為什麼這篇邊際效用鄉民發文收入到精華區：因為在邊際效用這個討論話題中，有許多相關的文章在討論，這篇最有參考價值！作者Parhelia (Macroprocessing)看板WOW標題[閒聊] 邊際效用之於 WOW...
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2021-06-02 15:10:10
燒肉第一名我給梵燒肉 前幾天慶祝母親節跟我爸生日 帶大家去吃好點免得每次都被他們說自己去吃好料🤣 這是第二次去吃了還是覺得很厲害 那個手感跟精緻度真的沒話說 特別是念念不忘的生牛肉結合烤過的法國麵包 每次吃眼睛都會發亮 這種好料也不能常吃 除了口袋空空以外還會邊際效用遞減！ 喔對了～～我還是...
這個是一個多月以前某天在洗澡的時候突然想到，然後就寫在公會網放著，
就轉貼過來修訂一下以為釋疑好了。
基本上是用個體經濟學的一些基礎去解釋的，我自己本行不是搞這個的，就以前
大學的時候修過而已，有人本行是搞這個的歡迎指正一下 :p
另外某些東西因為我學的時候也是中英夾雜，所以我也不知道中文是什麼 =_=
我會盡量弄成中文啦 ||| 剩下的就請多包涵了
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1. 「XX數值有邊際效應，所以不要一直撐」
先看清楚「邊際效用」的定義：
以消費的觀點來說是，當你增加一單位財貨你所增加的滿足度/爽度/快樂度
(p.s. 當時修課的時候，老師都講成快樂度，大家都聽得很開心)，或者相反的是
減少一項財貨的時候減少的滿足度/爽度/滿足度
以WOW的觀點來說是，當你增加一點數值你所增加的 dps 能力/hps 能力/
Effective Health ...... 之類的
效用這個東西基本上有兩種，一個是 original utility，一個是 cardinal utility，
前者必須用無異曲線表達所以我們就先不理它，用後者來解釋的話，效用必須是一個
客觀且可以量測，同時有單位的東西
而一般人所謂「邊際效應」其實是「邊際效用遞減」，是說邊際效用隨著財貨總單位
數增加而降低的狀況，這在一般個體經濟學裡面是一個對於效用滿通用的假設，有點
像是這樣，我們假設快樂度的單位是「天線」：
冷無情今天早上起床，開始看宅動畫，看完一部之後他覺得很快樂，快樂度增加了10
天線，於是他就開始逼逼逼逼逼然後繼續看第二部宅動畫
.
.
冷無情看了五部宅動畫以後，又看了第六部宅動畫，他看完第六部宅動畫增加的快樂
度是 6 天線，於是他就開始逼逼逼逼逼然後繼續看第七部宅動畫
.
.
冷無情看了十部宅動畫以後，又看了第十一部宅動畫，他看完第十一部宅動畫增加的
快樂度是 3 天線，本來他要開始逼逼逼逼逼然後繼續看第十二部宅動畫，結果看時鐘發
現晚上七點二十四分了，只好叫他的室友幫他買晚餐然後上線開組
冷無情的宅動畫邊際效用表
宅動畫# 邊際效用 (快樂度 in 天線)
1 10
2 8
.
.
6 6
.
.
.
