣，通分相當於退一步，讓它們變成同樣的單位，就像前面用水果來取代香蕉跟柳橙。有了公分母6，便能輕易完成加法

1/2+1/3=3/6+2/6=5/6

§ 學數學不費力，反而省力

我很希望小學生能在數學課中感受到數學的秩序、推廣、以及簡潔表示法，作者將這三點命名為「數學的三種省力法」。多數人覺得學數學很吃力，事實上恰好相反，數學的一個目的是為了幫助我們省力。高斯發現1加到100這100個數字中，1+100=101，2+99=101，3+98=101，一共是50組101，

答案是50×101=5050。

這就是秩序，或有時候稱作規律。不妨把這個問題想得更完整一點，今天一位攤販去果菜批發市場(你可以跟北農連結在一起，如果你覺得這樣會更時事一點)，一個中盤商擺了100堆蘋果，第一堆有1個，第二堆有2個…依此類推，攤販想知道總共有幾個，評估是否要全部收購。根據攤販的數學程度，會發生以下三種狀況：

1. 連加法都不會。只能將100堆蘋果看做1堆，扳著手指慢慢數。數2顆需要1秒，預計得花上42分鐘。

2. 會加法，但無法觀察出兩項相加是101的規律，得一項項慢慢加，平均1次加法花3秒，他得用掉4分57秒。至少快了8倍多。

3.會加法，且能觀察秩序。50×101=5050，全程花不到10秒。比第一種快了約250倍。

這就是數學省時省力的威力，也是目前強調的數學素養的一個面向：不只會解題，還能找到有效率的解題方法。
如果學生能感受到數學的巧妙與用處後，相信會更願意學習數學，也更知道該如何運用數學，再更多地方尋找秩序建立方法、將建立的方法推廣到不同的應用、並且運用簡潔的表示法。

§
書中還講了好幾種實用的教學技巧，例如

用具體的例子傳達抽象概念

一節課應該經歷三階段：從具體出發，畫圖，最後走向抽象

不跳過精確的命名，清晰定義概念

概念必須通過學童親身經驗才能產生

讓你一讀完就能實踐。如果你反覆仔細閱讀好幾次，更能體會作者所說的

小學數學雖然不深奧，但包含智慧；雖然不複雜，卻有深意。

很感謝 李國偉老師引進、親自翻譯本書，讓國人有機會從大師的角度，重新認識小學數學。也希望我們真能如老師在譯者序提到的（註），

開創書面作業以外的動手實作或身體活動，幫助學生體會出生活周遭處處可發現數學的蹤跡。

我深信，當一位小朋友走到哪裡，就像對他熟悉的玩具角色一樣，能看見生活周遭的數學蹤跡（螢幕長寬比、時間的六十進位制、買蛋糕時呎吋跟實際大小的關係），那他的數學一定不會差到哪裡去，不，應該是一定會很棒。

註：小小的預告～《小學算術教什麼，怎麼教》是給大人看的小學數學，馬上來臨的暑假，我們與金鼎獎作家 王文華的童話公園老師將合作推出一套給小學生看的《數感小學冒險》系列，也敬請期待噢。
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這幾天聽新聞都是關於美國學歷的事, 我也來野人獻曝一下我對於這方面的認識。

美國的大學較難畢業碩士則比較容易, 這剛好和台灣相反, 台灣的大學容易畢業, 碩士以上就比較難。在台灣要拿到碩士要有「碩士論文」, 姑且不說這個論文對社會的貢獻度和實用性, 台灣的研究生要拿到碩士除了兩年的學分修習之外還要經過指導老師外加兩位教授的論文審查和最後一關的三娘教子口試煎熬, 著實不容易。在美國要拿到碩士則彈性範圍很大, 非必要提交「碩士論文」, 一年不到就拿到碩士學位的比比皆是, 這在台灣是萬萬不可能的事。

台灣人到密蘇里州念研究所的很多, 猶他州和德州也不少, 我的一位朋友常自豪的說他是「南加大」畢業的, *&%真是有夠A的, 我很想回他說你應該和「淡大」的配一對, 哈哈, 最後一句是開玩笑的 。

【威士忌初學建議】

雖然我的酒類相關經驗已經有16年，但是我的威士忌酒齡，目前只有五個月。我其實不是專業餐飲出身，而是學習外語的。我發現，學習一種酒類，就像學習一種語言，當你學得愈多，每再多學一種，只會更快進入狀況。我相信，有許多朋友跟我一樣，是個威士忌初學者（但是或許也已經有其他的酒類經驗）。且讓我野人獻曝，跟你們分享自己過去五個月來的學習心得。

我為了威士忌，學了一些蓋爾語，但這只是某種完美主義作祟，並不是必要的。就先略過這段故事。

入門者最急切想知道的資訊之一，或許就是：「酒海茫茫，該從哪兒開始？」我建議從原廠裝瓶、較低年份的單一麥芽威士忌開始。我以下的建議，應該可以幫助初學者儘快進入狀況。

首先，單一麥芽威士忌應該優先於調和式麥芽威士忌。因為調和式麥芽威士忌所呈現的風味，是被設定的品牌個性。如果先從單一麥芽威士忌學起，日後擴展到調和式麥芽威士忌，自然順理成章；但是如果學習進程是相反的，比較沒有學習上的優勢。

其次，初學者要優先選擇低年份的酒款，它們可以幫助你熟悉年輕威士忌的風味特性，也可以幫助你更清楚地認識蒸餾廠的性格特徵。低年份作品的培養熟成程序大致已經完成，所以才會裝瓶銷售，但是它們的蒸餾特性可能較為露骨，不過，這正是初學者需要在酒杯中得到的感官經驗。所謂低年份，不見得是最低年份；所謂基本款，有時也眾說紛紜。但是絕大多數情況，你可以參考書籍，選擇長銷的低年份版本：包括常態的10-12年，或者少數蒸餾廠最低年份只有14-15年，甚至市面上出現3-8年低年份酒款或者無年份標示的酒款。選擇低年份酒款的另一項好處是，它必定是該蒸餾廠最便宜的產品。對於初學者來說，選擇低年份是一舉兩得——既嘗到了書中描述的特徵，又減輕了荷包的負擔。

初學者應該優先選擇低年份酒款，但是我的意思不是只能喝低年份酒款。稍高年份的威士忌，固然有時價格昂貴很多，但是遇到該買的時候，還是應該下手。威士忌本質上是一種仰賴桶陳賦予風味的烈酒。地理位置、溫濕度、廠房形式、用桶方針、調配比例，都會對高低年份的特徵與彼此的差距產生影響。作為初學者，你可以根據前輩的建議，挑出幾間蒸餾廠做垂直品飲，就可以得到具體的高低年份比較品飲經驗，並從中印證理論、認識蒸餾廠特性與所謂的桶陳策略。

第三，單一麥芽威士忌是威士忌領域的核心，其中蘇格蘭單一麥芽威士忌絕對是重頭戲。你不妨勇敢地直接從最複雜的這裡開始。你可以跟我一樣，找兩三本蘇格蘭威士忌的重點書籍，不論權威作者對於某款單一麥芽的評價是高是低，都敞開心胸，找機會試試看。比較各家風味描述的差異，試著瞭解各家意見分歧的原因，在這過程中，你不但開始熟悉品牌名稱、風味特點，也開始掌握地理位置，或許還會得到一些雖然破碎，但是對現階段已經暫時足夠的技術知識細節，這將是很好的出發點。

蘇格蘭的單一麥芽威士忌品牌不下百種，每一種又有許多版本，原廠裝瓶的版本已經喝不完了，基本款也有數十種。我建議初學者暫時不碰獨立裝瓶廠的版本。獨立裝瓶廠的版本不是不好，相反的，有些知名的裝瓶廠，品質太好了，以至於不適合作為初學者的學習素材。我鼓勵你在已經喝過夠多原廠裝瓶的基本款單一麥芽威士忌之後，再來嘗試獨立裝瓶廠的單一麥芽威士忌，這樣，你更容易在品嘗的第一時間，發現它與原廠裝瓶的某些差異，而這可能正反映裝瓶廠的選桶風格，而你也會從中得到很大的喜悅與成就感。

如果沒有意外，到了這時，你已經打好了威士忌的學習基礎，可以真正步上探索之路，跟許多資深同好一樣，開始廣泛接觸、收集、嘗試各種威士忌了！