9 4.2
10 3.7
11 3
所以我們說冷無情看宅動畫對於他的快樂度有邊際效用遞減存在
那一般WoW中的數值有沒有邊際效應呢？答案是大多沒有，WoW 中的數值造成最明顯的
效用就是 DPS，隨便舉例：
Pymaster 的霜火箭單發的期望值是 6000，當他加速 0% 的時候他的霜火箭的DPS期望值
是 2000，當他加速 1% 的時候他的 FFB DPS 是 2020，於是當Pymaster在沒有加速的時
候增加了一單位的加速 (在這裡是 1% 加速或者增加 32.79 加速等級)，他得到的額外
效用是 20 DPS
由於冷無情莫名奇妙的紅手，開出了一堆加速裝，而 Pymaster 的法傷和爆擊率都沒有
變，於是 Pymaster 的加速就越來越高，當 Pymaster 加速到 30% 的時候，他的 FFB
DPS 是 2600，這時候他又獲得了額外的 1% 加速，所以他的FFB DPS 變成了 2620，在他
30% 加速的時候增加一單位加速 (1% 加速) 的時候他的額外效用還是 20 DPS，並沒有隨
著 Pymaster 的加速越來越高而下降。
大部分傷害面數值的基本效果幾乎都是像這樣沒有邊際效用遞減的
目前基本上會有邊際效用遞減的數值都是坦克方面的，其實說不定用另外一種方式
來看護甲值會是線性的，也不一定，我沒練過坦職所以也請坦克們說說看
而我說「基本效果」是因為有發動特效這種事情，例如霜火法的焦炎之痕，因為焦炎
之痕的發動頻率不是線性的，另外觸發的炎爆的致命一擊加成和霜火箭不同，所以
會變成一個有點複雜的函數，但是也不會變成致命一擊撐太高反而虧就是了。
假如今天有一個技能是這樣
宅神爺的逆襲 近戰範圍 25能量
回絕敵人陽光的要求，並且對敵人造成
(Agi / (3 + Agi)) * 武器大傷 * 3 的傷害
"我要衝成就！學妹改天再衝！"
那敏捷對於這樣的技能就有邊際效用遞減，但是據我所知應該沒有技能是長這個樣子的
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2. XX數值換OO數值到底是在算三小？為什麼他們會變來變去？
很多人都會幫算這種事情，像是法系幾乎都會看 sp.com 的 simcraft 的換算，這東西
算的是這兩個數值間的邊際替代率(Marginal Rate of Substitution)
邊際替代率的定義是這樣：
假如你今天要放棄一個財貨/服務換另一個財貨/服務，你需要花多少另一個財貨/服務才
能達到一樣的效用，或者另外一種說法，今天你想要增加一定量的效用，假如你單只增加
一種財貨/服務，那各個財貨/服務要增加的多寡比例
用 WOW 數值的觀點來看是：
假如你今天要增加一定量的 DPS，假如你只能選一種數值增加，那選不同數值要增加的
數值比例
邊際替代率的範例有點像這樣：
冷無情天天都很快樂，他的快樂來源來自於兩項東西： 1. 看宅動畫 2. 公會打副本的時
候自己用閃電箭開王，假設他看宅動畫的次數是 X，他用閃電箭開王的次數是 Y，而他的
快樂度是 5XY 天線
假設今天冷無情已經看了 10 部宅動畫和用閃電箭開了 5 次王，他的快樂度會是 250 天
線，假如他覺得他應該要更快樂，他希望把快樂度提升到 500 天線
假如他選擇使用看大量宅動畫來提升快樂度的話，他需要再看 10 部宅動畫，假如他覺得
他應該要用閃電箭開王來提升快樂度，他應該要再用閃電箭開王 5 次，於是我們說冷無
情在已經看了10部宅動畫和用閃電箭開了5次王的時候，用閃電箭開王對宅動畫的邊際替
代率是2。即使總效用一樣，這個數值會變來變去，例如已經看了5部宅動畫和已經開了
10 次王的時候，閃電箭開王對宅動畫的邊際替代率是0.5。
以法系而言，簡單的看法：
一個法術的 DPS = 平射的 DPS * (1 + 致命一擊率 * 致命一擊額外加成) * (1 + 加速
率)，這個式子就有點像上面冷無情的快樂度的式子，接著用一些數學方法 (ex. 簡單的
偏微分) 可以大概算出來在某一點 (基準是某一個致命/加速率的量下)的邊際替代率
這個才是會因為基準點不同變來變去的東西，也是大家對數值取捨的主要原因，不是
什麼邊際效用遞減，都不會遞減了是要怎麼用它來取捨 XD
接下來還有一個問題：
X 對 Y 的邊際替代率 = X 的邊際效用 / Y 的邊際效用，假如第一項說WoW的數值邊際效
用不會變，那為什麼邊際替代率會變？
這是因為現在討論的狀況會同時變動數個變數，造成這樣的結果
(i.e. 法能的邊際效用改變是因為加速和爆擊改變的關係，而不是法能本身改變)
第一項說邊際效用遞減的部分是在討論單堆一個數值的狀況，而前面的討論已經可以
知道WOW的數值大多沒有這樣的狀況，所以不存在某數值堆太高會有邊際效用遞減的
問題。
好啦，其實某些傷害面數值堆太高的確會有遞減，那是因為不連續點的關係
(爆擊率 cap 在 100%，加速有 gcd 上限)，假如你有本事堆到那樣我也認了 XD
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唬完了 XD
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Horde Wrathbringer-TW <神樣>
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◆ From: 61.216.7.95
推 hogiking:這篇好表XDD 02/13 22:56
推 statue:很棒的文章! 02/13 22:57
推 layzer:我要衝成就！學妹改天再衝！ 02/13 22:58
推 wzmildf:幹 我看完例子快笑死XD 02/13 22:58
推 Asasin:沒錯，不得不推一下，什麼爆擊加速邊際效應...明明都一樣 02/13 22:58
推 femc00:義大利 02/13 22:59
推 Heymay123:"用例子回答你"的最佳典範.... 02/13 23:00
推 korsg:專業推xd 02/13 23:01
推 dkchronos:"我要衝成就！學妹改天再衝！" 02/13 23:02
→ devidevi:你要看以啥做為基底才對 02/13 23:03
除非你的效用是指「增加的%數」才要考量這件事情 (其實板上大部分分析都是這樣)但是講實話，%數在 cardinal utility 的定義當中不能當作效用的單位
所以就沒這個困擾了 :p
推 usoko:宅神爺的逆襲根本是在說*uo**t吧 02/13 23:05
推 DarkKinght:經濟系幫推 02/13 23:06
推 polomaca: k**ne*? 02/13 23:07
推 enchyi: kuonet (炸) 02/13 23:08
※ 編輯: Parhelia 來自: 61.216.7.95 (02/13 23:10)推 delete4067:我都在看冷無情..沒看內文... 02/13 23:09
推 enchyi:我只看到冷毛跟鍋貼，其他學術性的東西...忽略 XD 02/13 23:09
推 bag:期末考還沒到啊… XD 02/13 23:11
推 delete4067:再推一次，太好笑了XD 02/13 23:11
推 k0286:推薦這篇文章 該收精華 02/13 23:12
→ pretenddie:這國中公民吧? 02/13 23:12
推 pttresident:愛撐暴擊深冰法，在full buff並冰指下，是可能暴擊cap 02/13 23:13
推 showershine:有笑有推XD 02/13 23:13
推 toroegg: 大推用閃電箭開怪自殺的行為.. 根本浪費我的保護祝福 02/13 23:15
→ Parhelia:樓上是冷無情御用 pal 的血尿控訴 02/13 23:16
有位板友寄信給我提到了一件事，我補充在底下
: 1. 「XX數值有邊際效應，所以不要一直撐」
這句話的來源其實不是這樣喔
真正是這樣來的，你知道物品有itemlv對吧？
而且假定今天一個法傷=1配分，爆擊rating=命中rating＝加速rating=1
一個物品假定他的ilv給99配分的額度，
那麼可以換成33法傷33爆或是33命或者33加速隨你去代，
然而你單單只有指定一種屬性，邊際效應就會出現。
比方說，99配分是不會拿到99法傷的，因為Blizzard設計的時候，
就有把配分調過，想要拿到越高的法傷，他的配分比例會變越高
好比說變成99配分=70法傷這樣。
所以說你可以看到一個物品出現能力被平均分攤，
也可以看到某樣能力看起來是特多，但是其實你加總來算，
會出現配分被吃掉問題，這才是原始出現邊際效應的源頭。
假設你今天單純衝某樣屬性，
沒錯屬性的確對於任何法術跟技能支援都有線性存在，
但是你在選裝時若不能平均分攤，便會陷入這種陷阱裡面。
---
大概就醬，詳細的分配公式請查 orz 大的文章
原則上選裝的時候，有越多種屬性的越好是正確的，但是假如是可以自由分配的屬性
(e.g. gems) 那是不用擔心說 crit 已經很高了的情況下，再插 crit 會虧了這種狀況
※ 編輯: Parhelia 來自: 61.216.7.95 (02/13 23:26)
推 ednuta:有笑有推 02/13 23:20
推 kevinqqq:憋笑好痛苦 02/13 23:25
推 xdbx:哦懂了 02/13 23:31
推 x076235:..........經濟學 02/13 23:34
推 yokodream:那個例子真的太好笑了 超表XD 02/13 23:37
推 PringIes:財金人幫推 02/13 23:39
推 Sechslee: "我要衝成就！學妹改天再衝！" 02/13 23:40
推 sowulo:閃電箭開王真的滿high的XDDD 02/13 23:40
→ deathson:米之前寫的那篇太學術了嗎orz 02/13 23:43
推 outrunner:其實就是公式是非線性的才要考慮這個,不過還蠻多的就是. 02/13 23:46
推 cellphone:為什麼是天線而不是昆布XD 02/13 23:53
推 pipiandy:我會被笑死..... 02/13 23:54
→ tsua:那1%cri->2%cri和99%->100%雖然增加量一樣,可是總傷比例後者 02/13 23:54
→ tsua:較小,這種叫甚麼? 02/13 23:54
→ fewhy:增加比例不是重點 重點是1%cri等價的法傷在1%跟99%的不同效 02/13 23:56
→ fewhy:不然每1% cri提升的"量"基本上是一樣的 02/13 23:57
→ pdshingo:上面有寫了啊 用他的說法 %不能當cardinal utility單位XD 02/13 23:57
推 Sechslee:護甲減傷也是線性 熱狗大有篇文章有講 不過我找不到了 02/14 00:06
推 smallcoll:等等這篇我怎麼好像看過 XDDDDDDDDDDDDD 02/14 00:10
→ deathson:印象中護甲減傷不是線性, 但是提供的生存時間增加是線性 02/14 00:13
→ Sechslee:喔喔 米的這個說法才是對的 巴哈的搜尋系統好難用 02/14 00:14
→ Sechslee:又有3個WOW板 找不到熱狗大的文了 orz 02/14 00:14
推 tot9221:強烈懷疑是因為情人節才推出這篇! 02/14 00:17
→ thigefe:話說,如果第一部是看高麗菜傳說,最後一部看天元突破 02/14 00:18
→ thigefe:邊際效益難道能套進來？！ 02/14 00:19
推 tobylee:受益良多:) 02/14 00:30
推 nin64:爆擊的話還有一點就是當爆級獎勵達到常駐之後效益會降低 02/14 00:51
推 rbking21:深入淺出 02/14 00:52
推 tseng1978:你這樣講 我覺得非常有問題 ...我建議你以柏瑞圖觀念 02/14 01:07
→ tseng1978:來看 會比較容易理解 所謂得邊際效益遞減 發生在哪 02/14 01:08
推 tseng1978:因為物品等級上限是一定的 且物品種類是固定的 02/14 01:12
→ Parhelia:柏瑞圖 = Pareto 嗎？ 02/14 01:12
→ tseng1978:你每增加一點加速 必定要放棄 相對應的法傷 法暴 02/14 01:12
→ Parhelia:那樣會把 item value 也放進來看了 02/14 01:13
→ Parhelia:呃 那跟我這邊要討論的不一樣 02/14 01:13
→ tseng1978:當你每增加 法暴 法傷 加速 其中之一的效益 必損及其他 02/14 01:14
→ Parhelia:那樣子比較像討論 "dps 換 mp5" 02/14 01:14
→ Parhelia:法暴 法能 加速通通轉換成 dps 這項效益 02/14 01:14
→ Parhelia:因為法能 加速 法暴本身並不是最後展現出來的結果 02/14 01:15
→ tseng1978:還有 當我說 "加速超過500的邊際效益會遞減" 這句話 02/14 01:15
→ tseng1978:我對於 加速的邊際效益 可能跟你想像的完全不同.. 02/14 01:15
→ tseng1978:我對於他的定義是 總ILV相同下 每增加一加速 所獲得的 02/14 01:16
→ Parhelia:那這樣跟這篇題目就不一樣了 :p 02/14 01:16
→ tseng1978:總DPS提升量 這我認為再超過五百後是會遞減的.. 02/14 01:16
→ tseng1978:對 我知道不一樣..但是我覺得很多人會誤用 =.= 02/14 01:17
→ Parhelia:我講的是「屬性本身」 02/14 01:17
→ tseng1978:我很怕你辛苦打的一篇文章 被人拿去合理化一些不正確的 02/14 01:17
→ Parhelia:主要是我們直接看到的就是屬性而不是 item level 02/14 01:17
→ tseng1978:恩 我知道 怕配拿去合理化一些繆論..例如 加速完全無用 02/14 01:18
→ tseng1978:我只要全部衝法暴 只拿法暴裝就好.. 02/14 01:18
→ Parhelia:其實你講到一個很好的點 像是寶石的部份大概就要用你說 02/14 01:19
→ Parhelia:的這種想法 0.0 02/14 01:19
推 tseng1978:配裝上還是可以 考量的..還有 我不確定 卡GCD 算不算 02/14 01:21
推 KayJ:看不懂 囧 02/14 01:21
→ tseng1978:加速的邊際效益 遞減的開始...直覺上感覺是 很不確定.. 02/14 01:21
→ Parhelia:卡 gcd 一般應該是線性函數的不連續點就是 02/14 01:22
→ Parhelia:所以算是啦 因為真的會變少 0.0 02/14 01:23
→ Parhelia:例如瞬發卡了之後 加速仍然會增加沒卡的法術的 dps 02/14 01:23
→ Parhelia:但是效用跟卡 gcd 之前比降低了這樣 02/14 01:24
推 tseng1978:突然發現WOW好深奧 這堆鬼東西我以為學了七年完全無用 02/14 01:24
推 iamtien:護甲那篇有看過 是說減傷非線性 02/14 01:47
→ iamtien:但拿減傷以後的數字出來算 會發現 能存活的時間為線性 02/14 01:48
推 tytty:例子簡單明瞭 好文T_T 02/14 01:51
推 xyz148:....冷無情真威 02/14 07:34
推 ShinSioku:大家所謂的效益遞減是說 當你加速0的時候 撐1%加速可能 02/14 11:14
→ ShinSioku:要32點加速 但是當你加速10%之後 你要變成11% 可能需要 02/14 11:14
→ ShinSioku:50點加速 02/14 11:15
推 lovelylion2:蛋糕的個經教授是哪一位呀? 02/14 13:22
→ Parhelia:有點忘記名字了 袁國芝 ...... 吧 ||| 02/14 13:24
推 HudsonE:我以為我每天賺五百塊的爽度越來越低是因為它佔我總財產% 02/15 14:42
→ HudsonE:越來越少的關係 02/15 14:42
推 HudsonE:如果不用 % 去算, 人又為何會有邊際效用變少的情況發生? 02/15 14:44
→ HudsonE:用加速來看, 你在 0% 時的 1% 是增加 1% 總 DPS 02/15 14:46
→ HudsonE:你在 30% 所增加的 1% 卻只有總 DPS 的 0.77% 02/15 14:46
→ HudsonE:這就是 WOW 所說的遞減 02/15 14:47
推 HudsonE:用加速裝都沒有穿的空身去算的 30% 時的 1% 基礎點就錯了 02/15 14:50
→ Parhelia:1. 效用不能用 % 來計算 02/15 19:30
→ Parhelia:2. 邊際效用遞減是一個普通的假設而已 不是那樣推出來的 02/15 19:31
→ Parhelia:「效用」假如要能計算或量測 必須是客觀的 大概是這樣 02/15 19:31
推 HudsonE:那麼你可以說明為何每天賺 500 的效用會越來越低的情況嗎 02/15 19:43
→ HudsonE:亦或者, 看第二部動畫的效用為何會比第一部低呢? 02/15 19:43
→ HudsonE:加速的 1% 不是 "現在" DPS 的 1% 而是 "未加速" 的 1% 02/15 19:44
→ HudsonE:那麼在其它條件相同的情況下, 加速增加的 DPS 量是固定的 02/15 19:45
→ HudsonE:現在我們來類比一下, DPS 增加固定的量, 為何邊際效用不減 02/15 19:46
→ HudsonE:看動畫增加固定的量, 和金錢增加固定的量就會有遞減,何解? 02/15 19:46
推 HudsonE:或者直接說, Utility 我覺得是 DPS 增加的幅度而不是 DPS 02/15 19:52
→ Parhelia:我已經說了邊際效應遞減是一個普通的「假設」 02/16 00:20
→ Parhelia:那不是由佔總和越來越低推出來的 02/16 00:20
→ Parhelia:我舉看動畫是要指出 假如效用可以明確量化的話 02/16 00:21
→ Parhelia:邊際效應遞減是什麼樣子 而不是說它一定是那樣 02/16 00:21
→ Parhelia:你覺得每天賺500的效用越來越低 其他人不一定是這樣的 02/16 00:22
→ Parhelia:今天增加數值而增加 DPS 有方法可以明確量化 02/16 00:22
→ Parhelia:就可以具體的算出來它的邊際效用的確不會遞減 02/16 00:23
→ Parhelia:最後 「幅度」這種東西在經濟學裡面比較偏彈性的概念 02/16 00:23
→ Parhelia:那又是另一個故事了 :~ 02/16 00:24